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文档简介
2023高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.2.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]3.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.4.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.5.是正四面体的面内一动点,为棱中点,记与平面成角为定值,若点的轨迹为一段抛物线,则()A. B. C. D.6.在边长为2的菱形中,,将菱形沿对角线对折,使二面角的余弦值为,则所得三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.7.函数且的图象是()A. B.C. D.8.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()A. B. C. D.09.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()A. B. C. D.10.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.11.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()A.1 B. C.2 D.312.设是等差数列的前n项和,且,则()A. B. C.1 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足:,,若对任意的正整数均有,则实数的最大值是_____.14.设,分别是椭圆C:()的左、右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于E点,若满足,且,则椭圆C的离心率为______.15.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则_________,该几何体的表面积为_________.16.已知正四棱柱的底面边长为,侧面的对角线长是,则这个正四棱柱的体积是____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在中,已知,,,为线段的中点,是由绕直线旋转而成,记二面角的大小为.(1)当平面平面时,求的值;(2)当时,求二面角的余弦值.18.(12分)如图,在直角中,,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)点是线段上一点,,且,求的值.19.(12分)如图,在直棱柱中,底面为菱形,,,与相交于点,与相交于点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.20.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知:,:,:.(1)求与的极坐标方程(2)若与交于点A,与交于点B,,求的最大值.21.(12分)新高考,取消文理科,实行“”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;(2)请根据上表完成下面列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为,求的分布列以及.22.(10分)已知都是各项不为零的数列,且满足其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.(1)若数列是常数列,,,求数列的通项公式;(2)若是不为零的常数),求证:数列是等差数列;(3)若(为常数,),.求证:对任意的恒成立.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.2.A【解析】
根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x>0时,x<ax,则有f(x)>f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此时sgn[g(x)]=1,当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,当x<0时,x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=﹣1,综合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故选:A.【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.3.B【解析】
依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题4.D【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.5.B【解析】
设正四面体的棱长为,建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,求出面的法向量,设的坐标,求出向量,求出线面所成角的正弦值,再由角的范围,结合为定值,得出为定值,且的轨迹为一段抛物线,所以求出坐标的关系,进而求出正切值.【详解】由题意设四面体的棱长为,设为的中点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,过垂直于面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则可得,,取的三等分点、如图,则,,,,所以、、、、,由题意设,,和都是等边三角形,为的中点,,,,平面,为平面的一个法向量,因为与平面所成角为定值,则,由题意可得,因为的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值,,可得,此时,则,.故选:B.【点睛】考查线面所成的角的求法,及正切值为定值时的情况,属于中等题.6.D【解析】
取AC中点N,由题意得即为二面角的平面角,过点B作于O,易得点O为的中心,则三棱锥的外接球球心在直线BO上,设球心为,半径为,列出方程即可得解.【详解】如图,由题意易知与均为正三角形,取AC中点N,连接BN,DN,则,,即为二面角的平面角,过点B作于O,则平面ACD,由,可得,,,即点O为的中心,三棱锥的外接球球心在直线BO上,设球心为,半径为,,,解得,三棱锥的外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解,考查了空间想象能力,属于中档题.7.B【解析】
先判断函数的奇偶性,再取特殊值,利用零点存在性定理判断函数零点分布情况,即可得解.【详解】由题可知定义域为,,是偶函数,关于轴对称,排除C,D.又,,在必有零点,排除A.故选:B.【点睛】本题考查了函数图象的判断,考查了函数的性质,属于中档题.8.B【解析】
根据复数除法的运算法则,即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算,属于基础题.9.B【解析】
根据抛物线定义得,即可解得结果.【详解】因为,所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义,考查基本分析求解能力,属基础题.10.D【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求得的单调区间,由此确定正确选项.【详解】因为,由单调递增,则(),解得(),当时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.故选:D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想,应用意识.11.C【解析】
连接AO,因为O为BC中点,可由平行四边形法则得,再将其用,表示.由M、O、N三点共线可知,其表达式中的系数和,即可求出的值.【详解】连接AO,由O为BC中点可得,,、、三点共线,,.故选:C.【点睛】本题考查了向量的线性运算,由三点共线求参数的问题,熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.12.C【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件,求得的值.【详解】由于等差数列满足,所以,,.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.【详解】因为,累加可得.若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.所以.当时,证明:对任意的正整数都有.当时,成立.假设当时结论成立,即,则,即结论对也成立.由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.综上可知,所求实数的最大值是2.故答案为:2【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.14.【解析】
采用数形结合,计算以及,然后根据椭圆的定义可得,并使用余弦定理以及,可得结果.【详解】如图由,所以由,所以又,则所以所以化简可得:则故答案为:【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用,关键在于根据角度求出线段的长度,考查分析能力以及计算能力,属中档题.15.;【解析】试题分析:如图:此几何体是四棱锥,底面是边长为的正方形,平面平面,并且,,所以体积是,解得,四个侧面都是直角三角形,所以计算出边长,表面积是考点:1.三视图;2.几何体的表面积.16.【解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为54.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)平面平面,建立坐标系,根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.【详解】(1)如图,以为原点,在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴,建立空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,由得,取,则因为平面的一个法向量为由平面平面,得所以即.(2)设二面角的大小为,当平面的一个法向量为,综上,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.18.(1)3;(2).【解析】
(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程组即可.【详解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因为,所以,解得.在中,由余弦定理得,,即,,故.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的计算能力,是一道中档题.19.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)要证明平面,只需证明,即可:(2)取中点,连,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出与平面的法向量,再利用计算即可.【详解】(1)∵底面为菱形,∵直棱柱平面.∵平面..平面;(2)如图,取中点,连,以为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系:,点,设平面的法向量为,,有,令,得又,设直线与平面所成的角为,所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值,考查学生的运算求解能力,本题解题关键是正确写出点的坐标.20.(1)的极坐标方程为;的极坐标方程为:(2)【解析】
(1)根据,代入即可转化.(2)由:,可得,代入与的极坐标方程求出,从而可得,再利用二倍角公式、辅助角公式,借助三角函数的性质即可求解.【详解】(1):,,的极坐标方程为:,,的极坐标方程为:,(2):,则(为锐角),,,,当时取等号.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质,属于基础题.21.(1);(2)见解析,有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联;(3)分布列见解析,.【解析】
(1)分别求出中青年、中老年对高考了解的频数,即可求出概率;(2)根据数据列出列联表,求出的观测值,对照表格,即可得出结论;(3)年龄在的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值为0,1,2,分别求出概率,列出随机变量分布列,根据期望公式即可求解.【详解】(1)由题中数据可知,中青年对新高考了解的概率,中老年对新高考了解的概率.(2)列联表如图所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年
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