水文随机分析第二章110914课件

水文随机分析（欢迎选修）2023/2/81陈元芳简介个人简况：河海大学水文水资源学院教授,博导学习经历：河海水文水资源本科（1980-84）、硕士(84-87)和博士生(87-92)研究方向：暴雨洪水与防洪减灾,水资源评价与管理讲授课程：本科生:数据库,计算机语言,水文统计,随机水文学,统计试验方法,应用统计学,工程水文学,工程水文与水利计算

研究生:水文随机分析,水利风险分析,应用统计学成果获奖：国家级教学成果二等奖,内蒙古科技进步一等奖各一项,其他国家省级10多项。荣誉称号:江苏省第四届高等学校教学名师,江苏省优秀教育工作者宝钢教育基金优秀教师奖。国际交流：先后18次赴荷兰、日本、德国、巴西、澳大利亚、新西兰、冰岛等国家进行学术交流。2023/2/82水文水资源学院（一）课程设立背景2003年在修订本科生与普通研究生培养方案过程中,有几位教授提出应有该课程,理由:（1）不仅因为随机水文与工程水文方向研究生有需要,其他方向也有这方面知识要求，其原因是水文影响因素极其复杂，需要借助水文随机分析手段和方法。（2）河海大学本科生有选修课<随机水文学>,初步掌握了统计试验方法与水文随机模型基础知识,但深度还不够,而校外其他高校不少学生则未学过。因此，2003年起普通研究生培养方案中设立本课程。2011年全日制工程硕士学位中设置该课程。非全日制工程硕士之前就有该课程。2023/2/83水文水资源学院（三）讲授主要内容①随机过程基本知识：包括随机过程概念、分类，各态历经性、平稳随机过程等。②水文随机过程组成分析：水文过程由几个部分组成，各种成分如何检验、鉴别及处理等（含周期成分分析）。③水文随机模型：较全面介绍不同随机模型结构、定阶、参数估计，此外，还要介绍这些模型在水文随机过程模拟及水文预测中的应用。最新模型应用包括俄罗斯教授提出的模型，三峡地区多站洪水随机模拟等2023/2/85水文水资源学院④一些新统计分析方法（水文统计中未介绍的,实际上较早就有），含方差分析，聚类分析等。⑤水文频率计算研究进展（简单样本下随机分析）内容有:英\美国设计洪水计算方法及其比较,非参数估计,区域水文频率计算方法,超定量法,参数估计方法比较（权函数法，概率权重矩法、线性矩法等）,绘点公式（经验频率计算）,如何考虑历史洪水等.2023/2/86水文水资源学院1997年,丁晶,刘权授等《随机水文学》,中国水利水电出版社；1988年,丁晶，邓育仁等《随机水文学》,成都科大出版社；1993年,金光炎《水文水资源分析》,中国科技出版社；1992年,常光兆等《随机数据处理方法》,石油出版社；2005年,郭生练《设计洪水计算进展与评价》,中国水利水电出版社2008年,王文圣,丁晶,随机水文学,”十一五”规划教材,水利出版社2009年,丛树铮,水科学中的概率统计方法,科学出版社2011年黄振平,陈元芳,水文统计学,中国水利水电出版社（四）主要参考文献2023/2/87水文水资源学院第一章随机过程基础知识随机过程概念随机过程的概率分布及数字特征随机过程的基本分类平稳随机过程泊松过程2023/2/89水文水资源学院随机过程概念实际上，常遇到实验过程中随某个参变量变化而变化的随机变量，数学上称该随机变量为随机函数。（随机变量定义：随机事件的实数值函数，有一个基本事件，对应一个实数值，这个实数在一次试验中能否发生，是很难事先确定的）。2023/2/810水文水资源学院如南京滁河某站水位或流量，它是随时间而变化的，包括年平均流量，年最大流量，日、月平均流量或水位都是随时间而变。再如南京日、月平均气温值也随时间而变化，当然南京气温值还随空间位置不同而变化。换句话说，参变量不一定总是时间，可以是其他。这些随机变量即为随机函数。特别是：我们常称以时间t为参变量的随机函数为随机过程。当然如果涉及水文现象的随机过程则称为水文随机过程，一般用表示。

