2018届数学复习第十章概率课时作业64几何概型（含解析）文VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE14学必求其心得，业必贵于专精课时作业64几何概型一、选择题1．某市地铁2号线到站的时间间隔为5分钟,某人在地铁2号线站台等待时间超过4分钟的概率为p1,2路车到站的时间相隔为8分钟,某人在2路车站牌处等待时间超过6分钟的概率为p2，则p1与p2的大小关系为（）A．p1＝p2 B．p1〉p2C．p1〈p2 D．p1≤p2解析：由题意得，p1＝eq\f(5－4,5）＝eq\f(1，5)，p2＝eq\f(8－6,8)＝eq\f(1，4)，故p1<p2。答案：C2．如图,已知曲线C1：y＝eq\r（2x－x2），曲线C2和C3是半径相等且圆心在x轴上的半圆，在曲线C1与x轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为（)A。eq\f(3,7) B．eq\f(1,2）C.eq\f(4,7） D．eq\f（5,8)解析:由题意知，曲线C1与x轴所围成的区域的面积为eq\f(π，2)，阴影部分的面积S阴影＝eq\f(π,2）－（eq\f(1，2））2π＝eq\f(π，4)，则所取的点来自于阴影部分的概率P＝eq\f（1,2).答案：B3．在以点O为圆心，1为半径的半圆弧上，任取一点B，如图所示,则△AOB的面积大于eq\f（1，4）的概率为（）A。eq\f(1,3) B．eq\f（1,2）C.eq\f(2,3) D．eq\f(3，4)解析：如图甲所示，过点B作直线OA的垂线，垂足为D，则△AOB的面积大于eq\f（1,4)等价于eq\f(1，2）×1×｜BD｜〉eq\f(1,4)，即|BD|〉eq\f(1，2).如图乙所示，作CO⊥OA，取P为CO的中点,过P作MN⊥OC，连接OM，ON，则当点B在eq\o\ac（MCN,\s\up15（︵））上运动（不包括点M,N）时，|BD|〉eq\f(1,2），故所求概率P＝eq\f(\f(2π,3)，π）＝eq\f(2,3）。故选C。答案:C4．公园里有一个边长为6米的正方形鱼池ABCD，工人师傅在池子上方设计了一座造型独特的走廊,走廊（不包括边界）距A、B的距离都大于3米，且走廊上任意点O都满足∠DOC为锐角(鱼池中满足以上条件的地方均为走廊区域）．小朋友李明在池子边随机抛掷了一枚硬币，则这枚硬币恰好落在走廊上的概率为（)A。eq\f(π,3） B．eq\f(π，3)－1C.eq\f(π,4) D．1－eq\f(π，4）解析：由题意知走廊应满足如下三个条件：(1)在以点A为圆心，3为半径的圆外；（2）在以点B为圆心，3为半径的圆外；(3）在以CD为直径的圆外．因此,结合图形可知，硬币落在走廊上的概率P＝1－eq\f（π×32，6×6）＝1－eq\f（π，4)。答案：D5．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分）．现往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为()A。eq\f(4，π）－1 B．eq\f(1，π）C．1－eq\f（1，π) D．eq\f（\r（2），π）解析：由题意得图中空白部分的面积为4×eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，4)π－\f(1,2）×1×1）)）)＝2π－4，则阴影部分的面积为π×12－（2π－4)＝4－π,故由几何概型的概率公式可得此点落在星形区域内的概率为eq\f(4－π,π)＝eq\f(4，π)－1.答案:A6．已知矩形ABCD中,AB＝2BC＝2，现向矩形ABCD内随机投掷质点P，则满足eq\o（PA,\s\up10(→））·eq\o(PB,\s\up10(→)）≥0的概率是(）A.eq\f（4－π，4) B．eq\f(π，4)C.eq\f(16－π，16) D．eq\f（π,16）解析：如图所示，O为AB的中点．因为AB＝2BC＝2，所以当点P落在以O为圆心，以AB为直径的圆上时,eq\o（PA，\s\up10(→))·eq\o(PB，\s\up10(→））＝0；当点P落在半圆外时,eq\o(PA，\s\up10（→）)·eq\o(PB，\s\up10（→)）>0.故由几何概型概率计算公式知满足eq\o(PA，\s\up10(→）)·eq\o(PB，\s\up10（→）)≥0的概率是eq\f(S矩形－S半圆，S矩形)＝eq\f(4－π,4)。答案：A二、填空题7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于eq\f(S,4）的概率是________．解析:要使S△PBC>eq\f（1，4)S△ABC,只需PB>eq\f（1,4)AB.故所求概率为P＝eq\f(\f（3，4）AB，AB）＝eq\f(3,4).答案：eq\f（3，4）8．(2016·山东卷)在[－1，1］上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．解析：圆（x－5）2＋y2＝9的圆心为C(5,0)，半径r＝3，故由直线与圆相交可得eq\f（｜5k－0｜,\r(k2＋1))〈r，即eq\f（|5k|,\r(k2＋1))<3，整理得k2〈eq\f(9，16），得－eq\f（3,4)<k<eq\f(3,4).故所求事件的概率P＝eq\f(\f(3，4）－－\f（3,4）,1－－1)＝eq\f(3，4)。答案：eq\f(3,4）9．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤\r(2)，x－y≥－\r(2），y≥0））所表示的平面区域为M，函数y＝eq\r（1－x2)的图象与x轴所围成的平面区域为N，向M内随机投一粒豆子，则该豆子落在N内的概率为________．解析:如图，作出可行域，易求得区域M的面积SM＝2,y＝eq\r(1－x2）⇔x2＋y2＝1(y≥0)，故区域N是以原点为圆心,1为半径的圆的一半，其面积SN＝eq\f(π，2），由几何概型的知识可得，所求概率P＝eq\f(SN,SM）＝eq\f（π,4）.