正文-优化理论与决策分析方法

系统分 系统与系统工 系统工程方法 系统分 系统的生命周 系统分析的要 系统分析的角 系统结构模型及系统结构分 系统结构模 结构模型的有向图形 结构模型的矩阵形 系统结构分 概念准 系统的连通域划 系统的层次划 系统强连通域的划 系统结构分析的应 企业系统规划 考虑要素间联系强度的聚类方 依据对象属性值的对象聚类方 决策分析方 决策分析问题类 风险型决策分析方 效用理 层次分析 AHP方法的递阶层次结 判断矩阵的建立与（分）权重计 综合权重计 权重解析问 判断矩阵的一致 主成分分析 预备知 主成分及其性 样本主成 6分 6.1分析及其特 6.2分析模 构成分析模型的要 6.2.2分析的具体实现步 动态系统优化问 动态系统的提 动态系统的能控 动态系统的优化问 线性动态系统的优化问 线性动态系统优化问题的提 柯西公 线性系统的能控 线性动态系统优化问题的求 最小二乘 系统辨 最小二乘法的实 系统动力 仿真计 系统分社会的发展使人们认识世界的活动从、对局部有了了解以后，系统与系统工系统的整体性是指具有独立功能的系统要素以及要素间的关系是根据开整体去谈论要素间的联系和作用。按照系统的，自然系统是由自然过程产生的系统，如海洋系统、生系统的的数学模型中不含时间因素。构、信息流动和控制机制等进行分析和设计的技术（工业标准JIS）论，的生物学家路德希维·冯·贝塔朗非是主要创始人。系统工程方法根据一定的策略，最终选择1-1霍尔—切克兰德系统工程方法论的程序与步骤50年代中期，当时我国实行计划经济体制，1956年在力学所成立了我国第一个运筹研究组1960年数60年代初在我国大力推广“优选化学会成立了系统工程专业。1979年成立了中国系统工程学会。系统分系统的生命周系统分析（准备研究系统分析（准备研究发展（开发）

1-2系统分析的要系统分系统分析的要①目例如某计时系统的目标定义为能用数字显示当前时刻的时分、②替代方③指如计时系统的某一指标：每日走时误差：±5④模⑤标3⑥决系统分析的角系统环境分系统目标分系统结构分系统组成的要素集研究分析要间的关系系统整体结构划分三个阶段系统结构模型及系统结构分系统结构模结构模型的有向图形来描述系统的结构。其点用来表示系统的要素，有向边表示要素间的关SS2-1用矩阵描述系统结构可以进行逻辑或数算进而可使定性分析和定， ，SE，则有向连接图GGSE。2-23-2GSESSi,i 2,S1S4 节点的边就构成了回路。如图2-3点S2,S3之间就构成了一个回路。S12-3节点S2S3环：一个节点的有向边若直接与该节点相连接，则构成一个SS1图2- 节点S2的有向边中存在图2- 结构模型的矩阵形邻接矩阵A S与S有关系或SRSAa的元素a定义为：

ij

S与S没有关系或SRS S2图2- 某系统的有向图模2-6S2000000S2001000A110000S4001011100000100000AA0，A0，111可达矩阵RAStep1:GAIAI对Sii1,n构成的系统，显然有：若SiSkSkS也一步可达，则Si到Sj两步可达，或称Si2SjStep2:计算系统要素间的二步可达矩阵G2G2GGk

(G(i,k)G(k,j)),i1,...n,j1,...n类似地，可计算系统要素间的3步、4步、…n-1步可达矩阵，G3G2GGn1Gn2G图3- 所示系统的的相关矩阵为 1 1G2

0 0 11 011000000 111 001 000G3 R可由下式计算给出：RIGG2R(i,j)1，则表示要素Si到要素Sj00000001100110011110001000011R 系统结构分ARA计算得到的，它概念准设有由Sii1,n构成的系统，R个要素Si的可达集、先行集和系统的共同集的定义。A(Si：要素Si的可达集，即SiA(Si2-7要素SiD(Si：要素Si的先行集D(Si中的要素到Si2-8要素Si72-966743251图2- 由7个元素构成的系 1 1 A

