现代材料加工力学-第七章课件

7.1概述

塑性变形的数值解：工程法→滑移线法→能量法（上限法、上限单元法）→有限元法（FEM）.能量法是建立在极值原理的基础上。极值原理：以虚功原理、最小势能原理等为基础的一种能量解析法，关键引入速度不连续（间断）线（面）。

第七章极值原理及应用对于刚塑性体，真实的速度场可能是间断的。间断面是一薄层，在薄层两侧的切向速度发生间断，而法向速度连续。例如：拉拔过程，如图：v1n=vrn（法向）v1t≠vrt（切向）

△vt=│vrt-v1t│Nf=∫SDk│△vt│ds(虚位移剪切功率)k─材料剪切强度

V1V1nVrV1tVrtVrn7.2上限定理及上限功率理论基础：理想刚塑性材料。力学基础：虚功原理、最小势能原理。应用：与下限定理联系分析，可确定精确解的范围。如图：精确解上限解下限解满足：①运动学许可的速度场②体积不变条件满足：①静力学许可的应力场②应力边界条件假设有受力体边界条件如图：

Sv速度面速度Sv已知面力P未知速度不连续面PS

ST力面外力Ti已知速度Vi未知Sv速度面V=0P=?ST力面P=0Vi=?Sv速度面Vo=CP=?(可求）

由S=Sv+ST可得：∫STiνi*ds=∫vσijεij*dv+∫Sdτ│△vt│ds等式左边指的是在整个边界上外力Ti在虚位移νi*上所做的功率，等式右边第一项指的是变形体的塑性应变虚功率，第二项指的是速度间断面上的虚位移剪切功率。

∫STTiνi*ds+∫SvTiνi*ds=∫vσijεij*dv+∫Sdτ│△vt│ds∫v(σij*-σij)εij*dv≥0(最大塑性功耗原理)σij*、εij*主轴重合，满足增量理论。σij*、σij分别为假想的满足静力学许可条件的应力场和真实的应力场.∫vσij*εij*dv≥∫vσijεij*dv因此∫STTiνi*ds+∫SvTivi*ds=∫Vσijεij*dv+∫Sdτ│△vt│ds

∫STTiνi*ds+∫SVTivi*ds≤∫vσij*εij*dv＋∫Sdk│△vt│ds∫SVTiνi*ds≤∫vσij*εij*dv＋∫Sdk│△vt│ds－∫STTiνi*ds其中τ≤k(k为材料剪切变形抗力）上式即为上限定理。不等式右边第一项指的是塑性变形应变虚功率（消耗）Nd；第二项指的是剪切虚功率（消耗）(包含表面摩擦功耗)；第三项指的是附加外力所耗功率（例如轧制：前张力＋，后张力－）根据Mises塑性条件

上限法求解变形力的思路与方法：思路：分析金属流动特点（基本流动规律、已知速度边界等）→建立一个虚拟速度场vi*(运动学许可)→求εij*（几何方程）、│△v*t│(几何分析)→Nd、Nf（摩擦功率）→求极值上限法设定速度场模式有四种：（1）Johnson模式，刚塑性速度场模式（简化的滑移线场模式）∫SVTivi*

dv≤Nd＋∫SDk│△vt│ds+0∫SV

Tivi*dv≤∫SDk│△vt│ds（塑性变形通过材料刚性块之间的流动而实现）

(2)Avitzur模式：连续速度场模式，连续可导→轴对称三维问题（3）流函数模式主要针对平面问题，有利于处理较复杂的模面问题。（4）上限元法（UBET）UpperBoundaryElementTechnology解某些轴对称三维问题。解:按照Johnson上限模式，有

由几何关系可得:由速度关系可得:画出速端图//CA

(上限解)这种模式求解精度随单元格的细分而提高｡例如:当时,上限模式解1对Δ2对Δ3对Δ4对Δ2.212.001.771.75滑移线解为1.71｡pv0v1板条平面变形挤压速端图速端图:由JohnSon上限模式可得：

边界条件：注意：这里是每个瞬时径向的流动速度。(h∝z,t)（均匀压缩，Vz线性分布）接触表面的相对滑动速度为：（作为均匀变形问题，到此为止）下面考虑不均匀变形问题：（其中A、B为待定参数）流函数模式及上限单元法（略）总结与复习SummarizationandReview

场量理论：场的定义、分类、特性及稳定性求和约定张量曲线坐标（迪卡尔坐标系为主→极坐标、圆柱坐标、球坐标→正交曲线坐标）

应力场（主要是复习）：

应力的定义、点的应力状态、应力张量及分解、特殊应力、应力平衡微分方程及曲线坐标下的表达等等

SummarizationandReview

应变场：小应变理论（柯西应变张量或应变增量理论）

几何方程及曲线坐标下的表达应变张量的分解大变形理论或有限应变理论（拉格朗日有限应变张量、欧拉有限应变张量）对数应变

速度场及流函数：流动景象的描述、流线与轨迹的表达、应变速率、流函数及特性、梯度、散度与旋度等

SummarizationandReview屈服条件与本构方程：

塑性变形力学特点弹性变形本构方程基本假设与塑性变形简化模式屈服条件

Mises、Tresca屈服准则→双剪应力准则、Hill准则、硬化材料的屈服准则等塑性本构关系：增量与全量理论塑性势及应用（求解屈服条件与本构关系的关联）

Drucker公式与最大塑性功耗原理对材料塑性的本质的讨论Summarizationa