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文档简介
2023高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A,则集合()A. B. C. D.2.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1033.函数的大致图象是()A. B.C. D.4.已知集合,,若,则实数的值可以为()A. B. C. D.5.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()A. B.C. D.6.2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则()A. B. C. D.7.设全集集合,则()A. B. C. D.8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.2339.已知数列的前项和为,且,,,则的通项公式()A. B. C. D.10.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.11.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值12.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,若关于的方程有实数解,则实数的取值范围_____.14.已知函数在点处的切线经过原点,函数的最小值为,则________.15.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)16.函数的最小正周期是_______________,单调递增区间是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.18.(12分)在四棱锥中,是等边三角形,点在棱上,平面平面.(1)求证:平面平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值的最大值;(3)设直线与平面相交于点,若,求的值.19.(12分)已知函数,其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性;(2)用表示中较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数a的取值范围.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的标准方程为.以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)若点在曲线上,点在直线上,求的最小值.21.(12分)的内角、、所对的边长分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,点是线段的中点,,求的面积.22.(10分)已知椭圆,上顶点为,离心率为,直线交轴于点,交椭圆于,两点,直线,分别交轴于点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求证:为定值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
化简集合,,按交集定义,即可求解.【详解】集合,,则.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.D【解析】
计算两班的平均值,中位数,方差得到正确,两班人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,错误,得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.因为甲、乙两班的人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,故D错误.故选:.【点睛】本题考查了茎叶图,平均值,中位数,方差,意在考查学生的计算能力和应用能力.3.A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正确答案.【详解】解:当时,,,所以,故可排除B,C;当时,,故可排除D.故选:A.【点睛】本题考查了函数图象,属基础题.4.D【解析】
由题意可得,根据,即可得出,从而求出结果.【详解】,且,,∴的值可以为.故选:D.【点睛】考查描述法表示集合的定义,以及并集的定义及运算.5.D【解析】构造函数,令,则,由可得,则是区间上的单调递减函数,且,当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.6.A【解析】
根据题意分别求出事件A:检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B:检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.【详解】设事件A:检测5个人确定为“感染高危户”,事件B:检测6个人确定为“感染高危户”,∴,.即设,则∴当且仅当即时取等号,即.故选:A.【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.7.A【解析】
先求出,再与集合N求交集.【详解】由已知,,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查集合的基本运算,涉及到补集、交集运算,是一道容易题.8.C【解析】
计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.C【解析】
利用证得数列为常数列,并由此求得的通项公式.【详解】由,得,可得().相减得,则(),又由,,得,所以,所以为常数列,所以,故.故选:C【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力,应用意识.10.D【解析】
,,得解.【详解】,,,所以,故选D【点睛】比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.11.C【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义,体积公式分别进行判断.【详解】对于,设平面与直线交于点,连接、,则为的中点分别取、的中点、,连接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面内的相交直线平面平面,由此结合平面,可得直线平面,即点是线段上上的动点.正确.对于,平面平面,和平面相交,与是异面直线,正确.对于,由知,平面平面,与不可能平行,错误.对于,因为,则到平面的距离是定值,三棱锥的体积为定值,所以正确;故选:.【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.C【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先求出,从而得函数在区间上为增函数;在区间为减函数.即可得的最大值为,令,得函数取得最小值,由有实数解,,进而得实数的取值范围.【详解】解:,当时,;当时,;函数在区间上为增函数;在区间为减函数.所以的最大值为,令,所以当时,函数取得最小值,又因为方程有实数解,那么,即,所以实数的取值范围是:.故答案为:【点睛】本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,导数的应用,属于中档题.14.0【解析】
求出,求出切线点斜式方程,原点坐标代入,求出的值,求,求出单调区间,进而求出极小值最小值,即可求解.【详解】,,,切线的方程:,又过原点,所以,,,.当时,;当时,.故函数的最小值,所以.故答案为:0.【点睛】本题考查导数的应用,涉及到导数的几何意义、极值最值,属于中档题..15.【解析】
的展开式的通项为,取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,取得到常数项.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.16.,,【解析】
化简函数的解析式,利用余弦函数的图象和性质求解即可.【详解】函数,最小正周期,令,,可得,,所以单调递增区间是,,.故答案为:,,,.【点睛】本题主要考查了二倍角的公式的应用,余弦函数的图象与性质,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.另一个特征值为,对应的一个特征向量【解析】
根据特征多项式的一个零点为3,可得,再回代到方程即可解出另一个特征值为,最后利用求特征向量的一般步骤,可求出其对应的一个特征向量.【详解】矩阵的特征多项式为:,是方程的一个根,,解得,即方程即,,可得另一个特征值为:,设对应的一个特征向量为:则由,得得,令,则,所以矩阵另一个特征值为,对应的一个特征向量【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量,需掌握特征多项式的计算形式,属于基础题.18.(1)证明见解析(2)(3)【解析】
(1)取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证;(2)以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解;(3)设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【详解】(1)证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.(2)以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,因为在棱上,可设,所以,设平面的法向量为,因为,所以,即,令,可得,即,设直线与平面所成角为,所以,可知当时,取最大值.(3)设,则有,得,设,那么,所以,所以.因为,,所以.又因为,所以,,设平面的法向量为,则,即,,可得,即因为在平面内,所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.19.(1)函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;(2).【解析】
(1)由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解;(2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】(1),①当时,,∴函数在内单调递增;②当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为(2)(Ⅰ)当时,所以在上无零点;(Ⅱ)当时,,①若,即,则是的一个零点;②若,即,则不是的零点(Ⅲ)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以①当时,在上单调递增。又,所以(ⅰ)当时,在上无零点;(ⅱ)当时,,又,所以此时在上恰有一个零点;②当时,令,得,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,所以此时在上恰有一个零点,综上,【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,
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