多元函数微分法及其应用-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题1.假设u=u(x,y)是可微函数，且则[A]A.B.C.-1D.12.函数[D]A.在点(-1,3)处取极大值C.在点(3,-1)处取极大值B.在点(-1,3)处取极小值D.在点(3,-1)处取极小值在点处的两个偏导数存在是函数在该点可微的[B]4.设u=+2+3+xy+3x-2y-6z在点O(0,0,0)指向点A(1,1,1)方向的导数[D]A.B.C.D.5.函数[B]B.在点(1,1)处取极小值C.在点(0,0),(1,1)处都取极大值D.在点(0,0),(1,1)处都取极小值A.在点(0,0)处取极大值在点处可微是在该点连续的[A]7.已知A.,则=[B]B.C.D.8.函数〔x>0，y>0〕[D]A.在点(2,5)处取极大值C.在点(5,2)处取极大值B.在点(2,5)处取极小值D.在点(5,2)处取极小值在点处连续的是在点处可微的[A]A.必要而非充分条件10.曲线x=t,y=,z=所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有[B]B.2条C.3条D.不存在B.充分而非必要条件A.1条11．设A.，则BB.C.D.12．为使二元函数沿某一特殊路径趋向的极限为2，这条路线应选择为BA.B.C.D.13．设函数满足，且C.，，则BA.B.D.14．设A.，则CB.C.D.15．为使二元函数在全平面内连续，则它在处应被补充定义为BA.-1B.0C.1D.16．已知函数，则CA.B.C.D.17．假设，则BA.B.C.D.18．假设，则在点D处有A.B.C.D.19．设，则以下结论正确的选项是AA.C.B.，则极限〔C〕.(A)等于1(B)等于2(D)不存在(D).(B)有极小值(C)不是驻点(C)等于0在点(A)有极大值(D)无极值在原点处〔A〕.(B)可微(D)偏导存在，但不可微(A)连续，但偏导不存在(C)偏导存在，但不连续23．设，而，具有二阶连续导数，则〔B〕.(A)(B)(D)(C)24．函数在点处连续是它在该点偏导存在的〔D〕.(B)充分而非必要条件(A)必要而非充分条件(C)充分必要条件25．函数(D)既非充分又非必要条件的极大值点是〔D〕.(A)(B)(C)(D)26．设，则〔B〕.(A)(B)(C)(D)27．极限〔B〕.(A)等于28．(B)不存在(C)等于(D)存在且不等于及假设在点处的两个一阶偏导数存在，则〔B〕.(A)在点连续(B)在点连续(C)(D)A,B,C都不对29.设函数(A)．，则=〔A〕．(B)．(C)．(D)．30.已知〔A〕〔C〕〔B〕〔D〕〔C〕31．函数z=的定义域是〔D〕〔A.〕D={(x,y)|x2+y2=1}〔C.〕D={(x,y)|x2+y2<1}〔B.〕D={(x,y)|x2+y2〔D.〕D={(x,y)|x2+y21}1}32．设，则以下式中正确的选项是〔C〕；；；；33．设34．已知35.设，则〔D〕；；；；；，则〔C〕；；．，则〔B〕〔D〕2.〔A〕6〔B〕3〔C〕-236.设〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕37.设由方程确定的隐函数〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕38.二次函数A.1＜的定义域是〔D〕＜4；＜4。≤4；≤4；B.–1≤C.–1≤D.1＜39.在点处的偏导数和连续是可微分的〔B〕A.充分必要条件；B.充分非必要条件；C.必要非充分条件；D.非充分又非必要条件。40.抛物面A.上点P处的切平面平行于平面，则点P的坐标是〔C〕；B.；C.；D.41.设，则︱〔B〕A.；B.；C.；D.。42.设二元函数A.〔1，0〕；的极小值点是〔A〕B.〔1，2〕；C.〔-3，0〕；D.〔-3，2〕43.设〔B〕〔D〕1〔A〕0〔B〕44.设〔C〕-1是由方程决定的隐函数，则〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕45.设(B)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空题1.2.函数u=ln()在点M(1,2,-2)的梯度gradu={1,2,-2}3.24.已知是可微函数，则5.=46．设，则＝7．曲线8．设在点，则处的切线与Y轴的正向夹角是9．函数10．函数11.函数的间断点是在点沿方向的方向导数是的定义域是的定义域是13．函数在原点沿方向的方向导数为的定义域是在点处的法线方程为16．极限17．假设，则18．设有函数，则的极大值点是20．设函数则方向导数21．设函数22．曲面上一点〔1，-1，3〕处的切平面方程为23.在点P〔0,1,3〕处的切平面方程2y+z=5，法线方程，则全微分dz=24、设25、设z=26、已知=27.=28.已知，则29.已知,则三、计算与证明1.