广东省河源市龙川赤光中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

广东省河源市龙川赤光中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题、，则“为真”是“为真”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2.某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为(

)A． B．C． D．参考答案：C3.若向量的夹角为120°，，，则（

）A. B. C.1 D.2参考答案：C【分析】由，代入已知条件，即可解得.【详解】因为，又，，，所以，解得(舍去)或.故选C.【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解.4.已知（1﹣i）z=1+i，则复数z等于（） A．1+i B． 1﹣i C． i D． ﹣I参考答案：C略5.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出交集A∩B．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={0，1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．6.已知非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，则||=（）A． B．1 C． D．2参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】直接利用向量的数量积，化简求解即可．【解答】解：非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，∴2+42﹣4?=1+4||2﹣4||?||cos=1+4||2﹣2||=1，解得||=，故选：A．【点评】本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力．7.已知其导函数的图象如右图，则函数的极小值是 A． B． C． D．c

参考答案：D由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.8.若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B∵圆与轴的两个交点都在双曲线上，且两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴是双曲线的顶点．令，则或,∴，在双曲线中，∴，因此，双曲线的标准方程是．故选．9.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为A．1 B．2 C．3

D．4

参考答案：B由题意可得：.本题选择B选项.10.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有(

)A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）≤2f（1） C．f（0）+f（2）≥2f（1） D．f（0）+f（2）＞2f（1）参考答案：C【考点】导数的运算．【专题】分类讨论．【分析】分x≥1和x＜1两种情况对（x﹣1）f′（x）≥0进行讨论，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证．【解答】解：依题意，当x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；当x＜1时，f′（x）≤0，f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，故当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，即有f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2f（1）．故选C．【点评】本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数（i为虚数单位）的共轭复数是________．参考答案：复数,其共轭复数为,故填.12.设，则函数的最小值为

.参考答案：13.我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．参考答案：

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合三角形中位线、三角形重心的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．【解答】解：如图，设正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，AH为四面体ABCD的面BCD上的高，交面EFG于H，则，又，∴，则，同理可得，∴正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．故答案为：．14.已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且满足，则椭圆的离心率为______.参考答案：【分析】由椭圆的定义得到的长度，再由余弦定理建立关于a，c的方程，解得e即可.【详解】设，则，，则与中，分别由余弦定理得，，，化简得，所以故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法及椭圆的定义的应用，关键是利用余弦定理找出几何量的关系，属于中档题．15.等差数列的前项和为，若，，，则

．参考答案：2116.已知是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时，

．参考答案：17.双曲线的渐近线方程为_____；若双曲线的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为_____.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关于的不等式.参考答案：由题意知.且故二次函数在区间上是增函数.…………4分又因为，……6分故由二次函数的单调性知不等式等价于即

……10分故即不等的解为：.……12分

略19.已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且.（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足，求；（3）对任意正整数n，不等式成立，求正数a的取值范围．参考答案：（1），，；（2）；（3）．【分析】（1）设出公比和公差，将已知转化为，的方程组，解方程组，结合，即可得到和的通项公式；（2）将要求的算式分组后，分别用等比数列的求和公式和错位相减法求和相加即可；（3）将分离后，转化为在上恒成立，进而转化为求函数在上的最小值．【详解】解：（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意，由已知有，消去整理得：，，解得，，数列的通项公式为，，数列的通项公式为，；（2），，令令令；（3）对任意正整数，不等式成立即对任意正整数成立记则，即递增故，．【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，分组求和，公式求和以及错位相减法求和，不等式恒成立问题．考查了分析解决问题的能力和推理转化能力．属于难题．20.(本题满分14分)已知函数，，是实数.（Ⅰ）若在处取得极大值，求的值；（Ⅱ）若在区间为增函数，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数有三个零点，求的取值范围．参考答案：(I)解：

……………1分由在处取得极大值，得，…2分所以（适合题意）.

…3分(II)，因为在区间为增函数，所以在区间恒成立，

…5分所以恒成立，即恒成立．

………………6分由于，得．的取值范围是．

…7分(III)，故，得或．……………8分当时，，在上是增函数，显然不合题意．…………9分当时，、随的变化情况如下表：+00+↗极大值↘极小值↗…11分要使有三个零点，故需，

…13分解得．所以的取值范围是．

…14分

略21.（本小题满分14分）已知直线L：与抛物线C：，相交于两点，设点，的面积为.（Ⅰ）若直线L上与连线距离为的点至多存在一个，求的范围。（Ⅱ）若直线L上与连线的距离为的点有两个，分别记为，且满足

恒成立，求正数的范围.参考答案：解：（1）由已知，直线L与抛物线相交，所以，即…(1)又直线L与以M为圆心的单位圆相离或相切，所以，…（2）由（1）（2）得：…………7分（2）由题意可知，当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点