武康平-高级微观经济学04消费最优化课件

Lecture4消费最优化Consumer’sDecision1TopicstobeDiscussed效用最大化支出最小化效用与支出的对偶消费者均衡2效用最大化任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验命题。从古典经济学、到新古典经济学，再到当代主流经济学，经济学家们无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得到了越来越深入的研究。一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。另一方面，任何人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来一定限制。比如，人们需要商品，但必须能够卖得起。消费者受到的种种限制，虽然影响着选择，但也使得效用最大化问题有了解决途径——服从约束条件的效用最大化。理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下,

选择自己最满意的消费方案。这就是效用最大化。3定理

在X

为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系

p

>>

0

及收入

r，预算集合

(

p,

r)

都是有界闭集，从而是紧集。

证明：a

=

(

a1,a2,,

a)使得

x

a

对一切

xX成立(

X

下有界)。令bi=

(r-pa

+

pi

ai)

/

pi

(

i

=

1,2,,

)我们有：0

pi

(xi–

ai)

p

(x

–

a)

r

–

p

a

对一切

x

(

p,

r)成立(p>>0&

x

a)，故pi

xi

r

–

p

a+pi

ai

(

i

=

1,2,,

)。可见，

a

x

b=

(b1,

b2,,

b)，说明

(

p,

r)有界。从又可知，

(

p,

r)是闭集。1.预算集合预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，它是

X

的子集

(

p,

r)

=

{xX

:p

xr}。超平面p

x=r叫做预算线。Xp

x

=

r

(预算线)(一)

预算约束效用最大化

(

p,r)52.最低生活保障为了维护人民生活，国家建立最低生活保障制度。这种项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。为了保证消费者在收入限制下能选择到商品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体系

p

下消费集合X中的最低支出

I(

p)

=

inf

{

p

x:xX

}。最低生活保障制度是一种让收入r不低于

I(

p)

的制度，条件

r

I(

p)

可叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。定理

设

X

为消费集合，p

为价格体系，r

为消费者收入。如果

X

且

r

>

I(

p)，则预算集合非空，即

(

p,r)

；如果

X是非空下有界闭集，p>>0

且

r

I(

p)，则

(

p,r)是非空有界闭集

。(一)

预算约束效用最大化6效用最大化是指消费者在预算约束的限制下进行最满意的消费。马歇尔从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认为最好的消费方案——消费者最终决定的消费方案，称为马歇尔需求(向量)，简称需求(向量)。准确地讲，消费者(X

,

)在价格体系p和收入

r

下的(马歇尔)需求集合D(

p,

r)，是指(

p,

r)中最好的消费方案的全体，即D(

p,

r)

=

{x(

p,r):(z(

p,r))(

z

x

)}。(二)

马歇尔需求证明：任意给定

x,

yD(

p,

r)。既然x是

(

p,

r)中最好的，而

y(

p,

r)，因此y

x；同理，x

y。于是，x

~

y。定理

马歇尔需求集合中任何两种方案都无差异：(x,

yD(

p,

r))(x

~

y)。无差异曲线

(

p,

r)效用最大化X72.存在性(二)

马歇尔需求效用最大化定理

设消费者(

X

,

)面临的价格体系为

p

，

收入为r

。如果

X

是闭集，

是连续偏好，则D(

p,

r)是闭集。如果

X

是凸集，

是弱凸偏好，则D(

p,

r)是凸集。如果

X

是非空下有界闭集，

连续，p

>>0

且

r

I(

p)，则需求集合D(

p,

r)是非空闭集，从而马歇尔需求存在。

证明的关键：一是，二是连续偏好在有界非空闭集中有满足。具体证明留作练习。

由此定理可知：理性消费者的马歇尔需求必然存在，即对任何(

p,

r)，都有

D(

p,

r)

。需求集映：理性消费者的马歇尔需求确定了一个从

到X的对应(取值为非空集合的集值映射)D:

X

，称为消费者的需求对应或需求集映。93.唯一性(二)

马歇尔需求效用最大化定理设消费者(

X

,

)面临的价格体系为

p

，

收入为r

。如果

X

是凸集，

是严格凸偏好，则D(

p,

r)是单点集或空集。如果

X

是凸集，

内部严格凸，D(

p,

r)

X

，则D(

p,

r)是单点集或空集。

如果

X

是非空下有界凸闭集，

是连续的严格凸偏好，则对任何(

p,

r)，D(

p,

r)是单点集，即马歇尔需求唯一存在。如果

X

是非空下有界凸闭集，

连续且内部严格凸，则对任何

(

p,

r)，只要D(

p,

r)