2023/2/811水文水资源学院t离散连续离散型时间序列连续型时间序列离散型随机过程连续型随机过程随机过程的分类2023/2/813水文水资源学院在研究水文随机现象时，如研究洪水过程，如果把t当作连续的（瞬时过程），理论上讲是最好的，但这样的随机过程建模对资料要求高，工作量很大，实际上几乎难于实现。因此，常根据实际水文现象特性对t作离散化处理，如对大江大河洪水过程，不要求t为连续的，而只要日平均过程，即一年365个数据则可，经验表明：日平均过程可以近似反映长江干流洪水。当然对中小河洪水过程，则不能用日平均流量来反映，而应该取时段长为几个小时的平均流量做离散化（山区河流因流量变化大则应更短，一次洪水过程可用1、2个小时平均流量过程代替洪水过程）。2023/2/814水文水资源学院在任意给定一个t值，为随机变量，既然是随机变量，那么就会有概率分布。，对于时刻t1，对于时刻t1和t2

。

，n个时刻的联合分布。

由于研究多维联合分布难度很大，因此常需要研究随机过程的数字特征，一般到2阶即可。二、随机过程的概率分布与数字特征2023/2/815水文水资源学院1、平稳过程与非平稳过程。主要看随机过程的统计特性是否随时间变化分类。如年径流或年降水过程在人类活动影响很小时可以认为是平稳随机过程，但洪水过程不是平稳的。2、独立随机过程与非独立随机过程主要看各时刻状态之间是否相互独立。年最大洪峰流量过程为独立随机过程，而日流量过程则为非独立随机过程。其中有一种特殊过程：Markov（马尔科夫过程）如AR（1）过程，是非独立随机过程里常见的一种，实际上应用此较多。即将来状态与现在有关，而与其前面状态毫无关系。17三、随机过程的基本分类2023/2/817水文水资源学院

定义

如果对于时间t的任意n个数值t1,…,tn和任意实数k，随机过程的n维分布函数满足关系式则称为平稳随机过程。18当n=1

时，不管K取何值，；任何一维分布都是用同分布。四、平稳随机过程2023/2/818水文水资源学院当n=2时，说明二元联合分布仅与这两个随机变量时间间隔有关，与取多少无关。而且还可以证明，。这种平稳过程，称为严平稳过程。由于实际上要求得多元联合分布难度很大，应该说绝大多数情况下是不可能办到的，因此，一般只要求关心随机过程一、二阶矩。当，均与无关，这时可称随机过程为宽平稳过程。今后所说平稳过程，一般都是指宽平稳过程。2023/2/819水文水资源学院事实上，这个概念还是很重要的。在许多实际随机过程特别是水文过程中，仅能有一个样本或一个现实，那么要估计不同t下，(某一个时刻t仅一个数据)则无法进行，这时如果具备历经性，则可用代替。各年年径流随机过程

这些资料仅有一个样本或现实。2023/2/821水文水资源学院以上用代替，满足两个条件n足够大，太小了不能反映实际，误差大，同时满足各态历经性。2023/2/822水文水资源学院五、泊松过程①独立增量过程若随机过程X(t)(t≥0)满足条件a:b:对任意时刻，（任意给定n+1时刻），如果过程增量相互独立，则称X(t)为独立增量过程。可以证明它是Markov过程。②泊松过程泊松分布：n次独立试验中A事件发生了k次2023/2/823水文水资源学院当t1=0,t2=t，则，为平均数值（随机变量）

对于这种随机过程可以在水文中描述，（0，t）时间间隔内出现降水次数的概率。（在一段时间内接听电话的次数也可按泊松分布）2023/2/825水文水资源学院例如，某站汛期[0，t]（t=30,30天内）年平均暴雨发生次数为4.8次，即=4.8，这个数值完全可以根据实际观测次数系列求平均得到，则在汛期开始30天内发生n次暴雨的概率。

