《微积分(下)》第7章多元函数微积分学练习题

第七章多元函数微积分学第一部分：多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求以下二元函数的极限:1x2y2sin3(1)lim2xyyxy2;(2)lim22;(x,y)2,1(x,y),xy2(3)lim0,1sinxy;(4)lim0,0xy;(x,y)x(x,y)xy112．证明：当(x,y)0,0时，f(x,y)x4y4的极限不存在。x4y43二、填空题3.若f(xy,y)x2y2，则f(x,y)；4.函数f(x,y)4x2y2ln(x2y21)的定义域是D；5.已知f(x,y)ex2y，则fx'(x,y)；6.当f(x,y)5x2y3,则fx'(0,1)；7.若zexyyx2，则z；y8.设f(x,y)ln(xy)，则fy'(1,0)；2x9.二元函数zxexy的全微分dz；10.设Zarctan(xy)，则dz=.三、选择题Z11.设函数Zln(xy)，则( )x1xC1DyAByyxx12.设Zsin(xy2),则Z()xAxycos(xy2)Bxycos(xy2)Cy2cos(xy2)Dy2cos(xy2)13.设Z3xy，则Z()xAy3xyB3xyln3Cxy3xy1Dy3xyln314.已知f0，则（）xAfx,y关于x为单调递加；Bfx,y0；C2f0；Dfx,yxy21.x215函数zfx,y在点x0,y0处拥有偏导数是它在该点存在全微分的（）A必需而非充分条件；B充分而非必需条件；C充分必需条件；D既非充分又非必需条件.四、计算与应用题16.(1)zex2y2,求zx(0,1),zy(1,0)；(2)zarctany,求zx(1,1),zy(1,1)；x17.已知f(x,y)exyyx2,求fx(x,y)和fy(x,y)18.已知设Z(3x2y2)4x2y,求Z和Zxy19.zexy，求zx;zy。2y2x20.设函数Zln(xy2)，求dZ21.设Zxln(xy),求2Z2,2Zxxy22.计算以下函数的二阶偏导数:x；(2)z(cosxysin)exyy2x223．求复合函数的偏导数或导数:(1)zu2lnv,uy,vx2y2，求z,z；xxy(2)z

euv,u

ln

x2

y2,v

arctan

yx

，求

z,z；xy24.设ZZ(x,y)由方程eZx2ylnZ0确立，求dZ25.设2sin(x2y3z)zzx2y3z，求yx26．求以下函数的极值(1)zx3y3(2)zx2y2(3)zxy21x3xy；2lnx2lny；e2；27．求以下函数的最值（选做题）：(1)zx34x22xyy2,1x4,1y1；(2)zx2y2xyxy,xy3,x0,y0；28.（选做题）设由方程F(xz,yz)0确立zz(x,y)，F拥有一阶连续偏导数，yx证明：xzyzzxyxy第二部分：多元函数积分学—二重积分一、填空题1、当函数f(x,y)在闭地域D上________时，则其在D上的二重积分必定存在2、若f(x,y)在有界闭地域D上可积，且DD1D2，当f(x,y)0时，则f(x,y)d_____________f(x,y)d；D1D2当f(x,y)0时，则f(x,y)d_____________f(x,y)dD1D23、设

,

为常数，则

fx,y

gx,y

d

=______________________D4、地域

D由闭地域

D1,D2构成，则

fx,yd

=______________________D5、设函数

z

fx,y在闭地域

D上连续，

是D的面积，则在

D上最少存在一点

,

使得

fx,yd

=______________________D6、计算

xyd

=__________，此中

D是由直线

y

1,x

2,y

x所围成的闭地域。D7、设

D是极点分别为

0,0,1,0,1,2,0,1

的直边梯形，计算

1xyd

=_________D8、改变以下二次积分的积分次序1122xx2dxfdy=______________________；dxfdy=________________；0012x12y33yxudy0fdxdyfdx=______________；dufvdv=________________；010009、把以下二重积分表示为极坐标形式的二次积分xydxdy=____________；fx2y2,arctanydxdy=____________；x2y24x2y22xxex2y2dxdy=_______________(Dx,y1x2y24,yx)；D10、ex2y2dxdy=________，此中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭地域。D二、选择题1、D1,D2,D3,D4分别为圆x2y21在一、二、三、四象限的部分，则x2yd=（）D1Ax2yd；Bx2yd；Cx2yd；(D)0.D2D3D42、Dx,yx2y21,x12

，则x2y2d=（）D11x22x2y2dy；1x21x2y2dx；A1dx1xBx2dy121211x2x2y2dy；11y2dy.C1dx1D1dxx222213、设有平面闭地域Dx,yaxa,xya，D1x,y0xa,xya，则xycosxsinydxdy=（）DA2cosxsinydxdy；B2xydxdy；D1D1C4xycosxsinydxdy；D0.D14、二次积分01dx01xf(x,y)dy等于().A.01dy01yf(x,y)dxB.11x0dy0f(x,y)dx1x101dy01f(x,y)dxC.dyf(x,y)dxD.00三、计算解答1、计算

2x2ydxdy

此中D为y

x2,y

x围成的平面地域D2、设地域Dx,yxy1，计算exydxdy.Dxydxdy2及直线yx2所围成的闭地域.3，此中D是由抛物线yx、计算D4、计算x2y2xdxdy，此中D是由抛物线yx，y2及直线y2x所围成的闭D地域.5、计算ex2y2dxdy，此中D是由x2y24所围成的闭地域.D6、计算x2y2dxdy，此中D是由x1y2，直线y1，x1所围成的闭D地域.7、计算以下二重积分：(1)x2y2,此中D(x,y)axb,cydxyedD(2)(x2y2)d,此中D是由直线y2,yx，及y2x所围成的闭地域.D8、计算以下二重积分(1)ln(1x2y2)d,