X

，D(

p,

r)

就是单点集。

证明的关键：假如

D(

p,

r)

中有两种不同方案，那么这两种方案必然无差异，且它们的加权平均必然比这两种方案优，而加权平均依然在预算集合中，这就出现了矛盾：预算集合中出现了比最优方案还要优的方案。矛盾的结论说明，D(

p,

r)中不可能存在两种不同的方案，即D(

p,

r)是单点集或空集。104.瓦尔拉定律(二)

马歇尔需求效用最大化瓦尔拉定律

设

是

X

上无满足的凸偏好，则对任何(

p,

r)

及

xD(

p,

r)，都有

p

x

=

r。这一定律可写作

pD(

p,

r)=r。

证明：任意给定

xD(

p,

r)，则

p

x

r

。

无满足(

yX

)(

y

x)，故p

y

>r。用反证法，假如p

x

<

r。则在连接

x

与

y

的直线段上必有一点

z

使得

p

z

=

r，如右图所示，故

z(

p,

r)。偏好的凸性保证了

z

x，与

xD(

p,

r)相矛盾。矛盾的结论说明

p

x

<

r

不成立，即只有

p

x

=

r。瓦尔拉定律说明，要实现效用最大化，只有把钱花光。但实际上人们不会把钱花光，违背了瓦尔拉定律！其实，货币也是商品，也具有效用。当把货币加入到商品行列时，瓦尔拉定律正表明，为了效用最大化，消费者不会把钱花光。z

(

p,

r)预算线11定理

在假设HC和HP下，对任何(

p,

r)，需求集合D(

p,

r)都是单点集，故可以写成：

D(

p,

r)

=

{(

p,

r)}。定义在假设HC和HP下，由需求集映D:

X唯一确定的映射

:

X叫做(马歇尔)需求映射，其分量函数

h(

p,

r)

叫做(马歇尔)需求函数(h

=

1,2,,)：(三)

需求映射与需求函数定理

在假设HC和HP下，需求映射

:

X具有下述性质：效用最大化：(

p,

r)，

xX

，

x

(

p,

r)

p

x

>

r

；零阶齐次性：(

p,

r)，t

>

0，都有

(t

p,

t

r)

=

(

p,

r)；瓦尔拉定律：(

p,

r)，都有

p

(

p,

r)

=

r。我们已经看到了严格凸偏好在确定需求中的重要作用：选择明确，毫不含糊。这样，在假设

HC

和

HP

下，消费者需求便得以唯一确定，即下述定理。效用最大化13(四)

间接效用函数间接效用函数：当偏好

是通过效用函数u来表达时，需求向量

(

p,

r)

的效用值

u(

(

p,

r))

便代表消费者生活水平。这就确定了一个函数：

叫做消费者的间接效用函数。间接效用是由价格和收入决定的消费者效用水平。间接效用函数反映了价格和收入同消费者的实际生活水平之间的关系，是代表实际生活水平的效用函数。价格与收入决定马歇尔需求，马歇尔需求决定消费者的实际生活水平。因此，价格与收入共同决定消费者的生活水平。需求的零阶齐次性表明，名义收入并不能真实反映消费者的生活水平，因为与高名义收入相伴随的高价格，可能并不改变消费者的选择。只有需求向量，才能代表实际生活水平。效用最大化14(五)

应用事例现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。效用最大化问题1：销售税与所得税哪一种对消费者更为有利？

国家向居民征税有两种办法，一种是征收销售税，另一种是征收所得税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民会更为有利一些?问题2：涨价补贴对消费者是否有利？

商品涨价，国家发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者会更为有利一些？为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为

p，消费者收入为

r，消费者的选择为

xD(

p,

r)。152.价格补贴发放办法的比较效用最大化(五)

应用事例不许涨价：把补贴发给生产者，不许商品涨价。这种情况下，消费者的选择为xD(

p,r)。允许涨价：把补贴发给消费者，允许商品涨价。假定涨价后，价格体系为q。消费者得到补贴后，收入从r

提高到s，需求向量从

x

变为

yD(q,s)。补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进行消费，即补贴=

q

x

p

x，也即q

x

=

s。比较：x

(q,s)，故x

y。这说明，“涨价

+补贴消费者”要比“不涨价

+补贴生产者”对消费者更为有利一些。xxy(

p,r)(

p,r)(q,s)17支出最小化任何人都希望在生活水平不变的情况下，让自己的消费支出达到最小而非最大，这也是经济学中的一个先验命题。支出最小化是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常还要挑选同样的效用但支出更少的方案。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。支出最小化的道理在于货币也是一种具有效用的商品，支付货币就是支付效用。以货币换商品，就是以效用换效用。作为理性消费者，当然想以较少的效用换得较多的效用。准确地讲，支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下，谋求消费支出达到最少。希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。18(一)