这样就可以知道发生不同次数暴雨的概率，如发生3-5次概率50%。这对于防汛决策是有意义的。当然这是假定符合泊松过程为前提。如果要检验它是否正确，需要有大量资料。如果可找到全国各地汛期暴雨资料，可以分析我们在汛期内发生暴雨次数是否符合这一泊松过程规律。2023/2/826水文水资源学院对系列组成成分分析的目的随机模拟，包括年月径流系列，洪水系列(n年)，如长江中下游地区洪水模拟可以计算三峡水库防洪效益的计算误差。

预测（外延），西北干旱区出口径流作2年预测，上海水情中长期预测，晋江水情预测。

2023/2/829水文水资源学院一般的水文随机序列，非周期[Tt（趋势），Ct（突变），跳跃Kt等]周期[简单或复合周期成分]随机成分

当，则仅为随机成分，这时要作预测？比有确定性成分时难度大，往往不易预测准确。反之，如S（t)=0,则系列仅有确定性成分，这时候一般易于进行预测，但如果规律性发生变化，则预测会出问题，如树与小孩生长例子。2023/2/830水文水资源学院当，则，这时只要趋势及周期等成分分析的比较好，则预测就比较可靠。当然如果这种确定性成分在今后时期内不是按现有资料变化规律变化，那么预测起来精度也是不能保证的。要注意的是有些情况下，2023/2/831水文水资源学院第二节趋势项分析处理与检验对于一个时间序列，随着时间增长，呈现出系统而连续的增加或减少的变化。这种有规则变化称为趋势。这种趋势可分整体趋势与局部趋势，往往是由于人为或自然原因造成，而不是随机抽样波动或观测资料误差所致。如气候因素年际变化，若有某种明显趋势，那么年降水量序列和年径流序列则有可能出现相应的趋势。在一定时期内湖泊中泥沙逐渐淤积，年平均水位就有升高的趋势；如沿河逐年提高防洪堤，年最大洪峰流量就有增大趋势等。流域内，灌溉面积不断增加，流域蒸发量有增加趋势，当然径流量就有减少趋势。为了排除趋势成分应从物理成因和统计分析两个方面着手进行。2023/2/832水文水资源学院查明趋势现象及其产生原因，然后使用数学方法加予描述，进而加于排除。趋势变化可以是线性和非线性的，常用多项式来描述。趋势项剩余项为系数，一般实际上先用简单线性模型来描述如何定？2023/2/833水文水资源学院利用现有观测数据，使得残差最小为原则。

,来优化确定系数。如果是一元线性，仅有两个参数。优化计算在许多方面都有应用，如计算机优化适线，回归分析，最小二乘法、流域模型参数优化计算等2023/2/834水文水资源学院分离趋势方法还有差分法，如：见下一个片子趋势项目检查（验）方法：①移动平均法（把原系列从变幅大→变幅小，容易看出是否有趋势）若观测值为，若移动平均区段为h，例h=3则移动平均值其中为权重系，，当相等则是简单的算术平均，当不等时，则为加权平均。

2023/2/835水文水资源学院2023/2/836水文水资源学院得到新系列，（比原来少2项）一般通式：移动平均值y为h为奇数时，为系数，当则为算术平均，还可加权取值，

2023/2/837水文水资源学院h为偶数，移动平均后仅有n-h个数据。h的选择一般根据时间序列的周期来选择，即区段长度等于周期长度，如对月平均径流量时间序列，由于存在年周期，h=12

2023/2/838水文水资源学院②Kendall秩次相关检验（水资源综合规划中使用此方法分析降水和径流变化趋势）

对于序列，先确定所有对偶值中的出现个数（设为P），顺序的子集是：

如果按顺序前进的值全部大于前一个值，是一种上升趋势，则，系为等差级数，总和为2023/2/839水文水资源学院如果序列全部倒过来，即由大到小排列，则P=0，为下降趋势，（说明P数值不能太多，也不能太少）P的数学期望（值）构造统计量当

2023/2/840水文水资源学院：无趋势，当，接受无趋势，：无趋势

，拒绝原假设。

例12个数据，看是否有趋势，Xt509490475482513535498540550560545530789864531010故趋势明显，有上升趋势。2023/2/841水文水资源学院③Spearman秩次相关检验分析序列Xt与时序t的相关关系，在运算时，Xt用其秩次Rt（即把序列Xt从大到小排列时，Xt所对应的原来序列中的序号），t仍为时序秩次相关系数：n为序列长度，，显然如秩次与t序号相近时则d小，秩次相关系数大，接近1，趋势显著。若反过来，则达最大，r接近-1。r是否异于0，用t检验。：无趋势。2023/2/842水文水资源学院

