2023年九年级数学下册图形的相似和比例线段教师版知识点详细答案

图形的相似和比例线段【学习目的】1、能通过生活中的实例结识图形的相似，能通过观测直观地判断两个图形是否相似;2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质,知道两相似多边形的重要特性:相应角相等,相应边的比相等.明确相似比的含义;3、知道两个相似的平面图形之间的关系,会根据相似多边形的特性辨认两个多边形是否相似,并会运用性质进行相关的计算,提高推理能力.【要点梳理】要点一、比例线段1.线段的比:假如选用同一长度单位量得两条线段a、ｂ长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m:n，或写成.2.成比例线段：对于四条线段ａ、b、c、d,假如其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b＝c:d，我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.3.比例的基本性质：(1）若a:b=c:d,则ad＝bc;（2）若ａ：b=b:c,则=ac（b称为ａ、c的比例中项)．要点二、相似图形在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(simiｌarfigures).要点诠释:

(１)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；ﻫ（2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时,两个图形是全等；要点三、相似多边形相似多边形的概念:假如两个多边形的相应角相等,相应边的比相等,我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1)相似多边形的定义既是鉴定方法,又是它的性质．（2）相似多边形相应边的比称为相似比.【典型例题】类型一、比例线段1.下列四组线段中，成比例线段的有（)A．３cm、4ｃm、5cm、6ｃmB.４cｍ、8ｃｍ、３cｍ、5cmC.5ｃm、15ｃm、2cｍ、6cmD.８cｍ、４ｃm、１cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有,故选C．2.求证：假如,那么．【答案】∵,在等式两边同加上1,ﻫ∴，ﻫ∴.

【总结】比例有合比性质假如，;分比性质假如,;更比性质假如,.举一反三:1、判断下列线段ａ、b、c、d是否是成比例线段:（１）a=4，b=6,ｃ＝5,d=1０；(2)a=2，b=,c=,d=．【答案】(1)∵,，

∴,∴线段a、b、c、d不是成比例线段.(２)∵，，∴,∴线段a、b、c、d是成比例线段.2、已知线段ａ、b、c、ｄ，满足，求证：．【答案】证明:设=k∴∴∴类型二、相似图形3.指出下列各组图中,哪组肯定是相似形＿___＿＿＿___:ﻫ(1)两个腰长不等的等腰三角形ﻫ（２)两个半径不等的圆ﻫ（3)两个面积不等的矩形

(４)两个边长不等的正方形【答案】(２）(4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同,因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，相应角相等,但相应边的比不一定相等，所以无法拟定它们一定相似;(２)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形,是相似形.举一反三:ﻫ如图,左边是一个横放的长方形,右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍,并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？

【答案】这两个图形是相似的,这两个图形形状是同样,相应线段的比都是１:２,虽然它们的摆放方法、位置不同样,但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形4.如图,已知四边形相似于四边形，求四边形的周长．ﻫ【答案】∵四边形相似于四边形

∴，即

∴

∴四边形的周长.5．如图,在矩形ABCD中,AB=２ＡD,线段EF=１0，在EＦ上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形ＥMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ＡBCD相似.令MN=ｘ,当x为什么值时，矩形EＭNH的面积Ｓ有最大值?最大值是多少?

ﻫ【答案】解:∵矩形MFGＮ与矩形ABＣD相似

当时，Ｓ有最大值,最大值为.举一反三：ﻫ1、已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为2６.求四边形的各边长.【答案】∵四边形与四边形相似，且ﻫ

.ﻫ又∵四边形的周长为26

即四边形的四边长为：.2、如图所示的相似四边形中，求未知边ｘ、y的长度和角的大小．ﻫ【答案】根据题意，两个四边形是相似形,得ﻫ

，解得ﻫ

.3、某社区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边沿所成的矩形相似，你能做到吗？若能,求出这一宽度；若不能,说明理由.

【答案】设小路宽为x米,则小路的外边沿围成的矩形的长为(２0＋2x)米,宽为(10+2x)米,ﻫ将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为,而宽的比为，

很明显,所以做不到．

4、等腰梯形与等腰梯形相似,，求出的长及梯形各角的度数.ﻫ【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相似

【巩固练习一】一.选择题1.在比例尺为1︰１0００００0的地图上,相距3

cm的两地,它们的实际距离为()ﻫA.3

kmB.30

kmC.３00

kmD．3000

ｋｍ2．下列四条线段中，不能成比例的是(）

A.=2,=4,＝３，＝6B．＝，=,=1,=C.=6，＝4,＝10，=5D．＝，=2，=,＝2３.下列命题对的的是(）

A.所有的等腰三角形都相似B.所有的菱形都相似ﻫC.所有的矩形都相似Ｄ.所有的等腰直角三角形都相似4.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示,则小鱼上的点(a,b)相应大鱼上的点()ﻫﻫA．(－2a，-2b)Ｂ．(－a,-2b)C.(-２b，-2a)D.(-2ａ，－ｂ）一个三角形三边的长分别为3，5，7,另一个与它相似的三角形的最长边是２1,则此三角形其它两边的和是()A.19B．17C.24D.216．．△ABＣ与△Ａ1Ｂ1C1相似且相似比为,△A１B1C1与△Ａ2Ｂ2C2相似且相似比为，则△ABＣ与△Ａ2Ｂ2Ｃ２的相似比为()