支出约束现在按照支出最小化的思路，来分析消费者的选择。假定消费者目前面临着一种可以选择的消费方案为

xX

，商品的价格体系为

p。这样，消费方案

x

的支出便为p

x。消费者是否选取x作为消费行动，取决于是否还有其他不比

x

差的可行消费方案

y能使支出(

py)变得更少。如果这样的方案

y

存在，就不会选择

x。至于是否选择

y

作为行动方案，又取决于是否存在不比

x差而支出比

y还少的其他可行消费方案

z。这种选择过程要一直进行下去，直至选不出其他不比

x

差而支出能进一步减少的可行方案。可以看出，每次选择都在集合E(x)

=

{

yX

:y

x}

中进行。该集合

E(x)

就称为消费者在方案x处的支出集合，条件“

yE(x)”叫做x处的支出约束。支出最小化支出集合xE(x)Xpw=px19鉴于以上原因，考虑支出最小化问题时，通常要求e(

p,

x)

>

I(

p)。这个条件叫做最低支出限制，符合该条件的消费方案的全体是集合X(p)

=

{xX

:

e(x,p)

>

I(p)}。2.最低支出限制支出最小化支出集合x*E(x)X(一)

支出约束y当e(

p,

x)=I(

p)时，支出达到消费集合

上的最小支出，再也没有变小的余地。此时，便可能出现这样的情况：存在

x,

yX

使得

x

y

但

e(

p,

x)

=

e(

p,

y)。这意味着E(x)中的最小支出点

x*

(即

px*

=

e(

p,

x))和

E(

y)中的最小支出点

y*都在X上，如下图所示。在点

x

处，本来x*

是最优选择，但它位于消费集合边界，失去了“最优”意义：同样支出下，还有更优的消费方案y*。xy*无差异曲线X213.支出函数的性质支出最小化(一)

支出约束关于价格的性质：任意给定xX

。对任何

，都有

e(

p,

x)

+

e(

q,

x)e(

p+q,

x)。对任何及实数

t

>

0，都有

e(t

p,

x)

=

t

e(

p,

x)。e(

p,

x)

是价格p

的凹函数。关于效用水平的性质：任意给定。对任何x,

yX

，只要

x

~y，就有

e(

p,

x)

=

e(

p,

y)。对任何x,

yX

，只要

x

y，就有

e(

p,

x)

e(

p,

y)。定理(支出函数的效用性质)

对于理性消费者(X,

)

来说，在任何给定的价格体系

p

>>

0

下，都有下述事实成立：支出函数是关于价格和效用水平的函数，其性质随之分为两类：关于价格的性质，关于效用水平的性质。22(二)

希克斯需求支出最小化希克斯需求向量：是指在价格体系

p下，在消费计划

xX

处的支出集合

E(x)

中的最小支出点

x*。希克斯需求向量的确定：

x*E(x)&p

x*

=

e(

p,

x)。希克斯需求集合：H(

p,

x)

=

{yE(x):(zE(x))(

p

y

p

z

)}叫做价格

p

下方案

x

处(或效用水平[x]上)的希克斯需求集合。

p及

x,

yX

，x

~

yH(

p,

x)

=

H(

p,

y)。

p及

xX

，H(

p,

x)

pH(

p,

x)

=

e(

p,

x)。希克斯需求法则：希克斯需求与商品价格之间呈反向变动关系，即对任何价格向量

p,

q

及任何

zX

，都有(xH(

p,z))(yH(

q,z))

(

(

p

q)(x

y)

0

)证明：注意，x,yE(z)。xH(

p,z)说明

p

x

p

y；yH(

q,z)

说明q

x

q

y。因此，

p

x

q

x

p

y

q

y，即(

p

q)(x

y)

0。23证明：用反证法，假定存在y,

yH(

p,

x)

使y

y，则p

y=p

y=

e(

p,

x)

>

I(

p)，故存在wX满足p

w<p

y

，如右图所示(

y

=

0.5(y+

y))。这样，wx。

的严格凸y

x。

连续

在连接

w

和

y

的线段上存在

z

满足：z

~

x

且p

z

<

p

y=

p

y

。这与

y

H(

p,

x)相矛盾！2.唯一性(二)