R=-0.471T=-3.12

趋势显著

也可以建立线性回归方程检验线性趋势是否明显，当然还要以肉眼观看其变化趋势，这是最直观的。

例子：数据与上面同t123456789101112数据509490475482513535498540550560545590排序560550545540535530513509498490482475Rt109118612517243Dt=Rt-t978416-2-7-2-8-7-19d2814964161364494644981

R=-0.471T=-3.12

2023/2/843水文水资源学院第三节：跳跃成分分析处理与检验跳跃是指水文系列急剧变化的一种形式，当水文序列从一种状态过渡到另一种状态时表现出来。平稳过程（序列）跳跃大小跳跃一般也出现序列均值、方差与自相关系数等参数之中，实际上多在均值中寻找跳跃。2023/2/844水文水资源学院跳跃是由于人为或天然原因造成，如修筑水库前的坝下年最大流量序列与修建水库后经过水库调节后的年最大流量序列，就是人为引起的跳跃，修造后均值与方差变小（这是事实）。又因为修建水库增加水的面积，蒸发增加，可能引起下游年径流量均值的跳跃。如尼罗河阿斯旺坝断面年径流系列。

为从水文序列中排除跳跃成分，也和趋势分析一样，应先查明跳跃现象产生原因，并进行数学描述，再加排除。2023/2/845水文水资源学院跳跃成分是否存在的检验：检验方法：分成两个样本，假设前面样本分布，后面样本分布

若拒绝，认为总体发生显著变化，跳跃显著；若接受，认为总体发不发显著变化，跳跃不明显。关键，如何定：

①调查流域自然地理条件变化，确定因自然或人为原因使序列发生显著变化的时间②用时序累积值相关曲线法确定③统计推断确定，也可以目估看变化2023/2/846水文水资源学院时序累积值曲线法：设确定序列，参证序列（无跳跃和趋势突变），两个序列的累积值分别为点绘关系图（如右图）如果研究序列跳跃不显著，则为一条通过原点的直线，否则为折线，转折点即为。图中，1956年为研究序列的一个跳跃点，当然选择参证序列时，参证序列不应包含有暂态（趋势、跳跃、突变等成分2023/2/847水文水资源学院分布一致性检验，①秩和检验法假定前后两个分布密度为和，从总体中取样本长度分别为，方法：将两个样本所有数据依小→大排列并统一编号，规定每个数据在排列中所对应的序数称为该数的秩，对于相同的数值，则用它的序数的平均值作秩。现记容量小的样本各数值的秩之和为W（统计量），秩的检验就是对W作检验（W太大或太小都证明总体前后不一致）：当时，统计量W近似于正态分布，2023/2/848水文水资源学院于是可用U检验~N（0，1）——小样本容量——大样本容量接受，否则拒绝。2023/2/849水文水资源学院例子：对所有数据由小→大排，所排序号为该数据的秩，把数据容量小的，如本例把个数据对应秩累加起来为W，再求U。W太大或太小,表明有跳跃成份。t12345678910111213Xt250210230275220245221265247220250205215t14151617181920212223Xt231202206209218204209219202214Xt*202202204205206209209210214215218219220wi22345778910111213Xt*220221230231245247250250265275wi141516171819202122232023/2/850水文水资源学院

②游程检验法有一观测值序列：11，9，7，12，14，15，16，10，13，假设分割点,将它们由小到大的顺序进行排列。7，9，10，11，12，13，14，15，16把属于的记为A，的记为B

，这样得到一个新的序列。，把每一连续出现同一字母的称为1个游程，每个游程所含元素的个数为游程长，例如上式中，有2个A游程，游程长度为2；有2个B游程，游程长度分别为1和4，全部游程数为4个。2023/2/851水文水资源学院

