2018届数学二轮复习寒假作业（十三）平行与垂直关系（注意命题点的区分度）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE17学必求其心得，业必贵于专精寒假作业(十三)平行与垂直关系(注意命题点的区分度）一、选择题1．若直线a∥平面α,直线b∥直线a，点A∈b且A∈α，则b与α的位置关系是()A．b∩α＝A B．b∥αC．b∥α或b⊂α D．b⊂α解析：选D由a∥α，b∥a⇒b∥α或b⊂α，又b过α内一点，故b⊂α.2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（)A．相交 B．异面C．平行 D．不确定解析：选Cl⊥AB，l⊥AC⇒l⊥α,m⊥BC，m⊥AC⇒m⊥α,故l∥m.3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析:选B因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b;但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β"的必要不充分条件，故选B。4。如图，正方体ABCD.A1B1C1D1中,M，N分别为棱C1D1，C1C有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选C直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误，显然③④正确．5．已知l，m，n为不同的直线，α，β,γ为不同的平面，则下列结论正确的是()A．若m∥α,n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β,α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m,α∩γ＝n,l⊥m，l⊥n，则l⊥α解析:选CA．m，n可能的位置关系为平行,相交或异面，故A错误;B。根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C.根据线面平行的性质可知C正确;D.若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C。6．已知ABCD为空间四边形,AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD,M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（)A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直 D．AC，BD不一定垂直解析：选B∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，连接AN,CN,则AN＝CN。在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC。同理可得MN⊥BD.7．（2017·福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中为真命题的是（)A．①④ B．②③C．①②③ D．②③④解析：选D对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1,b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a,b均平行,因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N,过点N作直线c与直线a平行,经过直线c的平面（除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外）均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N,因此④正确．综上所述,②③④正确．8.如图所示，在斜三棱柱ABC。A1B1C1中，∠BAC＝90°,BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC。又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．9．（2017·成都一诊)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中,平面α与棱AB，AC，A1C1,A1B1分别交于点E，F，G，H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：选C因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC。A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH由AA1⊥平面BCFE,结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE.综上可知，选C.10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B，则线段A．1 B.eq\r（2）C。eq\f(\r（2），2) D。eq\f(\r（3),2)解析:选A由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1,B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝eq\f(1,2)AA1＝1.11．(2017·成都二诊)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD。EFGH中,AB＝5，AD＝4,AE＝3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是()A．2eq\r(34) B.eq\f(25，2)C．10 D．30解析：选A连接HC，过D作DM⊥HC，连接ME，MB，因为BC⊥平面HCD，又DM⊂平面HCD,所以BC⊥DM，因为BC∩HC＝C，所以DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE内的射影为M，所以△EBD在平面HCBE内的射影为△EBM，在长方体中，HC∥BE，所以△MBE的面积等于△CBE的面积，所以△EBD在平面EBC上的射影的面积为eq\f(1，2）×eq\r(52＋32)×4＝2eq\r(34)，故选A.12．已知E，F分别为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AA1上的点，且AE＝eq\f(1，2）AB,AF＝eq\f(1，3)AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点,则与平面ABCD平行的直线MN有(）A．1条 B．3条C．6条 D．无数条解析：选D取BH＝eq\f（1，3）BB1,连接FH，则FH∥C1D1，连接HE，D1H,在D1E上任取一点M，过M在平面D1HE中作MG∥HO，交D1H于点G，其中OE＝eq\f(1,3）D1E,过O作OK⊥平面ABCD于点K，连接KB，则四边形OHBK为矩形,再过G作GN∥FH，交C1F于点N，连接MN，由于MG∥HO,HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理,GN∥FH，可得GN∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面GMN∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD，由于M为D1E上任一点,故这样的直线MN有无数条．