希克斯需求支出最小化x希克斯需求的唯一性也是一个基本问题。如果说唯一性成立，则消费从支出最小化角度的选择便是明确的。唯一性定理

设消费集合

X

是凸集，偏好

连续且严格凸，则对服从最低支出限制的任何价格向量

p和消费方案

xX

，希克斯需求集合H(

p,

x)中最多只有一种消费方案。zpy=

py253.保效性(二)

希克斯需求支出最小化x保效性定理

设消费集合

X

是凸集，偏好

连续，则对服从最低支出限制的任何价格向量

p和消费方案

xX

，希克斯需求集合H(

p,

x)中的每种方案都与

x

无差异。z证明：用反证法，假定存在

yH(

p,

x)使得

y

x。e(

p,

x)

>

I(

p)

p

y

>

I(

p)

(wX

)(

p

w

<

p

y)。显然，w

x。偏好

的连续性保证了在连接

w和

y

的线段上，存在点

z

使得z

~

x。这个点

z可写成：z=t

w

+(1t)y，其中

0

<

t<

1。注意，zE(x)且p

z=t

pw

+

(1t)py<

p

y

=

e(

p,

x)。即z是支出集合E(x)中支出比最小支出

e(

p,

x)

还要小的向量，这就出现了矛盾，从而定理得证。py

=

e(p,x)支出集合E(x)26(四)效用与支出的对偶支出最小化从表面上看，效用最大化没有考虑支出最小化问题，支出最小化也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此，效用最大化与支出最小化是互为对偶的问题。对偶定理设消费集合

X

是

的下有界非空凸闭子集，

是无满足的连续凸偏好。则对任何

(

p,r)

和

(

p,x)，都有：(zD(

p,r))(

zH(

p,

z))，即效用最大时支出也最小；(zH(

p,

x))(

zD(

p,e(

p,

x)))，即支出最小时效用也最大；如果

严格凸,则

(

p,

r)

=

h(

p,

(

p,

r))且

h(

p,

x)

=

(

p,

e(

p,

x))。对偶定理表明，马歇尔需求与希克斯需求一致，消费最优化问题既可用效用最大化求解，也可用从支出最小化求解。今后就直接从效用最大化来研究消费者需求，如无特殊说明，需求均指马歇尔需求。xX(p,r)29消费者均衡消费者均衡是指消费者的效用最大化状态。因此，也可把马歇尔需求向量x*D(

p,

r)叫做消费者均衡向量。问题是：怎样才能实现均衡？使用效用函数，可以对这个问题作出回答。为了回答怎样实现均衡的问题，将需要根据具体情况，使用如下一些假设中的一个或几个：假定商品的价格体系为

p

>

0，消费者的收入为

r。利用效用函数

u(x)，效用最大化问题可表述为：maxu(x)s.t.px

r在瓦尔拉定律下，可用等式约束“p

x

=

r”来替代不等式约束“p

x

r”

，从而效用最大化问题变得更加明确：maxu(x)s.t.px

=r(X,

)是理性消费者：

X

满足假设HC，

连续+凸+无满足。偏好

的效用函数

u

:X

R

满足假设

HU。消费者均衡x*

在消费集合内部实现，即

x*D(

p,

r)

X

。30在瓦尔拉定律的保证下，可用拉格朗日乘数法求解效用最大化问题：构造拉格朗日函数L(x,

)

=

u(x)+(r

–

p

x)，设

x*X

是效用最大化问题的解，则存在实数

使得L(x,

)在(x*,

)

处的各个一阶偏导数全为零，即

(x*,

)

必然是下述方程组的解：这个方程组叫做效用最大化边际方程(marginalequation)，其中实数

叫做拉格朗日乘数，简称拉氏乘数。利用向量，可把边际方程简写为。边际方程的作用在于表达了消费者实现效用最大化的一阶条件。我们将会看到，这个一阶条件不但是必要的，而且是充分的。(一)

实现均衡的一阶条件消费者均衡31证明：根据拉格朗日乘数法，必存在实数

使得u

(x*)

=

p

且p

x*

=

r。现在，我们只需证明拉氏乘数

>

0。注意，定理的条件保证了u(x*)

0。x*D(

p,

r)

X

保证了

u(x*)

0。这是因为对任何

xX，若

x

<

x*，则px

px*

=

r，故

u(x)

u(x*)。由此可知，

u(x*)