答案：eq\f（π，4）10．一个边长为3eq\r（π)cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2cm的圆孔,一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2cm的区域内的概率等于________．解析:如图所示,分别以正方形的四个顶点为圆心,2cm为半径作圆,与正方形相交截得的四个圆心角为直角的扇形,当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝（3eq\r(π))2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π,所以小虫离四个顶点的距离都大于2cm的概率为P＝eq\f(S1,9π－π）＝eq\f（4π，8π）＝eq\f（1,2)。答案:eq\f（1,2）三、解答题11．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解:弦长不超过1,即|OQ|≥eq\f(\r（3），2),而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A）＝eq\f（\f（\r（3）,2）×2,2）＝eq\f（\r（3），2）.故弦长不超过1的概率为1－P（A)＝1－eq\f(\r(3），2)。所求弦长不超过1的概率为1－eq\f（\r（3）,2)。12．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0。若a是从区间［0,3]任取的一个数，b是从区间［0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)｜0≤a≤3，0≤b≤2},构成事件A的区域为{（a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域（略），可得所求的概率为P（A)＝eq\f(3×2－\f（1,2)×22,3×2）＝eq\f（2，3).1．(2017·肇庆模拟）已知m∈[1,7］，则函数f（x）＝eq\f（x3,3）－（4m－1）x2＋(15m2－2m－7）x＋2在实数集RA.eq\f（1,4) B．eq\f（1，3）C.eq\f（1,2) D．eq\f（3，4)解析：f′(x）＝x2－2（4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x）在R上恒大于或等于0，所以Δ＝4（m2－6m＋8）≤0，得2≤m≤4。又m∈［1，7］，所以所求的概率为eq\f(4－2，7－1）＝eq\f（1，3)。答案:B2．某数学爱好者设计了一个商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓AOC恰是函数y＝taneq\f(πx,4)的图象的一部分，边缘轮廓线AEC恰是一段所对圆心角为eq\f（π，2）的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率为（）A。eq\f（π－2，8) B．eq\f(1，4）C。eq\f（π－2，4） D．eq\f(π－2,2)解析:连接AC。设AB＝t，因为边缘轮廓线AOC恰是函数y＝taneq\f(πx，4）的图象的一部分，所以点A，C关于原点O对称,所以直线AC必过点O，根据对称性可知商标区域的面积S商标＝eq\f(1，4）S圆－S△ABC＝eq\f（1，4）πAB2－eq\f(1，2)AB2，故点P落在商标区域内的概率P＝eq\f(S商标,S正方形ABCD)＝eq\f（\f（1,4)πAB2－\f(1，2）AB2，AB2)＝eq\f(π－2，4）。答案：C3．（2017·长沙模拟）如图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E,H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与点B1不重合)，且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为点F，G.若AB＝2AA1＝2a,EF＝a，B1E＝B1F,在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点,则该点取自于几何体A1ABFE解析：在等腰直角三角形B1EF中，因为斜边EF＝a，所以B1E＝B1F＝eq\f（\r(2），2)a，根据几何概型概率公式，得P＝eq\f（Veq\s\do8(A1ABFE－D1DCGH),Veq\s\do8(ABB1A1－DCC1D1））＝eq\f（Veq\s\do8（ABB1A1－DCC1D1）－Veq\s\do8(EFB1－HGC1），Veq\s\do8（ABB1A1－DCC1D1)）＝1－eq\f(Veq\s\do8（EFB1－HGC1),Veq\s\do8（ABB1A1－DCC1D1)）＝1－eq\f（Seq\s\do8（△EFB1)，Seq\s\do8(矩形ABB1A1）)＝1－eq\f(\f(1，2)B1E·B1F,2a2）＝1－eq\f(1,4a2）·eq\f（\r（2），2）a·eq\f(\r（2),2）a＝1－eq\f（1,8）＝eq\f（7,8)。答案：eq\f(7,8）4．已知向量a＝(－2,1），b＝（x，y)．（1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b＝－1的概率；(2)若x,y在连续区间[1,6］上取值，求满足a·b〈0的概率．解：(1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6＝36（个）；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为（1，1），（2,3)，（3，5），共3个;故满足a·b＝－1的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1，12）.（2