数学-2022-2023学年高三下学期新高考模拟考试卷（山东专用）（解析版）

绝密★考试结束前2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（山东专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．若复数满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，，解得，即.故选：D.2．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于，故，，，即，故，因此，即.故选：C3．设，为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】∵在上单调递增，∴由得：；∵在上单调递减，∴由得，由，但，∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B4．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（

）A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2C．方差是，平均数是2 D．平均数是3，众数是2【答案】C【详解】选项A：有可能出现点数6，例如；选项B：有可能出现点数6，例如；选项C：设这5次的点数为，则方差如果出现点数6，而，则方差大于或等于3.2，故不可能出现点数6；选项D：有可能出现点数6，例如，故选：C．5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：B6．紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：），那么该壸的容积约接近于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，则，，，，故选：B．7．已知函数在上存在导函数，对于任意的实数x都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，∵当时，，则，所以当时，函数单调递减．因为对于任意的实数x都有，所以，即为偶函数，所以当时，函数单调递增．又，，，又，所以，即，故选:C．8．设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意作图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得．故选：C．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（

）A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直【答案】ACD【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.10．已知函数的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为的等差数列，函数的图像关于原点对称，则（

）A．在在单调递增B．函数图象的一条对称轴为直线C．，D．把的图像向右平移个单位即可得到的图象【答案】BC【详解】根据题意，的最小正周期为，又，故可得；又为奇函数，故可得，又，故当时，满足题意，即；对A：当时，，此时不是单调函数，故A错误；对B：，则是的一条对称轴，故B正确；对C：的最大值为，的最小值为，故，，C正确；对D：因为的振幅不同，无法通过平移使之相同，故D错误.故选：BC.11．已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．【答案】CD【详解】解：因为，所以，又，解得，当时，，整理得，故是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，则，所以不是等差数列，故A错误；，故C正确；因为，故B错误；令，，，在上单调递增，，则，即，故D正确．故选：CD．12．已知函数，下列结论正确的是（

）A．函数在上为减函数B．当时，C．若方程有2个不相等的解，则的取值范围为D．，【答案】ABD【详解】因为，定义域为，所以，令，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，则，所以在单调递减，故A正确；令对恒成立，所以在单调递增，所以当时，，即，所以成立，故B正确；因为为偶函数，所以原问题等价于在有1个解，即，即只用考虑在有1个解，令，（i）若，在恒成立，则，则方程无解；（ii）若，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减，则，时，，即时，，所以在有1个解，（iii）若，在恒成立，则，则方程无解；综上，，故C错误；由C知，若，在恒成立，所以,所以，故D正确.故选:ABD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．在的展开式中含项的系数为__________．【答案】-40【详解】故展开式中含项的系数为：故答案为：-4014．已知非零向量满足，且，则与的夹角为__________.【答案】【分析】根据题意，对平方，结合，求出向量的夹角的余弦值，即得与的夹角.【详解】由，平方可得，即，又，整理可得，所以与的夹角为.故答案为：.15．已知函数，若恒成立，则实数k的取值范围为__________．【答案】【详解】由题意得，当时，由恒成立，得．因为在上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得．因为在上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得，即，所以．综上，实数k的取值范围是．故答案为：16．早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖暅原理：幂势既同，则积不容异.这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等.将双曲线：与，所围成的平面图形（含边界）绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体，其中线段OA为双曲线的实半轴，点B和C为直线分别与双曲线一条渐近线及右支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面积是__________，几何体的体积为__________.【答案】

【详解】解：由双曲线得，则渐近线方程为所以，则；又，则则线段旋转一周所得的图形的面积为：；因为被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总想等，又双曲线的实半轴，此时截面面积为所以根据祖暅定理可得：几何体的体积为；故答案为：；.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列满足，．(1)求的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以，当时，，，…，，相加得，因为，所以，因为满足，所以，．（2）解：因为，所以．因为，所以．18．在中，角所对的边分别是，已知.(1)求的值；(2)若的面积，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，，，即，所以，又是三角形内角，，又.（2）因为，所以，由，解得.由.，得.18．2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；(2)现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”；“某场比赛中该球队获胜”；则，，，，，，由全概率公式可得：.所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是.（2）设“5场中有场获胜”，“甲所在球队顺利晋级”，；；，则，，同理可得，，则的分布列为：34520．如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)存在，当为圆柱的母线，(2)【详解】（1）存在，当为圆柱的母线，.连接，因为为圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以.因为为圆的直径，所以.，所以平面，因为平面，所以.（2）以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.，因为的长为，所以，设平面的法向量，令，解得，所以.因为轴垂直平面，所以设平面的法向量.所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.21．已知抛物线的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，的面积的最小值为4．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．【答案】(1)(2)存在定点【详解】（1）斜率不为零，设代入，，设，则，，当时，取最小值，，，抛物线C的方程为：．（2）假设存在，设，由题意，斜率不为零，设的方程为代入，可得，，，，故，即，即，，解得，故存在定点满足题