数理统计第4章课件

第四章

PowerPoint数理统计第四章方差分析与试验设计§4.1

单因素方差分析§4.2

双因素方差分析§4.3

正交设计§4.1一元方差分析

四种肥料的亩产量肥料品种亩产量（观察值）A1A2A3A4981964917669607693506358791642810705901703792883【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、A3、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：指标：亩产因素：肥料水平：品种（二）什么是方差分析(ANOVA)

(analysisofvariance)

1、引例用上例＊研究问题：各肥料品种是否有差异。＊问题转化：各肥料品种是否有差异体现为各肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异。记X1为肥料A1下的小麦亩产量，m1为平均亩产量；X2为肥料A2下的小麦亩产量，m2为平均亩产量；X3为肥料A3下的小麦亩产量，m3为平均亩产量；X4为肥料A4下的小麦亩产量，m4为平均亩产量；问题转化为H0:m1=m2=m3=m4H1:m1

m2

m3

m4不全等

检验多个母体平均数是否相等2、什么是方差分析＊手段：分析数据的误差判断各母体均值是否相等（三）方差分析的有关术语试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验母体因素的每一个水平可以看作是一个母体比如肥料品种A1、A2、A3、A4，子样数据亩产量可以看作是从这四个母体中抽取的子样数据

零售业旅游业航空公司家电制造（一）图形分析子样平均值的折线1、从散点图上可以看出＊不同行业被投诉的次数是有明显差异的＊即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同＊家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低2、行业与被投诉次数之间有一定的关系＊如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异＊这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析＊所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差＊这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同母体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。（二）方差分析的思想1、随机误差＊因素的同一水平(母体)下，子样各观察值之间的差异，对数据形成组内差。＊比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的＊这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差

附：两类误差2、系统误差＊因素的不同水平(不同母体)下，各观察值之间的差异，对数据形成组间差。＊比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异＊这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差附：两类误差三、单因素方差分析（一元）（一）模型1、【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、A3、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：肥料品种亩产量（观察值）A1A2A3A4981964917669607693506358791642810705901703792883？不同品种肥料对小麦亩产量的作用是否有差异设因素有r个水平（r个母体Xi

i=1,2,

n

）每个水平的均值分别用1、2、、r表示2、一般模型水平（母体）观察值A1(X1)A2(X2)Ar

(Xr)设H0:12…rH1:1，2，，r不全相等（！H1可以不写）且各母体独立1、平方和（1）总平方和（总离差）其中第i

行（水平）的平均数全部子样的平均数（二）

H0检验的统计量（2）组内差（误差项离差平方和）（随机误差）为第i行的子样方差（3）组间差（水平项离差平方和）（系统误差）2、各平方和的作用及分布（1）QE反映随机抽样误差的大小，该误差是由于各母体子样值内部的差异，可认为是由２引起的误差。由于（3）QT

反映全部数据总的误差程度2、各平方和的作用及分布H0:12…r水平（母体）观察值A1(X1)A2(X2)Ar

(Xr)如果H0真（12…r）xij可以视为来自N(

，2)

的容量为n的子样。故H0真的条件下有（4）QA分布2、各平方和的作用及分布QT＝QA＋QE的意义：总离差由两部份构成，其一是由各水平（母体）的子样值内部的差异引起，其二是由于水平之间的差异引起的，由于QT＝QA＋QE当H0真时故当H0真时如果原假设H0成立，即有3、H0的检验统计量

:m1=m2=…=

mr由于

mi

的估计是

，故H0

成立应有

相差不大，而故H0

成立时QA

不应太大，取检验统计量为【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、A3、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：肥料品种亩产量（观察值）A1A2A3A4981964917669607693506358791642810705901703792883？不同品种肥料对小麦亩产量的作用是否有差异解：在Excel下运算得：子样落入拒绝域，拒绝H0，有证据表明，不同的肥料品种对小麦亩产量的影响是有显著差异。

＊＊各平方和的计算由子样方差的计算公式得：（1）简化数据（全部数据加减同一个数，或同乘一个数，F值不变）2、手工计算（2）列表计算和（3）计算QT，QE，QA（4）计算（5）判断子样是否落入拒绝域【例】某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产四批灯泡，在每批中抽取若干试验，得灯丝配方寿命（观察值）A1A2A3A416001610165016801700172018001580164016401700175014601550160016201640166017401820151015201530157016001680问不同的灯丝配方对灯泡的寿命的影响有无显著差异？解：所有数据减1600所以，在

=0.05的水平上不拒绝H0。认为不同灯泡的配方对灯泡的寿命的影响无显著差异。四、母体平均数的两两比较2、方法：可采用Fisher提出的最小显著差异方法，简写为LSD（或t检验）＊LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到的1、意义：若拒绝H0，只能得到各母体的平均数有差异。通过对母体平均数之间的两两比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异（一）母体平均数的两两比较检验3、LSD方法步骤：（1）提出假设H0:mi=mj(第i个母体的均值等于第j个总体的均值)H1:mi

mj(第i个母体的均值不等于第j个总体的均值)（2）计算

LSD:（3）H0拒绝域为

或：（t检验）（1）提出假设H0:mi=mj(第i个母体的均值等于第j个总体的均值)H1:mi

mj(第i个母体的均值不等于第j个总体的均值)