00000000000010000011110011100010001111000011R 由此AS1S1AS2S1S2DS1S1S2S7DS22,7系统的共同集：TSi|ASiDSiDSi。系统的共同集实系统的连通域划系统要素Si与SjSi到Sj可达Sj到Si系统Step1:求出系统的共同集合TSiA(SiD(Si)D(Si)}，即求出系2-12-12-9A(SiD(SiA(Si)D(SiS1，S2，SS1，S2，SSS3，S4，S5SSSSS4，S5，SS3，S4，SS4，SSSS3，S4，S5SSSS4，S5，SS3，S4，SS4，SSS1，S2，SSS3-1

T{S3,Step2:对Si，SjTA(SiA(SjØ)...A(S3)S3S4S5S6

A(S7)S1,S2S7}两个连通域{S3S4S5S6}和{S1,S2S7}系统的层次划Step1:置iStep2:S求出其共同集合T，则T中要素就为系统的第i层Step3若STØSTØii1Step2

S\T②④⑥②④⑥⑦③图2- 图2-9所示系统的层次结系统强连通域的划系统要素Si与SjSi到Sj可达Sj到Si强连通区域划分按要素间的相互可达关系把系统划分为具有强连通关连通区域划分通过计算描述系统要素间强相关关系的强连通距阵SRRRT00000 1000000000 1000010000 1000001111 01000 SR 0 0000000010000010000010100010001010000000 SR3-87连通域{S1}，{S2}，{S3}，{S5}，{S7}，{S4,S6。系统结构分析的应企业系统规划企业系统规划法（BusinessSystemPlanning,BSP）通过分析企业或组织例如：通过原材料采购部门我们得到如下企业过程

2-11建立过程/建立过程/图2-12假设通过得某企业的所有管理过程Pi,i1,...m：和生成数据，并归纳汇总进而得到企业的数据类dj,j1n：建立企业过程与数据类间的使用和生成矩AcAu。过程/Ac0100100000001010010001100000000010000000Ac0000,过程/Au100010001000000010000010000000100001111111Au1111,计算企业过程间的一步可达关系矩PiPjPi类dkPj直接使用了(P1P4P1生成的数据d1P4直接使用形成的) 2-13PPG可由过程与数据类间的AcAu按下列公式计算得到:GAAT n(A(i,k)AT(k,j)),i1,...,m,j1,...,m

i,

k

0

0

1

0 1

0

1 1G

0000 0000

001010000

000

1000 1000

110 10 011000 011000 其中G(i,j)1PiPjG(1,4)1,到过程P4一步可达计算企业过程间的多步可达关系矩G2GGm(G(i,k)G(k,j)),i1,...m,j k G200100100100010001111001001001000 1 1 1 1 0100001000010001111 11100001 1100001 0000000 0000000

10 10

0010 0010若G2i,j)1,PP 3步，4步…m-1G3G2G,...,Gm1Gm2Gm-1及以上步的可达关系，因此我们只须计算G1,G2,...Gm1即可计算企业过程间的（整体）可达矩RIGG2其中矩阵计算符号∨表示矩阵对应元素的布尔和，Im阶单位矩阵。R(i,j)1PiPj可达（3-110011001111001100001100110000RIGG2G3G4G511002-14计算企业过程间的相互可达关系矩阵Pj相互可达(3-12)图2- 企业过程间的相互可达关QQR

100

1

1 10100000

11 11 1

1 100 100111 111

1 10100000

0 01 1如果Q(i,j)1PiPjPiPjPiPj调整相互可达矩阵Q得到过程间相互可达的强子矩阵100110100110011000011000100110100110000001Q进行行、列调整(在本例中将第1行移到第3行后，再将第1列移到第3列后即可)，得到企业过程间相Q'(3-14)3-3企业过程间相互可达的强子矩阵。110000110000001110001110001110000001这样企业的6个过程Pi,i1,2,...6划分成了如下3个子系统：子系统1（P2P3）子系统3（P6）考虑要素间联系强度的聚类方设局在分析某案情时，收集到m张，按逻辑推理它们应是若干建立要素间联系强度矩强度矩阵，用G(gi,j)表示。其中gii=1（即每张与自己100%相似，这种性质称为自返性gij=gji（即相片i与相片j的相似程度和相片j与相片i的相似程度相计算要素间多级联系强度矩G2G

m

g

Kj类似地，我们可计算三级，四级，m-1G3G2G，G4G3G，…Gm-1Gm-2计算要素间整体联系强度矩ijR(r GG2ij计算绝对相似矩对于模糊等价关系，给定一个聚类水平1通过矩阵R就可得到所要求的分类，也确定了每 属于哪个（类依据对象属性值的对象聚类方nm（2-3表2- 通过m个指标描述n个对123…mAminy

