初一奥数-奇数及偶数

七年级奥数2020/12/191奇数与偶数

主讲：刘文峰2020/12/192专题简析通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．2020/12/193奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.2020/12/194性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．2020/12/195例1、在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？2020/12/196解：由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．2020/12/197例2、设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．证法1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+……+a9)-(1+2+…+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．2020/12/1982020/12/1992020/12/19102020/12/19112020/12/1912例4、设a，b是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b是4的倍数．2020/12/1913证：由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件11111(a-b)=ab+2468，①ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a-b)是4的倍数，故：a-b是4的倍数.2020/12/1914例5、某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．2020/12/1915证：我们证明每一个学生的得分都是偶数．设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答．于是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一个偶数．所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．2020/12/1916例6、证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.2020/12/1917证：将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1－62)．每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．2020/12/19181．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+„+100a100+101a101=s是偶数，求证：a1+a3+a5+…+a99+a101是偶数．2．设x1，x2，…，x1998都是+1或者-1．求证：x1+2x2+3x3+„+1998x1998≠0．3．设x1，x2，…，xn(n＞4)为1或-1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．求证：n是4的倍数．4．(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于99…9(共n个9，n是奇数)；(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，那么原数能被10整除．2020/12/19195．(1)有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；

(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的