A.B.Ｃ.或D．二．填空题7.两地实际距离为15０0m,图上距离为５cｍ，这张图的比例尺为＿_＿＿_＿_.8.若,则______＿_9．鉴定两个多边形相似的方法是:当两个多边形的相应边____＿_＿,相应角_____＿_时,两个多边形相似.1０.已知则11.两个三角形相似,其中一个三角形两个内角分别是40°，6０°，则另一个三角形的最大角为___＿_＿,最小角为_________＿__.１2．如图：梯形ADFＥ相似于梯形ＥFＣB,若AD=３，BC=4,则三综合题１3.已知，求的值.1４．如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似,求出相似比;若不相似，说明理由．ﻫﻫ１5.市场上供应的某种纸有如下特性：每次对折后,所得的长方形均和原长方形相似,则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？ﻫ【答案与解析】一、选择题

１.【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离=比例尺．2.【答案】Ｃ．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积,看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】D4.【答案】A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1:2，若将小鱼放大１倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5.【答案】C【解析】相似三角形相应边的比相等６．【答案】Ａ【解析】相似比AB︰Ａ1Ｂ１=，Ａ1B1︰A２Ｂ2=，计算出AＢ︰Ａ２B2．二、填空题

7.【答案】.1:30０00【解析】比例尺=图上距离︰实际距离.8.【答案】

【解析】由可得，故填.９.【答案】成比例;相等．10.【答案】【解析】提醒：设1１.【答案】80°，40°.１2.【答案】.【解析】由于梯形ADＦE相似于梯形EFCB,所以,即EF＝,所以解答题１3.【解析】设＝k则∴==14.【解析】要探究正方形是否与四边形相似,需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似,若不是正方形，则不相似，由于所有的正方形都是相似的.

设正方形的边长为,由题意可知，ﻫ

同理ﻫ由，可得

同理45°，ﻫ，四边形是正方形ﻫ∴正方形

与正方形相似，ﻫ即两正方形的相似比是.１5.【解析】如图,为了方便分析可先画出草图,根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.ﻫ

设矩形的长为,宽为,由相似多边形的特性得ﻫﻫ,即纸张的长与宽之比为.【巩固练习二】一.选择题1.在比例尺为1︰1０00００0的地图上，相距3ｃm的两地，它们的实际距离为()ﻫＡ.3kmB．３0kmC．３00kｍD．3０00km2.已知线段满足把它改写成比例式,其中错误的是（)A.B.C.D.3.已知△ABＣ的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DＥF的一边长为４ｃm,当△DEF的另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似(）A．2ｃm，３cｍＢ．4cm，5cｍC．5ｃm,6cmD．６cm，7cm4.△ＡBC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1Ｂ1C1与△A２B２Ｃ2相似且相似比为，则△ＡBC与△A２B２Ｃ2的相似比为()Ａ.B．C．或D．5．下列两个图形：①两个等腰三角形;②两个直角三角形;③两个正方形;④两个矩形;⑤两个菱形；⑥两个正五边形.其中一定相似的有（)A．2组B.3组C.４组D.5组6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm,５0cm,60cm,现要做一个与其相似的三角架，只有长3０cm，50cm的两根钢筋,规定以其中一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（)A.一种B.两种C.三种D．四种二.填空题7.小明有一张的地图,他想绘制一幅较小的地图,若新地图宽为３０cm,则新地图长为＿___＿＿_＿_cm.8.△AＢC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和,且△ABＣ与△A′B′Ｃ′相似，那么△A′B′C′的第三边长为＿＿_＿__＿＿＿＿__９.如图：梯形ADFE相似于梯形ＥFＣB，若AD＝3，BC=4，则10.已知若若:=_＿＿.11.如图:AＢ:BC=___＿_＿__,AＢ：CD＝＿_＿______,BC：ＤE=________，AC:CＤ=__＿＿______，CD：DE＝_____＿＿＿．１２.用一个放大镜看一个四边形ABＣＤ，若四边形的边长被放大为本来的1０倍,下列结论①放大后的∠B是本来∠B的10倍;②两个四边形的相应边相等；③两个四边形的相应角相等,则对的的有.三.综合题１3.假如，一次函数通过点(-１,2）,求此一次函数解析式.１4．如图,在矩形ABCＤ中，AＢ＝２AD，线段EF=10,在EＦ上取一点Ｍ，分别以EＭ、MＦ为一边作矩形EＭNＨ、MFGN，使矩形MFＧN与矩形ABCD相似.令ＭN=x，当x为什么值时,矩形ＥMＮH的面积S有最大值?最大值是多少？

ﻫ15.从一个矩形中剪去一个尽也许大的正方形，如图所示,若剩下的矩形与原矩形相似,求原矩形的长与宽的比.

【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】图上距离︰实际距离=１：100000０.2．【答案】B3．【答案】C【解析】设△ＤEF的另两边的长分别为ｘｃm,ycm,由于△ABC与△DEF相似，所以有下列几种情况：ﻫ当时,解得;

当时，解得;ﻫ当时,解得；所以选C.4．【答案】A【解析】相似比AB︰A1B1=,Ａ1B1︰A2B2=,计算出ＡB︰Ａ2B2．5．【答案】Ａ【解析】只有两个正方形和正五边形相似.6．【答案】B二、填空题

７.【答案】40.【解析】提醒:两地图形状相同,是相似形,所以它们相应边的比相等8．【答案】

【解析】提醒:△A′B′C′已知两边之比为1:,在△ABＣ中找出两边、，它们长度之比也为1︰,根据相似三角形相应边的相应关系,求出相似比.9.【答案】.【解析】由于梯形AＤFE相似于梯形EFCB,所