（各指标值的最小者 Bi maxBi

（各指标值的最大者xyijAi，i1,2,...n,j1, B 2-4表2- 规范化后的m个指标描述n个对123…mnm计算对象间的一级相似关系矩对象之间的某种相似程度一般用[0，1]内的一个数表示，1表示最相近，或者说在某种意义下相同，0表示一点不相近。gij

mmxiKxmxiKmxiKm2x2

g1nGgg

g2ngnn显然：gij=gji,i,j=1,2,…n。gii=1 i=1,2,…n计算对象间的多级相似关系矩G23……n-1G2GGG3G2Gn-1Gn-2计算对象间的整体相似关系矩RGG2Gn-确定对象间的绝对相似矩ri,j1若rijri,j0。这样，得到对象间的相似矩阵R(riji,j调整对象间的绝对相似矩1例2-1：设有6个科研机构，我们希望按表2-5所示三个指标将它们分类表2- 6个科研机构的三个指（评分（万元1002指标3“工人、行政人员”为机构中工人和行政人员的比率。如某科研机构总人数500人，其中工人和行政人员100人，则指标3的值为首先将上表给定指标值规范化，计算得：A1=29，A2=12B1=100，B2=50B3=542-6表2- 规范化后6个科研机构的三个指123011100

G

1

1

1G2阶关系1111111G2GG 111111RGG2G5 O1O2O3O4O5 1 1 R

1 1 11 O1O2O3O4O6 111111111111111111110000R'

0000由此可得出，6个科研机构被分类2类，{1，2，3，4，6}，{5}这是符合实际的，显然科研机构5是一个“基础性研究机构,且其工人、行政人员较若取λ=0.99O1O2O3O4O5 0 0 0R0

1 1 11

O1O2O3O4O600001100001111111111111111000000 00 00R' 00 此时聚类结果为14决策分析方决策分析问题类在工业企业生产和管理系统中，要解决一个决策分析问题，将会着3-1:某科研项目有一配套的基建工程，施工部门要决定下月是否开工500005000“行动方案”（3-1表3- 例3-1中决策问题的决策---确定型决策分3-23-2损益 状-风险型决策分3-1中，3-2---益损期望值为最大、存两个或两个以上不以决策人员意志为转移的自在本例中不动方案的期望益损值为：开工：50000×0.2+(-10000)×0.8=2000元不开工：(-5000)×0.2+(-5000)×0.8=-5000元开工”方案的益损期望值为-5000元。如果以方案的益损期望值为目标进行不确定型决策分3-2：某工厂准备生产一种新型产品，由于该种产品在国内市场上未曾1231010年内在不同自然状态下的益损值（已扣除投资费用）3-3。表3- 例3-2中决策问题的决策-----方案方案然后再从各方案的最大收益中找出最大值,8501，即若按乐观法进方案方案max400,350,50先找出对应于各种自然状态下的所有行动方案的最大益损值（4-4中表3- 例3-2中决策问题的决策表（续-----表3- 例3-2中决策问题的决策表表（续00001：350min{350300450}=300，2，即为最后所选方案。风险型决策分析方为此本小节给出两种进行风险型决策分析的方法。期望值此方法一小节中我们讨论风险型决策分析问题时曾提到过，这里我mmPiXiPii率，Xi3-3：某厂决定今后五年内生产某电子产品的生产批量，以便及早进行有3种可能的方案即大、中、种方案相对于三种销路（好，一般，差）3-6。表3- 例3-3的决策8差好--A2：E(X2)=0.3×12+0.5×17+0.2×12=14.5A3：E(X3)=0.3×8+0.5×10+0.2×10=9.4E(X2)=14.5A2（中批量）决策树1）绘制决策树。按问题所给信息，由左至右顺序绘制决策树，所用符销路一般大批量生产销路一般大批量生产销路差销路好中批量生产销路一般销路差销路好小批量生产销路一般销路差8图3- 例3-3的决策2)计算方案的益损期望值。将计算结果标注在相应的状态节点上端34-4某生产电子产品的工厂决定改造产品结构，为此设计了两种结若改成晶体管结构的话成功率为80%，而改成集成电路结构的话成功率为55年内跌价的概率为10%，保持的概率为50%，而涨价的概率为40%，各种方案在不同表3- 例3-4-0晶体管结构--集成电路结构-0--跌价跌价0失败涨价跌价涨价跌价涨价跌价失败0涨价集成电路跌价涨价0跌价跌价涨价图3- 例3-4的多级决策