（2）检验统计量（3）H0拒绝域为

第一步：提出假设检验1：检验2：检验3：检验4：检验5：检验6：对上例第三步：计算LSD（二）mi－mj

的置信区间由于，故由独立性，有由独立性，有故有故有mi－mj

的置信区间为例：m1－m4

的置信区间为即58.42365<m1－m4<164.9098五、单因素方差分析的等价模型1、模型：设有r个母体Xi

i=1,2,

n

，母体H0:12…rH1:1，2，，r不全相等平均数分别用1、2r表示，设，且各母体独立2、等价模型：设，则有等价模型：！H1可以不写§4.2双因素方差分析双因素方差分析及其类型无交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析一、双因素方差分析

(two-wayanalysisofvariance)

1、双因素方差分析：分析两个因素(行因素Row和列因素Column)变动对试验结果的影响

例1：农产品品种（因素1）和肥料（因素2）对农产品产量（试验结果）的影响。例2：销售地区（因素1）和品牌（因素2）对电视机销售量（试验结果）的影响。2、双因素方差分析的类型（1）如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factorwithoutreplication)（2）如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析

(Two-factorwithreplication)＊交互作用例：两因素N（氮肥）和P（磷肥），每个因素有2个水平，对小麦亩产量的影响如下表

NP水平06水平04004304450560560＝400＋30＋50＋80NPNP上帝作用二、无交互作用的双因素方差分析

(无重复双因素分析)（一）试验方法和数据结构因素

A有r

个水平，A1、A2、A3、…Ar；因素

B有s

个水平，B1、B2、B3、…Bs.1、试验方法：A

因素的第i个水平Ai，B

因素的第j

个水平Bj

的搭配下试验一次，得母体Xij，观察得数据2、数据结构：B1B2…BsA1x11x12…x1sA2x21x22…x2s:::::Arxr1xr2…xrs（二）模型：设＊对行因素提出的假设为H0:行因素的变动对结果的影响无显著差异＊对行因素提出的假设为H1:行因素的变动对结果的影响有显著差异H0:列因素的变动对结果的影响无显著差异＊对列因素提出的假设为H1:列因素的变动对结果的影响有显著差异1、平方和（1）总平方和（总离差）第i

行的平均数全部子样的平均数（三）

方差分析第j

列的平均数（2）组内差（误差项离差平方和）（随机误差）（3）组间差（水平项离差平方和）（系统误差）（4）各平方和的关系QT＝QA＋QB＋QE

的意义：总离差由三部份构成，其一是各水平（母体）的子样值内部的差异（2）引起，其二是由于A因素的各水平之间的差异引起的，第三部份是由于B因素的各水平之间的差异引起的。QT＝QA＋QB＋QE（5）各平方和的自由度和分布自由度条件分布QE(r-1)(s-1)分布QA(r-1)H0真分布QB(s-1)H0真分布QT(rs-1)H0真分布2、H0的检验统计量及拒绝域①行检验：

②

列检验：3、方差分析表

差异源平方和自由度均方F值F-crit行（A）QA(r-1)FA列（B）QB(s-1)FB误差

QE

(r-1)(s-1)合计

QT(rs-1)氧化锌B1B2B3B4促进剂A1323535.538.5A233.536.53839.5A33637.539.543【例】在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各配方试验一次，测得300%定强如下(=0.05)问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对定强的影响有无显著差异？解：1、假设

＊对行因素提出的假设为H0:行因素的各个水平的均值相等（不同促进剂对定强的影响是无显著差异）H1:行因素的各个水平的均值不全相等（不同促进剂对定强的影响是显著差异）＊对列因素提出的假设为H0:列因素的各个水平的均值相等（不同份量氧化锌对定强的影响是无显著差异的）H1:列因素的各个水平的均值不全相等（不同份量氧化锌对定强的影响是显著差异的）

FA＝36.3>F（2,6）＝5.14，拒绝原假设H0，说明不同促进剂对定强的影响是有显著差异FB＝56.3＞F（3,6）＝4.76，拒绝原假设H0，不同份量氧化锌对定强的影响是显著差异的。2、计算得方差分析表

差异源平方和自由度均方F值F-crit行（A）28.3214.15

36.35.14列（B）66.1322.03

56.34.76误差

2.3560.39合计

96.7511三、有交互作用的双因素方差分析

(重复试验双因素分析)（一）试验方法和数据结构因素

A有r

个水平，A1、A2、A3、…Ar；因素

B有s

个水平，B1、B2、B3、…Bs.1、试验方法：A

因素的第i个水平Ai，B

因素的第j

个水平Bj

的搭配下试验c（c＞1）次，得母体Xij，子样值Xij1，Xij2，…Xijc。2、数据结构：

列因素BB1B2…Br

行

因

互

A水平A1x111

x112…x11cx121

x122…x12c…………x1s1

x1s2…x1sc水平A2x211

x212…x21cx221

x222…x22c…………x2s1

x2s2…x2sc

……………水平Akxr11

xr12…xr1cxr21

xr22…xr2c…………xrs1

xrs2…xrsc（二）假设

＊对行因素提出的假设为H0:行因素的各个水平的均值相等H1:行因素的各个水平的均值不全相等

＊对列因素提出的假设为H0:列因素的各个水平的均值相等H1:列因素的各个水平的均值不全相等＊对行因素和列因素的搭配提出的假设为