当游程出现个数较期望的游程少时，就比较趋向于拒绝两个样本来自同一总体的假设。因为此时长的游程较多,表明个别样本中的元素有较大聚集现象，因此,我们认为不服从同一总体，这是游程检验的指导思想。2023/2/852水文水资源学院游程个数检验法：当游程总个数K服从正态分布跳跃不显著2023/2/853水文水资源学院K太多、太少都说明有跳跃上例计算游程数K=6U=2.77

拒绝有跳跃成分。以上秩和检验与游程检验均属于非参数假设检验，其他还有参数检验，如方差、均值齐性检验等。当经过成因分析和统计推断，水文系列中有趋势或跳跃明显时，可用适当方法加以描述，再从序列中排除掉，剩余的就是具有原始状态或一致条件。2023/2/854水文水资源学院突变成分检测：由于人为或自然原因，水文序列中可能出现突变。这一变化一过就又恢复原状，这可看作是跳跃的一个特殊情况，如由于塌方拦截江河，形成水库，以后又溃坝，这就引起流量突变，但临时水坝冲毁，又恢复原来状态。2023/2/855水文水资源学院第四节：周期成分的描述与提取一、周期成因周期地球绕太阳公转：对于月径流、旬径流、日平均径流存在年周期，周期分别是12个月、36旬和365天。对月、旬、日降水量、蒸发量一样存在着年周期。地球自转：气温、蒸发量等存在24小时周期。近似周期月球绕地球旋转影响，潮水位过程出现周期，但频率不可通约。太阳黑子影响等影响，存在若干年为一个周期（近似）可能不均匀变化周期。大气环流2023/2/856水文水资源学院如黄河上游和松花江相邻两年年径流之和与前一年太阳黑子数有对应关系，因为太阳黑子有一定循环周期，因而年径流多年变化中也可能存在一定循环周期。再如1960年代分析结果，长江汉口站最大流量多年变化有55年主要周期，1989-90年代作分析，长江宜昌站100年资料（1881-1980）分析汛期流量存在15年主周期。2023/2/857水文水资源学院二、周期成分描述及谱分析

存在简单周期成分，（同正弦或余弦表示）—振幅—角频率当时，周期，∴周期对于月径流序列，应该存在T=12这一情况。—相位这个正弦函数，均值等于0，方差这个有周期过程的自相关函数表现出周期性质或特点。

具有复合周期的周期成分，可用以下公式（傅立叶级数表示）。2023/2/858水文水资源学院为基本周期，这个式子说明序列Xt可由l个谐波（周期）线性叠加而成，而且不同谐波周期与基本周期是倍比关系。

——为Xt

平均值。2023/2/859水文水资源学院那么如何根据已有实测序列求，下面先介绍谱分析技术方法---方差线谱。满足一定条件时，进行傅立叶级数展开，用上面式子表示。l为谐波总个数（n为偶数，）谐波振幅。角频率（为基本角频率，令f=1/n）2023/2/860水文水资源学院分析一下：在已知前提下，关系一一对应，不同角频率下谐波振幅，反映谐波大小。可以证明：为对应谐波方差大小。反映不同频率谐波所占比重，愈大，谐波周期含量愈大，愈显著。方差谱密度2023/2/861水文水资源学院代表任一点上对应的方差密度为方便定义，方差谱密度函数可以证明实用时

，（对称函数）从图形中要以看出哪一个频率下谱密度大，即该周期谐波分量比较大。可以根据实测样本估计出来（仍是离散化）2023/2/862水文水资源学院计算时m取值：，但自相关系数求相关系数（纠偏系数，对估计量而言）从估计结果可以知道哪些周期谐波比重大，哪些小不显著。2023/2/863水文水资源学院三、用简单分波法分析系列周期（近似）

—随机水文系列，—趋势，跳跃，突变—不含非周期确定性成分序列（趋势项或跳跃项）简单分波法寻找后序列中周期项，把（一般即可）。一般针对年、月径流，年、月降水量序列2023/2/864水文水资源学院1、分析思路：①先分离第一周期，得出余波，计算余波系列均方差。②对余波A1分离第二周期，得出余波，计算余波系列均方差（显然会愈来愈少）。③对余波分离第三周期（如果存在），得余波（如果已无第二周期那么就不要做第③