效用理效用和效用例3-5：某稀有金属矿准备增加矿产量，为此制定了两种方案，一是新建525050%520001000成功成功失败 例3-5的决策

20001000险。这里，稳拿250万元的价值就大于要冒风险的500万元（期望值）250500万元期望收益的效用。由上可见，决策分析是由决策人来承担的，决策人的因素对决策效用曲3-5图3- 最大和最小效用（20001（-1000，0）效用效用 3-5然后与决策人，获取决策风格参数比较两方案甲，乙的益损期望值（即500和250）如果决策人宁愿接受稳获250万元的收益的方案2，则证明方案乙在此条件下的效用值大当方案乙由稳得250万元收益变为肯定要亏损100万元时决这样经过多次“”后，决策人认为：当方案乙由稳获250万案效用值等价，即方案乙的益损值为0时的效用值等于甲方案的效用值，其 3-6效用曲线的画法（续

效用曲线的类 3-7这是一种谨慎，避免风险，不求大利的保守型决策人例3-6：某制药厂生产A，B两种新药，但受到及销路限制只能产一种通过知两种产品销路好的概率均为0.7差的概率为0.310进行决策。表3- 例3-6中决策问题的决策 AB其决策树为好好A差B差24 图3- 例3-6中决策问题的决策值为准则决策，首先与决策人进行，得到效用曲线如下图： 3-93-6AB层次分析A.L.Saaty一种多目标评价决策方法AHPAHP有深刻的内上推得到各方案对总目标（最目标）的相对重要性，从而得到各方案对AHP方法的递阶层次结最：这一层只有一个元素，一般它是被分析问题的预定目标，（2。。。

4-1AHP4-1：设有如下决策问题。某投资者欲进行投资，有三种方案可供选“W1W1W2W3W3W1W2W1W1图4-2 例4-1的递阶层次结构为W W W0（W0+W0+W0=1，W0,i1,2,3 的程度（权重）分别为W1、W1、W1 品”的重要程度为W2、W2、W2 产品”的权重为：W3，W3，W3 W0W1+W0W2+W0W AHP尺度（4-1）建立相对重要程度矩阵（判断矩阵。判断矩阵的建立与（分）权重计建立判断矩判断矩阵是通过以上一层的某一要素EH作为判断准则，对本层要素 ……a12a22a2an2aijEHAiAjai,j1aj4-11EHAiAj35794-1（续，Z，第二层的各元素分别为：风险程度一B1利润率一B2，转产难易程度一，Z123151“要“利润率”比“风险程度”稍重要。相对重要度（权重）的计量问题（4.4节AHP方法中研究最多AHPAiEH的相对重要程度（权重。用根法计算特征向量W=（W1，W2，……Wn）的的公式为nanaijj1n

， ni对W=（W1，W2，……Wn）进行归一化处理，即可行到Ai关于EH的相对重要程度（权重）W0：iiW0i

nn3aijj13aijj13233

=a11*a12*a133=1* *2

=3*1*5 = 32 W= W0

*1

3=0.87311

W3

2W02W

W

=2.47 3W03

=0.4600即B1（风险程度、B2（利润率、B3（转产难易程度）关于投资A0.23、0.648、0.1221312510 Wi131531127151131751综合权重计 04-34-1W1为W2=0.298、W3=0.284。资”的重要程度（权重）分别为0.418,0.298,0.284，其中方案“家用电器”的0.418，故投资生产家用电器方案为宜。权重解析问权重的值介于0和1之间，权重越大，相应方案(对于其评价准则来讲)4-4AHP设有mg1g2,...gmβ，两比较，设第i个小球与第j个小球的重量比为：ai,