0。这样一来，u

(x*)

>

0。结合p

>

0，可知

>

0。定理(必要条件)

设理性消费者(X,)的效用函数

u:

X

R

在

X

内部可微且(xX

)(u

(x)

0)。对任何价格向量

p

>

0、收入r及向量x*X

，若x*D(

p,

r)

(即x*是消费者的均衡)，则存在实数

>0

使得

(x*,

)

满足边际方程：1.一阶必要条件(一)

实现均衡的一阶条件消费者均衡32(1)必要条件的序数效用解释：替代法则边际替代率：在消费方案

x

处，商品i

对

j

的边际替代率是指当

i

的消费增加一单位时，在保持效用水平不变的情况下可以减少的

j

的消费量，即

MRSi,j=

(d

xj/d

xi)=ui(x)

/uj(x)。市场交换率：商品i

对

j

的市场替代率是指市场上一单位

i

所能换得的

j

的数量，即商品

i

与

j

的价格比

pi

/pj。替代法则：均衡时，任何两种商品之间的边际替代率都等于市场交换率，即。增加i的消费，减少j的消费，方可提高效用。减少i的消费，增加j的消费，方可提高效用。1.一阶必要条件(一)

实现均衡的一阶条件消费者均衡33(2)必要条件的基数效用解释：边际法则增加i的消费，减少j的消费，方可提高效用。减少i的消费，增加j的消费，方可提高效用。1.一阶必要条件(一)

实现均衡的一阶条件消费者均衡如果把边际方程中的效用函数理解为基数效用函数，则边际方程蕴含着更深刻的意义：边际效用均等法则。边际效用均等法则：均衡时，一单位货币收入不论用于购买哪种商品，所增加的效用都一样；拉格朗日乘数正是均衡时货币收入的边际效用。即342.一阶充分条件(一)

实现均衡的一阶条件消费者均衡定理(充分条件)

设消费集合

X

是的凸子集，效用函数

u(x)

连续、拟凹且在

X

内部连续可微。对任何价格向量p

>

0、收入r

及消费向量

x*X，若存在实数

>

0

使得

(x*,

)

满足边际方程：

u

(x*)

=

p&p

x*

=

r，则x*D(

p,

r)(即x*是均衡)。

证明：从

u(x)

的连续性和拟凹性可知，

u(x)

弱拟凹。要证明

x*D(

p,

r)，就是要证明(xX

)((u(x)

>

u(x*))

(p

x

>

r))。为此，我们先证明一个断言：(xX

)(

(u(x)

u(x*))

(

p

x

r)

)。任意给定

xX使得u(x)

u(x*)。既然

u

的弱拟凹，因此对任何

t(0,1)，都有

u(

t

x+(1-

t)

x*)

u(x*)。这样，就有结合

>

0，即可知p

x

p

x*=r。断言得证。35从

x*X

知，存在

wX

使

w

<<

x*。由于

p

>

0，因此pw

<

px*

=

r。根据上面的断言，可知u(w)<u(x*)<u(x)。u(x)的连续性保证了存在

t(0,

1)

使得

u(t

x

+

(1t)w)

=

u(x*)(介值定理)。记

z

=

t

x

+

(1t)w，则从

u(z)

=

u(x*)

和上面的断言可知，p

z

r。但请注意，pw

<

r且

px

r，故

p

z

=t

pw

+(1

t)

px

<

r，这与p

z

r

相矛盾！矛盾的结论表明，反证法的假定不成立，定理得证。(1)充分条件的证明现在，我们来证明(xX

)((u(x)

>

u(x*))

(

p

x

>

r))。用反证法，假定存在xX

使得u(x)

>

u(x*)但

px

r。Xz2.一阶充分条件(一)

实现均衡的一阶条件消费者均衡xpx

=

r36(2)充分条件的意义2.一阶充分条件(一)

实现均衡的一阶条件消费者均衡充分条件意味着商品之间的替代法则和边际效用均等法则可直接用于判断消费者是否实现了均衡。替代法则：如果在

x*

处，p

x*

=

r，并且任何两种商品之间的边际替代率都等于相应的价格比，那么

x*

就是消费者在价格

p

和收入

r下的均衡。边际效用均等法则：如果在

x*

处，p

x*

=

r，并且一单位货币收入不论用于购买哪种商品，所增加的效用都是一样的，那么

x*

就是消费者在价格p

和收入

r下的均衡。37(二)

内部均衡与边界最差现象一