设z=f(x+y,xy)的二阶偏导数连续,求解：==和柱面的交线上与xoy平面距离最短的点解：设(x,y,z)是交线上任一点，由已知，距离函数f(x,y,z)=z又设令：(1)与(2)相比，得：代入(5),得：，；相应的有：从而得交线上的两点：其中：点，到xoy平面的距离是点到xoy平面的距离是比较得：所求点是不存在证明：当(x,y)沿着曲线=x趋于(0,0)时，＝当(x,y)沿着曲线2=x趋于(0,0)时，＝所以，极限不存在4.设z=xf(xy,),求解：==5.求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4,在点M(,1,)处的切线及法平面方程解：因为=1-cost,,1,=sint,=而点M()所对应的参数为t=点M的切向量={1,1,}故点M处的切线方程为点M处法平面方程为:x+y+z=6.求曲面在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程解：令F(x,y,z)=则故因此:点(2,1,0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0点(2,1,0)处的法线方程为7.已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解：，故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dygradz=(ycos(x+y),sin(x+y)+ycos(x+y))8.设直线在平面上，而平面与曲面相切于点M(1,-2,5),求a,b之值解：点M处曲面的法向量n={2x,2y,-1}={2,-4,-1}点M处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即:2x-4y-z-5=0,此即平面之方程由直线可得y=-x-b,z=x-a(x+b)-3代入得:(5+a)x+4b+ab-2=0解得:a=-5,b=-2z=f(u,v),则u,v具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y,v=，求解：==10.是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。解：不存在。。。11.求u关于x,y,z的一阶偏导数：解：。12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值：解：函数定义域。因为，故时极小；无极大。解方程组，可知函数驻点分布在直线上。对于此直线上的点都有。但是恒成立。所以函数在直线上的各点取得极小值。13.解：而=，。故原式=14.求u的一阶全微分：解：15、求函数在点M〔1，2，-2〕沿曲线在此点的切线方向上的方向导数。解：，，。在点〔1，2，-2〕它们的值分别是曲线在该点切线方向余弦为方向导数为。16.解：==a17.求由下式决定的隐函数z关于x和y的一阶偏导数：解：等式两端对x求偏导数，得。故。利用对称性可得18.用拉格朗日法求条件极值：解：设，解方程组可得。由于当或时都有。故函数只能在有限处取得极小值〔最小〕值：当时，函数取得极小〔最小〕值解：原式，求.解：.21.求抛物面到平面的最近距离。解：设在上，到的距离为，则记，令解得：.所以上与平面平行的切平面方程。解：曲面的切平面的法向量为，平面要使的法向量为切平面与平面平行，必有，即解之得，因此为从而求.23．函数.解：因为所以24．设函数由方程确定，求。解：(方法一)令则，因此.(方法二)方程两边对求导，并注意是的函数，得解得.25．如何将已知正数分成两个正数之和，使得为最大，其中、是已知的正数。解：由拉格朗日乘数法，令由解得驻点.又由题意当点趋于边界或时，目标函数趋于零，所以连续函数在驻点取最大值。因此当26．设解：时，的值最大，其中具有一阶连续偏导数，求27．求曲线在对应于点处的切线及法平面方程。解：当时，对应点的坐标为；又参数方程的切线方向向量为：，故切线方程为，或.而法平面方程为.在点处方向导数的最大值和最小值。处沿方向的方向导数为：解：在点令则的夹角。要使当取最大值，则，即，也就是同向时，取最大值，即：时，取最大值同理，要使值，即：当取最小值，则时，，即，也就是反向时，取最小取最小值29.设函数，求，．解：设，，那么，，，故=+=+30.设是由所确定的隐函数，求它在点〔1，2，-1〕处的偏导数的值。31.斜边长为m的所有直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长．解：设两条直角边的边长为x，y，周长为S，则〔1分〕并满足．由〔2分〕令〔3分〕解得因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是。32.．设，而,,求,==〔3分〕==33.．设可微，求。34．求曲面在点处的切平面与法线的方程.则,,〔3分〕〔2分〕切平面方程为即法线方程为〔2分〕12分成三个正数之和，使得为最大.〔8分〕解：令，则〔3分〕解得唯一驻点〔4分〕，故最大值为36、已知z=arctan，求。解：,求，38.已知z=arctan，求。解：39、设z=x2lny，而x=，y=3u-2v，求。解：40．将正数a分成三个正数之和，使它们之乘