gigji1,2...m,j1,2,...mA

为mgg1/g1,g1/g2g1/gm gAa

＝

/g1,

/

/gmij

g/g,

/g

/g mGg1,g2gmg1/g1,g1/g2g1/gm g1ggggAG

2/g1,

/

/gm2g/g,

/g

/gg mmmg1AG＝mG

＝

2＝mGm据线性代数的知识m为矩阵A的特征值，G是矩阵A属于特征值m的对于AHP方法中的层次权重解析过程，我们也可在相邻两层要素间，构判断矩阵的一致A

，若

0，i，j＝1,2,…m，则称A为正矩阵。对向

0，i＝1,2,…m，称X为正向量iA(aij)mmi①aii

②a1,aaAA

为互反正矩阵，若还满足

,则称A为一致性矩阵互反正矩阵A有如下性质①A的最大特征值maxm②A

m一致性矩阵A有如下性质A的每一行均为任意指定一行的正数倍数，故有秩（A）=1A的最大特征根

m0③若 的特征向量为ww,w

T，则a

wi

jww特征值及 及对应的特征向量ww,w

T（

w

可唯一确定该特征向量在用层次分析方法解决问题时，按照判断尺度表构造的判断矩阵Aa

，显然有

0，且

1，i，j＝1,2,…mij

aAaaijaik·akjijk＝1,2,…m。据一致性矩阵的性质，只有判断矩阵A为一致性矩阵时，才有唯一非零的最大特征值max（其余特征值为零同层元素对于上一级某一元素为准的权重才能为max的单位特征向量由于一般情况下，判断矩阵A仅为互反正矩阵，则maxm，其余特征值并非全部为零，从而aijwi/wj，并非一致。征值max仅略大于m，且其余特征值接近于零，这称之为满意的一致性A1max,2Aaii1i1,2,mAmtrA=aii=m于是，A

2m=trA=mmi=maxi显然，为了保证判断矩阵达到满意的一致性，即除了max外，其余m1个特征根2,m尽量接近于零取23m（ConsistencyIndex）指标， C.I= =max m1 m显然，C.I越小，判断矩阵的一致性越高。一般认为，当C.I0.1时，在例4-1Z 0123151B2B13，B1B32。按逻B2B36B2B3重要程度的比值却为5，即该判断距阵存在不一致性对判断距阵一致性指标计算时，需要计算判断距阵的最大特征值max。在实际应用中，一般近似计算判断距阵的最大特征值 1AW0)iAii

m

1/ 20.23 0.69在本例中：AW0 50.6481.948 10.691.9480.3673.006 C.I3.00630.0033主成分分析预备知在多指标决策中指标集合用n维随机向量X(X1,X2 Xn)来表示X的数学期望（均值向量） E(X)(E(X),E(X),,E( COV(X,X)E(XE(X))(XE(XCOV(X1,X1 COV(X1,X2 COV(X1,Xn)COV(X2,X1 COV(X2,X2 COV(X2,Xn) COV((ij

n,X1

n,

2

COV(

n,Xn)COVXiXjEXiEXiXjEXj))ij为随机向X的分XiXj的协方差，由于ijji，i,j1,2,n故协方差矩阵是对称σσiiσ特别地，D(Xi)COV(Xi,Xi)ii,i1,2,n称为随量Xi的方差。随量Xσσiiσrij

，(i,jXX的相关矩阵，R，R(rij)nnR1，其余元素的值在-1+1主成分及其性nRn1（即单位向量）的集合，记为￡L|LTL1LRn}。XXX,X}TnLL,

n Li￡。按下列方式构造新变量Z1Z2,ZniiZLTXi1,2,nii①若Z1满足条件11则称Z1LXX11T1②若Z2 D(ZmaxD(ZZLT且cov(ZZ 则称Z2LXX22T2③一般的，若Zk(k2,3,n D(ZmaxD(ZZLT且COV(ZZ0,i1,2,k 则称ZkLXXkkTkX主成分Z1Z2,Zn的关键是求L1,L2,Ln。5-1Xn向量EX)0X的协方差矩阵为。n特征值为12n0Xi主成分Zi的系数向量是特征值i所对应的单位特征向量X主成分的系数向量是协方差矩阵的单位特 X的主成分向量Z(ZZ, ①主成分向量Z Cov(Z,Z) nX iii 价能力X与主成分Z的信息量相同。数

nn

Xk主成分Zkkkk个主成分贡献率的和bik随机向量Y(Y,Y,,Y D(XD(Xi

XiE(Xi),i得到的标准化向量Y的协方差矩阵正好等于X的相关矩阵R，且E(Yi0,i1,2,nXR5-1就可以求其特性值及单位特征向量，得到Y的主成分向量ZX的主成分样本主成X的分布是未知的，因此其协方差和相X的样本来求X的主成分。Xm

