广东省汕头市东里第三中学高三数学理下学期期末试题含解析

广东省汕头市东里第三中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a等于（）A．2 B． C．3 D．参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得c=a+2，b=3，cosA=，∴由余弦定理可得cosA=?，代入数据可得=，解方程可得a=2故选：A2.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为()参考答案：C3.函数的最大值为(▲)A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.已知是两相异平面，是两相异直线，则下列错误的是（）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D在A中，若，则由直线与平面垂直的判定定理得，所以是正确的；在B中，若，则由平面与平面平行的判定定理得，所以直正确的；在C中，若，则由平面与平面垂直的判定定理得，所以是正确的；在D中，若，则与平行或异面，故是错误的，故选D.

5.已知函数，则函数的图像可能是………………..（

）参考答案：C6.函数的图象过一个点P，且点P在直线上，则的最小值是（

）A．12

B．13

C．24

D．25参考答案：D7.长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为A. B. C. D.参考答案：B建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角余弦值为.8.若集合，，则为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：B解析：=，选B.9.若复数z满足,则()A. B. C. D.参考答案：C【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由，得，∴．故选：C．10.已知R是实数集，，则N∩?RM=（） A．（1，2） B． [0，2] C． ? D． [1，2]参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、，，并且

,为坐标原点，则的最小值为：▲。参考答案：12.已知实数满足，且目标函数的最大值为6，最小值为1（其中），则的值为_____________.

参考答案：4略13.①命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”；②函数的零点有2个；③若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝0；④函数图象与轴围成的图形的面积是；⑤若函数f(x)＝在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）．其中真命题的序号是_____________（写出所有正确命题的编号）．

参考答案：①③略14.已知边长为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若，二面角的余弦值为，则该球的体积为_______．参考答案：【分析】先由题意得到与均为等边三角形，取中点，连结，，在，上分别取，使得，，得到分别为与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，得到平面，平面，再由题中数据，结合二倍角公式、勾股定理以及球的体积公式，即可求出结果.【详解】因为空间四边形的各边长均为，又，所以与均为等边三角形；取中点，连结，，在，上分别取，使得，，则分别为与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，则平面，平面；因为二面角的余弦值为，即，由题意，所以，因为，所以，因此空间四边形ABCD外接球半径为所以，该球的体积为.故答案为【点睛】本题主要考查几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，结合题中条件即可求解，属于常考题型.15.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量

．参考答案：16.如果，则的最小值为

．参考答案：1略17.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．参考答案：(－2,0)∪(2,5)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列中，，公差；数列中，为其前项和，满足.（1）记，求数列的前项和；（2）求数列的通项公式.参考答案：解：（1）因为，所以，则，所以；（2）因为，所以，则，当，满足上述通项公式，所以数列的通项公式为．

19.已知直线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，，分别与曲线交于三点(不包括极点)．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当时，若两点在直线上，求与的值．参考答案：（Ⅰ）证明：依题意，，………………1分，，…………3分则．

…………5分（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分化直角坐标为，.

………………7分经过点的直线方程为，

…………8分又直线经过点，倾斜角为，故，.

………10分20.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．参考答案：【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．21.(本小题满分分)已知函数在处取得极值.(1)求实数的值;

(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.参考答案：解:(1)

……1分时,取得极值,

…………2分故解得经检验符合题意.…………3分（2）由知由,得

…………4分令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

…………5分

…………6分当时,,于是在上单调递增;

…………7分当时,,于是在上单调递减.…………8分依题意有,

…………9分解得,

…………10分(3)的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去),

…………11分当时,,单调递增;当时,,单调递减.为在上的最大值.