二、填空题13。如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________．解析:∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG,∴EF∥HG.同理EH∥FG,∴四边形EFGH的形状是平行四边形．答案：平行四边形14．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α;②m⊥α；③m⊂α;④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件__________时，有m∥β.（填所选条件的序号)解析：根据面面平行的性质定理可得，当m⊂α，α∥β时,m∥β,故满足条件③⑤时,有m∥β。答案:③⑤15．设m，n是两条不同的直线,α，β，γ是三个不同的平面,给出下列三个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n;②若α∥β，β∥γ，m⊥α,则m⊥γ；③若α∩β＝n,m∥n，则m∥α且m∥β.其中真命题的个数是________．解析：①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故①错误;②若α∥β，β∥γ，则α∥γ,若m⊥α，则m⊥γ，故②正确；③中有可能m⊂α或m⊂β,显然③错误．答案：116．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t,则t的取值范围是________．解析：如图,过D作DG⊥AF，垂足为G,连接GK.∵平面ABD⊥平面ABCF，又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABCF，∴DK⊥AF.∵DK∩DG＝D,∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.法一：易知当F接近点E时，K接近AB的中点，当F接近点C时,K接近AB的四等分点,故t的取值范围是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）,1))。法二：即在平面图形中，D，G，K三点共线，设∠FAK＝θ，则∠ADK＝θ,AK＝ADtanθ＝tanθ,又eq\f(1，2)＝tan∠CAB<tanθ〈tan∠EAB＝1，∴t∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，1）).答案：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），1))三、解答题17.如图,在三棱锥S。ABC中，已知点D，E,F分别为棱AC，SA,SC的中点．(1)求证:EF∥平面ABC;（2）若SA＝SC，BA＝BC,求证：平面SBD⊥平面ABC.证明：(1）∵EF是△SAC的中位线，∴EF∥AC.又EF⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC。(2)∵SA＝SC，D是AC的中点，∴SD⊥AC。∵BA＝BC,D是AC的中点，∴BD⊥AC。又SD⊂平面SBD，BD⊂平面SBD，SD∩DB＝D,∴AC⊥平面SBD.又AC⊂平面ABC，∴平面SBD⊥平面ABC.18．（2017·合肥二检）如图，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE,且AE＝2,∠AEC＝60°,CD＝ED＝eq\r(7),cos∠EDC＝eq\f（5,7）。将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝eq\r(3），得到四棱锥P。ABCE.(1)求证：AP⊥平面ABCE；(2）记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.证明:（1）在△CDE中，∵CD＝ED＝eq\r（7),cos∠EDC＝eq\f（5,7)，由余弦定理得CE＝eq\r(CD2＋ED2－2CD·ED·cos∠EDC)＝2。在四棱锥P。ABCE中，连接AC，∵AE＝2,∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝eq\r(3）,∴在△PAE中,PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE。同理，AP⊥AC.而AC⊂平面ABCE,AE⊂平面ABCE，AC∩AE＝A，故AP⊥平面ABCE.（2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l,∴AB∥l。19。如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点,点Q在侧棱PC上．（1)求证：AD⊥平面PBE；(2）若Q是PC的中点,求证：PA∥平面BDQ；(3）若VP­BCDE＝2VQ.ABCD,试求eq\f（CP，CQ)的值．解：(1)证明:由E是AD的中点，PA＝PD，可得AD⊥PE.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°,所以AB＝BD.又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE.又PE∩BE＝E,所以AD⊥平面PBE.（2）证明：连接AC,交BD于点O，连接OQ.因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ∥PA,又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，所以PA∥平面BDQ.（3)设四棱锥P.BCDE，Q­ABCD的高分别为h1，h2，所以VP。BCDE＝eq\f(1，3）S四边形BCDEh1，VQ。ABCD＝eq\f(1，3)S四边形ABCDh2。又因为VP.BCDE＝2VQ。ABCD，且S四边形BCDE＝eq\f(3，4)S四边形ABCD,所以eq\f（CP,CQ)＝eq\f(h1,h2)＝eq\f(8,3）。20.在直三棱柱ABC。A1B1C1中，AC＝2BC＝2AA1＝4，∠ACB＝60°,E，F分别是A1C1，BC（1)证明：平面AEB⊥平面BB1C（2)证明:C1F∥平面ABE(3）设P是BE的中点，求三棱锥P。B1C解:（1）证明：在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，∴AB＝2eq\r(3)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC。由已知AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，可得AB⊥平面BB1C又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C(2）证明：取AC的中点M，连接C1M,FM，在△ABC中，FM∥AB，而FM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中,E，M分别是A1C1，∴C1M∥AE而C1M⊄平面ABE，AE⊂平面ABE∴C1M∥平面ABE∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面F