广东省清远市寨南中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省清远市寨南中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，S4，设面积为S2的三角形所在的平面为α，则面积为S4的三角形在平面α上的射影的面积是（）A．2 B． C．10 D．30参考答案：A【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】由题意，面积为S4的三角形在平面α上的射影为△OAC，即可得出结论．【解答】解：如图所示，面积为S4的三角形在平面α上的射影为△OAC，面积为=2，故选A．【点评】本题考查射影的概念，考查三角形面积的计算，比较基础．2.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（

）A. B.C. D.与关系不确定参考答案：C试题分析：，内切圆与x轴的切点是A，∵，由圆切线长定理有，设内切圆的圆心横坐标为x，则，即，∴，即A为右顶点，在中，由条件有，在中，有，∴.考点：双曲线的标准方程、向量的运算、圆切线长定理.3.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（

）A． B． C． D．参考答案：B4.已知两个不重合的平面和两条不同直线，则下列说法正确的是(

)A.若则

B.若则C.若则D.若则参考答案：B5.已知函数（其中m＞0，e为自然对数的底数）的图象为曲线M，若曲线M上存在关于直线x=0对称的点，则实数m的取值范围是（）A． B． C．

D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】由题意可得方程有正根．由y=与y=emx互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，求其公切点的横坐标，再由求得m的范围．【解答】解：∵函数的图象上存在关于直线x=0对称的点，∴函数f（x）=（x＜0）关于y轴的对称图象与函数f（x）=emx（x≥0）的图象有交点，即方程有正根．∵y=与y=emx互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，设y=与y=emx的公切点为（x0，x0），则，，联立可得x0=e．∴，解得m．又m＞0，∴实数m的取值范围是0＜m．故选：B．6.已知函数f（x）=，且?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），若对任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，则实数b的取值范围为（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，a） D．（﹣∞，a]参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】分别求出x≤0时，x＞0时，函数f（x）的值域，再由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），即为+a=（x0﹣1）3+1有解，运用参数分离和构造函数，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得到f（x）的值域，再由不等式恒成立思想，可得b的范围．【解答】解：函数f（x）=，当x≤0时，f（x）=+a≥a；当x＞0时，f（x）=（x﹣1）3+1递增，可得f（x）＞0．由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），即为+a=（x0﹣1）3+1有解，即为a=（x0﹣1）3+1﹣，由y=（x0﹣1）3+1﹣，x0∈[2，+∞），导数为3（x0﹣1）2﹣＞0在x0∈[2，+∞）恒成立，即为函数y在x0∈[2，+∞）递增，即有a≥2﹣＞0，则函数f（x）的值域为（0，+∞）．由任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，可得b≤0．故选：B．7.如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为A．，

B．，C．，

D．，

参考答案：A8.对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是(

)A． B． C．

D．参考答案：B略9.已知集合P={y|y=（）x，x＞0}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}，则?RP∩Q=（）A．[1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合P，Q，由此利用补集、交集的定义能求出?RP∩Q．【解答】解：∵集合P={y|y=（）x，x＞0}={y|0＜y＜1}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|0＜x＜2}，∴?RP∩Q={x|x≤0或x≥1}∩{x|0＜x＜2}={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选：A．10.在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．参考答案：A【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．【解答】解：由题意可得=====故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，若，且，则的取值范围是_______．参考答案：(，)【分析】不妨设，则，再根据函数的图像分析可得解.【详解】不妨设，则，由图可知．故答案为：(，)【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是

▲

.参考答案：略13.已知向量若A、B、C三点共线，则实数m=▲

参考答案：m=－1；14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则=

．参考答案：9【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{an}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为915.如图所示的程序框图输出的结果为

．参考答案：

略16.设函数，那么

．参考答案：317.在中，角所对边分别为，且，面

积，则=

．参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程k消去参数t得直线l普通方程又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的方程可化为（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，，当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离．【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由题，直线l的参数方程为（其中t为参数）．消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通方程为y=x+2．又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ可化为（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，有，即，于是当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即．（或先求圆心到直线的距离为，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值）【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．19.在平面上有一系列的点,对于正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且（1）求证：数列是等差数列；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）设的面积为，求证：参考答案：解析：（1）证明：的半径为，的半径为，………1分和两圆相外切，则

…………2分即

………………3分整理，得

………………5分又所以

………………6分即故数列是等差数列………………7分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）由（1）得即，

………………8分又

所以

………9分法（一）：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

………………11分

……13分

………………14分法（二）：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

………………10分…………11分……………12分

……………13分

…………14分20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=．（1）求证：面PAB⊥平面PDC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

参考答案：（1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，CDPD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PDC，又PA?面PAB，∴面PAB⊥面PDC；（2）取PC的中点E,连接AC和BD,交点为F,因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，CD⊥AD,所以CD⊥面PAD,即有CD⊥PD，设PD的中点为M，连结EM，MF，EM//CD,则EM⊥PD，在△PAC中，EF//PA，PA⊥PD，可得PD⊥EF,有PD⊥面EFM，于是PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角。由（1）PA⊥面PDC，EF⊥面PDC，有EF⊥ME,△FEM为直角三角形。Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为；21.已知函数是奇函数．（1）求m的值；（2）请讨论它的单调性，并给予证明．参考答案：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0；即，解得：m=1，其中m=﹣1（舍）；经验证当m=1时，确是奇函数．（2）先研究f（x）在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1＜x2，则，，得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减；由于f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f（x）在（﹣1，0）内单调递减．略22.．已知函数f（x）=xex﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题；R6：不等式的证明．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：?x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（1）f（x）=xex﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a=0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）=lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt=t﹣1?t=1，从而有．故满足条件的实数为a=1．②证明：由①可知x2e