高考数学三轮冲刺压轴小题14 立体几何的动态问题 (原卷版)

12/12立体几何的动态问题立体几何的动态问题一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二．解题策略类型一立体几何中动态问题中的角度问题例1.已知平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿对角线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均是线段SKIPIF1<0的三等分点，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上（包含端点）的动点，则二面角SKIPIF1<0的正弦值的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【举一反三】1．如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在正方体SKIPIF1<0中，E是侧面SKIPIF1<0内的动点，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线AB所成角的正弦值的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03.如图，已知正方体SKIPIF1<0的上底面中心为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的三等分点（靠近点SKIPIF1<0），SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，分别记二面角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0类型二立体几何中动态问题中的距离问题【例2】设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【举一反三】1．已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0外接球面上一动点，则SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知四边形SKIPIF1<0是边长为5的菱形，对角线SKIPIF1<0（如图1），现以SKIPIF1<0为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置.棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为E，F，且四面体SKIPIF1<0的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段SKIPIF1<0长度的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（）A．当时，平面B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为C．的最小值为D．当时，平面类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】在棱长为3的正方体SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中点，P是底面SKIPIF1<0所在平面内一动点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角分别为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均不为0），若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【举一反三】1.长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该正方体侧面SKIPIF1<0内（含边界）的动点，且满足SKIPIF1<0.则四棱锥SKIPIF1<0体积的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（端点除外）上，现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如图，在单位正方体SKIPIF1<0中，点P在线段SKIPIF1<0上运动，给出以下四个命题：SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为定值；SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值；SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为定值；SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的大小为定值．其中真命题有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】如图，直二面角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.一条直线 D.两条直线【举一反三】1．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，M，N为体对角线SKIPIF1<0的三等分点，动点P在三角形SKIPIF1<0内，且三角形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、在正方体SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0中的一个动点，且点SKIPIF1<0满足：直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的大小等于平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的大小，则点SKIPIF1<0的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．圆D．抛物线3．几何中常用表示SKIPIF1<0的测度，当SKIPIF1<0为曲线、平面图形和空间几何体时，SKIPIF1<0分别对应其长度、面积和体积．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内部一动点（含边界），在空间中，到点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0的点的轨迹为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三．强化训练1．如图，棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则下列结论正确的是（）．①异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值④SKIPIF1<0的最小值为2．A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④2.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）A． B．1 C． D．23．棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内运动，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．14．已知三棱锥SKIPIF1<0的所有棱长均为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，空间中的动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹长度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05.在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．6．在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A． B． C． D．7．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的动点，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为定值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线8．在正方体SKIPIF1<0中,若点SKIPIF1<0(异于点SKIPIF1<0)是棱上一点,则满足SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．69.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A． B．C． D．不能确定10．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一动点，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的最大值为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．在直三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是以B为直角的等腰三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若点D为棱SKIPIF1<0的中点，点M为面SKIPIF1<0的一动点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．在棱长为SKIPIF1<0的正四面体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一动点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的点，过SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动时，平面SKIPIF1<0截正方体SKIPIF1<0所得的截面面积的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．如图，斜线段SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为斜足．平面SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹为（）A．圆 B．椭圆C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分15．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．如图，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，点D是SKIPIF1<0上靠近A的三等分点，点E是SKIPIF1<0上靠近C的三等分点，沿直线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0翻折成SKIPIF1<0，所成二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．如图，棱长为SKIPIF1<0的长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上动点(包括端点).则以下结论正确的为（）A．三棱锥SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离为定值SKIPIF1<0B．过点SKIPIF1<0平行于面SKIPIF1<0的平面被正方体SKIPIF1<0截得的多边形的面积为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成角的正弦值的范围为SKIPIF1<0D．当点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0重合时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<018．如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一个动点，且满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的取值范围为（）(参考数据：SKIPIF1<0)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的体积的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．如图，三棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，所有棱均相等，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，若三棱锥SKIPIF1<0绕棱SKIPIF1<