），计算。④再对余波分离第四周期（如存在），得，计算（如果已无第三周期就不再做第④

）。2023/2/865水文水资源学院2、分析周期用途：①了解序列未来变化规律②用于预测未来年份或月份的水文特征如对年径流序列分析下来有2个周期：第一个7年周期，其周期值已知，P1674.2P2658.2P3426.2P4520.4703.1P5751.4P6907.5P7第二个3年周期，Q1Q2Q392.7-22.9-78.6此时，可以用于预测，先假设无趋势项，即T=02023/2/866水文水资源学院(预则值)，作为第n+1年的周期项取值，再加T(n+1)（如果有趋势的话）。则：2023/2/867水文水资源学院3、第一周期分离与提取要对n个数据分析周期，显然根据这些数据分析出来同期不可能超过（偶数），（奇数）。∴周期长度为：对于任意l年周期成分是否显著，。①计算整个系列均值②把现有时间序列分组（分成m行，l组，各组数据至多m个）如不为整数，取行。2023/2/868水文水资源学院按l年分组即周期长为l年情况对于水文时间序列数据，按时间顺序，从左→右，从上→下排列。（先取l=2作周期显著性检验，再取l=3，再按次序来作）2023/2/869水文水资源学院③计算每一个组计算均值，，及，，每一组数据个数，最多为。④计算组间离差平方和，

或计算组内离差平方和，⑤：不存在长度为l的周期成分，：当显著性水年，可查F表，当由样本计算则原假设成立，当，则拒绝原假设即存在明显的长度为l的周期成分。2023/2/870水文水资源学院如何理解？假如一组数据完全按周期排列，即每7年重复同一套数据（7个数据不同差异较大），在这种情况下，按分组，计算大小则F很大，存在周期但是如按分组（打乱了），小大F很小，周期不显著实际做的时候要计算，或2023/2/871水文水资源学院年数据显然在时，周期显著，其他情况下不显著，有时可能出同几个F计算值超过，这时应选哪个？选F值最大的。2023/2/872水文水资源学院⑥如何提取出这个7年周期值就是在时，计算的作为周期为7年周期成分，⑦求余波⑧求余波均方差2023/2/873水文水资源学院4、第二周期分离与提取这时分析序列的周期成分，不再是原序列，而是对余波进行，余波与原水文序列差别主要在，一般水文序列不为负值，但余波有正有负，正负相抵消。分析周期方法与第一周期分析完全一样，只不过这时分组组数l应不包括第一周期长度（如第一周期长度7年，则这时对l

=7可不进行周期显著性检验）。2023/2/874水文水资源学院求余波求余波（残差）均方差，比第一余波均方差要小。假如经过检验后发现时明显存在周期，这时对余波序列，求时分组平均值，如2023/2/875水文水资源学院5、第三、四周期分离与提取

与第二周期完全一样，不再叙述。当然，分析周期成分个数愈多，最后余波均方差会愈小，但由于实际上资料较短，本身存在误差，不一定愈多愈好。（特别用于预报时）原则上，为了提高周期分析精度，应使资料尽可能长一些。当增加新的资料，则应重新分析周期成分。（哪怕只增加一年或一次）另外显著性水平大小选取对周期成分判断也会有影响，所做假设检验前提是系列符合正态分布，事实上也未必成立。这样分析出来的周期成分会犯错误。对周期成分还可以通过小波分析，最大熵估计等方法。2023/2/876水文水资源学院四、平稳随机成分的分析

当前面介绍非周期成分及周期成分被提取之后，所得序列随机成分原序列非周期周期一般可认为是平稳随机过程。对于这样一个平稳随机成分，一般情况下，还可以分成相依随机成分+独立成分。对于这种平稳随机成分，可以用不同随机模型：线性、非线性（模型加以描述）。即平稳相依成分纯随机——不同t之间相互独立，平稳独立随机过程2023/2/877水文水资源学院即方差为为常数，但不同时刻t时相互独立。在水文计算中，主要研究的就是平稳独立随机序列，如年最大洪峰或洪量序列、年最大t天暴雨量序列。当中无相依成分，则为纯随机序列。对于纯随机序列，其分布线型（我国一般）：对数正态，P-III等，有时为了简化