x1nxx

x2n

...xx

xmnmx11m记 k

ki （5- 1 m

xi)(

xj

（5-rij ，i，j=1，2，…，n （5-Rrij)nnXXR的特征根12n0LL,LZ(ZZ

)TX Ti主成分，其中ZiLXi

x1nxx

x2n

...xx

xmn1（5-2（5-RR

0n个特征值12n

方程组RIL0L1L2,Ln计算各主成分的贡献率

nin

kk率

85k

LTYi ii8净产值利润率回定资产的利润率总产值利润率销售收入利润率产品成本利润率物耗利润率人均利润率（4元/人流动利润率8个指标，145-15-114123456789R为：

R

1

1

1

1

1

R的特征值及对应的单位特征向量为：1L12L=(0.3979,0.6214,-0.2240,-0.2730,-0.3120,-23L=(0.4596,-0.1070,0.0230,-0.0530,0.0204,-0.0950,-34L=(-0.6620,0.2812,-0.2390,-0.1010,0.1295,0.0459,-45L=(0.1174,-0.6520,-0.0990,0.0150,-0.1830,-56L=(-0.1180,0.1191,-0.1050,0.8571,-0.3240,-0.1230,-67L=(0.1501,-0.0500,-0.5530,0.1268,0.7323,0.3110,0.524,-78L=(-0.1930,0.0296,0.6426,-0.1130,0.2564,-8b1=0.7614，b2=0.1382，b3=0.0541，b4=0.0265，b5=0.0178，b6=0.0004，b8b1b20.899685k2即按累积贡献率准则取主成分Z1,Z2

Z1Z2由主成分Z1中，Y3,Y4,Y50.412主成分Z2中，Y2的0.6214，故其是反映企业资产投入效益的指标。6分其是一级的决策问题，更需要决策者在定性分析的基础上，凭借其经济和决策艺术作出最合理的决策，本章介绍的分析方法就属于这一类的决6.1分析及其特事件是指具有两个或两个以上的个人（或）各自为了自身利益政治、、，小可到人与人之间的和。特别是在经济管理中级的对策。到了80年代逐渐形成了分析方法。利用分析方法能尽可能利用掌握的信息，尤其是对手难以定量分析对对事件的背景稳定图6-1分析过6.2分析模构成分析模型的要（Time个过程中变化，所以需要确定一个瞬间时刻，使问题化。（Player：（Option④结局（e：各方局中人的策略可以构成一个，由此而形成6.2.2分析的具体实现步问题背景分1962年10月14日空中侦察机侦察到位 南边的古巴部暑和对抗，以取得主动权。当时肯尼迪立即作出反应，成立国家安全的执行研究该事件的现状和可能的发展，并考虑怎样才能消除前的这一。研究的结果是可能采取的策略有①采取空袭简“空袭，以摧毁在古巴的。②在海上设置一个圈（简称“以防止古巴军舰活动。当然也可不采取任何策略，通过途径解决问题。加剧紧张化（简称“紧张化这可以通过西柏林，军舰来实现。当然也可以继续将留在古巴的而不作任何反应。建立分析模①时间点：19621017，但古巴在此事件中没有决策权。所以局中人实际上是和：。：。④结局双方的行动各为2（每一种又采取和不采取两种可能22×22=1616（6-1。表6-1古巴中局中人、行动和结局明细 ）空00100111001001110010011100100111 ）0000000010101010010101011111111101234567891（0011（1011（011（16-20010011100100111001001110000000010101010010101010123456789确定偏好向经过反复研究，确 双方各自对各种结局接受的先后顺序，这称表6- 在古巴中的偏好向0001101101101100111001001010101000000000010101098表6- 在古巴中的偏好如向0000010110101111111001000010100010001000010101010462517398稳定性分①确定每个结局的“单方面改进结局6-5给出了通过单方面改进可能得到结局。表6-5古巴的稳定性分EE##########rsuuruuuruuu46572422266119953rsrururuuuuu0462557756031240 方的策略为1，即进行00不 圈，苏方的策略为1，即撤 而不 紧张化0如苏方策略不变，则美方可以单方面改进策略为0或0，从01 01 局变为4或6。因此对结局5，单方面改进后的结局为4、6②结局分任何一种可行结局对于的每一个局中人来说有四种稳定性。合理稳定性（r）中人对某一结局没有单方改进，则这时，在。（s结局q单方面改进后得结局q’（当然q’优于q，这时若乙方由结局q’也可面改进结局q’存在续性处罚。若结局q的所有单方面改进都存在连续qS。如上表中，对美方来说，采取单方面改进可使结局6改进到4，而这时苏方可从结局4经过单方面改进到结局0，对美方来说结局0劣于结局6，（uq’无单方面改进的可能性，这时对甲方来说，结局是不稳定的。5464稳定，结局6是合理稳定，均不存在单方改进的可能。故结局5对美方来讲全局平稳（E。如果一个结局对双方都有一定的稳定性（r，s或）则称这个结局为全局性平稳结局，如结局4和6，在稳定性分析中用E表另外，用#表示非全局平稳结局找出合理找出合理性稳定结局标记为E，否查找是否有连续S，否则u上述的古巴事件的分析过程和结果为19621017，也没有使紧张化，处于结局0的情况美方来说是不稳定的（u即存在着向结局2，13单方面改进的可能性，2。（r（u66对美、苏双方都是稳定的，所以古巴的最终结果是结局6，即美方设置圈，苏方撤除。第一步：0~2，美方设置圈。这个变化过程也正是 态变化过程动态系统优化问动态系统的提7-1：某企业在经营过程中须保持一定的现金（这里指活期存款）以满假定企业对现金的需求规律为d(t的利率为r1(t)，债券的利率为r2(t)。债券经纪人的佣金按交易1元债券元x1(tt时刻企业所持有的活期存款数量。x2(tt时刻企业所持有令u(ttx1(t1)x1(t)r1(t)x1(t)d(t)u(t)x2(t1)x2(t)r2(t)x2(t)t=0(即时间相对起始点)时,x1(0)x10x2(0)x20则未来任何时刻tx1(tx2(t

x10x20

x1(t),x2t)y(t)x1(tx2(t)

x1(tx2t)。令x(t1)f(x(t),u(t),t),tT[0,t*y(t)g(x(t),u(t),x(t)Rn,u(t)Rr,tR,y(t)Rmx(t)u(ty(t称为系动态系统的能控gRm,存在控制u(ttTy(t在tt*y(t*g（7.1节.中,若货币资产动态系统能控,则意味着对于任意给定的货币资产总额g*,总可给出一个债券或出售策略u(0),u(1),...u(t*1)如果g*。（动态系统的优化问7.12g*且员工的年终收益最高？则该问题化为：22x(t*)2x1(t1)x1(t)r1(t)x1(t)d(t)u(t)x2(t1)x2(t)r2(t)x2(t)u(t)x1(0)x10,x2(0)x2012y(t*)x(t*)x(t*)g12(x(t*))x(t1)f(x(t),u(t),t),tT[0,t*y(t)K(x(t),u(t),x(t)Rn,u(t)Rr,tR,y(t)Rm线性动态系统的优化问线性动态系统优化问题的提c'x(t*)x(t1)A(t)x(t)B(t)u(t),tT[0,t*x(0)x0y(t*)H(t*)x(t*)g*f*(t)u(t)

x(t)(x1(t),x2(t),...xn(t)),u(t)(u1(t),u2(t),...ur(t)),c(c1,c2,...cn*A(t)Rnn,B(t)Rnr,H(t)Rmn,f(t),f*(t)Rr*为相应阶数的矩阵或向量。不失一般性,A(t)A,B(t)B,H(t)H,f*(t)

f,f*(t)

f***c'x(t*)x(t1)Ax(t)Bu(t),tT[0,t*x(0)x0y(t*)Hx(t*)g**f*u(t)*柯西公x0及控制u(),0,1,...t1t统状态x(t)的公式，这个公式称为柯西公式上节讨论的线性系统，在[0tx(1)Ax()Bu(x(0)在上式两边同乘nnF(t,，且对0t-1t

t

tF(t,)x(1)F(t,)Ax()F(t,)Bu(

t t由于F(t,)x(1)F(tt1)x(tF(t,1)x(F t tF(t,t1)x(t)F(t,1)x(0)[F(t,)A()F(t,1)x()]F(t,)Bu( 假定nnF(t,F(t,1)F(t,)A,0,1,...tF(t,t1)矩阵函数F(t,)称为系统的基本矩阵t这样有：x(t)F(t,1)x(0) F(t,)Bu()上式称为柯西公式。利用柯西公式，我们可由当前时刻tu(0u(1),...u(t1)x(0)x(t)线性系统的能控x(t1)Ax(t)bu(t)x(0)x0y(t)Hx(tbmgRmy(t*Hx(t*gt*0HF(t*,t)bu()gHF(t*00令h(tHF(t*,t)b,t[0,t*1ggHF(t*,1)x，则有0t* h()u()rankh(t),tTm线性动态系统优化问题的求t*c'F(t*,t)bu(t)t

t*0HF(t*,t)bu(t)gHF(t*,t)x0t*fu(t)f*,t*0c(tcF(t*t)bh(tHF(t*t)bggHF(t*t)x则线性动态0t*c(t)u(t)tt*h(t)u(t)tf*u(t)

u(0u(1),...u(t*1t*,m个等式约束和2t*例7-2：研究下列线性动态系统的优化问题x1(t1)x1(t)x2x2(t1)x2(t)x1(0)x2(0)x2(5)u(t)1,tT1A

**

1t*5F(t,),0,1,2,3,4

1F(5,t1)F(5, 01 F(5,4) 1F(5,t)

4t,t 1'

c(t)cF(5,t)b

4

1 h(t)HF(5,t)b

1 5ggF(5,1)x00 14u(0)3u(1)2u(2)u(3)u(0)u(1)u(3)u(4)1u(t)1,t最小二乘系统辨输入、输出根据对系统的了解程度，系统辨识问题分成两类：XXY8-1Y=aX，a表8- 系统输入-输出数据i11222334则我们可直观地感觉到参数a2最小二乘法的实 ynxxx,... y1x12x2nxn，其中1,2,n我们假定iyx的观测值来估计Y8-2假设在t1t2,...tmYXy(i),x1(i),x2(i),…,xn(i)i=1,2,…m则我们可用如下的my(i)1x(i)2x2(i)nxn(i)，i=1,2,在统计学中上述方程称为回归方程，i被称为回归系数。上述方程组可整理为矩阵形式YX，其中 如果mn则可以从回归方程得到

统的模型，即我们测得的数据yix1i)xn(i)，i=1,2,…m，并不精确 为了解决上述系统参数的估计问题，定义误差向量(, yX

iy(i)1x(i)n JJ iJJ(yX)T(yX=yTyTXTyyTXTXTJ=2XTY2XT

0

2XTY2XTXˆ0这个结果就称为的最小二乘估计（LSEXTXˆXTY系统动力系统动力学(SystemDynamics，SD)是麻省理工学院教授J．W．福立SD模型并以计算机为工具进行仿真试验可以分析和研究系统的结构和早在本世纪50年代中期，福雷斯特就提出了“工业动力在研究实践和总结的基础上，在1969年和l971年又相继了“城市动力学”(UrbanDynamics)和“世界动力学”(WorldDynamics)著作，并予1972系统动力学的研究对社会系统的是由个人或形成的组织而组织的基本特征是具有价值观念、观念和道德观念，以及个人和偏见等因素。因此，认识社会系统的非线性是指社会现象中原因和结果所呈现的非线性关系统动力学的仿真试验能起到实际系统的作用。通过人-推理评价创造等能力的优势又能利用计算机高速计算和迅速等功能系统动力学应用的步7明确建模目确定系统边因果关系分以明确各要间的因果关系，并用表示因果关系的反馈回路来描述，这是结构方程式。流程图虽然可以简明地描述社会系统各要间的因DYNAM0计算机仿真试根据DYNAM0语言建立的结构方程在计算机上进行仿真计算结果分模型的修因果关系因果9-1a图9-1b表示正因果关系，它表明当原因引起结果时，原因和结果的变9-1cAB+AB+AB-AB 9-1因果事实表明，因果关系是一种具有递推性质的关系，例如A要素是B要素的原因B要素又是C要素的原因A要素也是C要素的原因。利用因 D_ D A D_ D ACACE++ D+AC 9-2因果关系的反馈回仅从反馈回路本身来看，是很难区分出因和果的。例如图9-3所示的分。即有正反馈回路和负反馈回路之分。图9-4a、b分别表示正反馈回路和人人口出生9-3生_生_+_商收++_库存 图9- 正、负反馈回多重反馈回一些企图用来克服的政策、措施，执行或采取后反而加重了等等。定的。例如人口系统中