2018届数学复习第二章函数、导数及其应用课时作业13变化率与导数、导数的计算（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE12学必求其心得，业必贵于专精课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1）处的切线斜率是（)A．2 B．－2C．1 D．－1解析：y′＝cosx＋ex,故当x＝0时,切线斜率k＝y′｜x＝0＝2.答案：A2．(2017·河南郑州质检）函数f(x）＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线方程是（）A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0解析：f（0)＝e0cos0＝1，因为f′(x)＝excosx－exsinx，所以f′（0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0,故选C.答案:C3．（2017·河南质检）已知函数f(x）＝sinx－cosx，且f′（x)＝eq\f（1，2)f（x）,则tan2x的值是（)A．－eq\f(2，3） B．－eq\f(4，3)C.eq\f（4，3） D。eq\f(3，4）解析:因为f′(x）＝cosx＋sinx＝eq\f(1,2）sinx－eq\f(1，2)cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝eq\f(2tanx，1－tan2x）＝eq\f（－6，1－9）＝eq\f(3,4），故选D.答案:D4．直线y＝eq\f（1,2)x＋b与曲线y＝－eq\f（1，2）x＋lnx相切，则b的值为(）A．－2 B．1C．－eq\f(1，2) D．－1解析：由y＝－eq\f(1,2)x＋lnx得y′＝－eq\f（1，2)＋eq\f(1,x）。由y′＝－eq\f(1，2)＋eq\f（1，x）＝eq\f（1，2）,得x＝1，把x＝1代入曲线方程y＝－eq\f（1，2）x＋lnx得y＝－eq\f(1,2），所以切点坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，－\f(1,2））），代入直线方程y＝eq\f(1,2)x＋b,得b＝－1。答案：D5．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x）在x＝3处的切线．令g(x）＝xf(x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′(3)＝()A．－1 B．0C．2 D．4解析:由图象可知，f(3)＝1，又点(3,1)在直线l上，∴3k＋2＝1，从而k＝－eq\f（1,3)。∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x)在x＝3处的切线，∴f′(3)＝k＝－eq\f（1，3）.∵g（x)＝xf（x），∴g′（x)＝f（x）＋xf′（x），则g′（3）＝f（3)＋3f′（3)＝1＋3×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3）））＝0。答案：B6．（2016·山东卷）若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y＝f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是(）A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3解析:设函数y＝f(x）的图象上两点P(x1，y1)，Q（x2，y2），则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1）,k2＝f′（x2），若函数具有T性质，则k1·k2＝f′（x1)·f′（x2）＝－1.对于A选项，f′(x)＝cosx，显然k1·k2＝cosx1·cosx2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′（x）＝eq\f（1,x）(x>0)，显然k1·k2＝eq\f(1,x1)·eq\f（1,x2）＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项,f′(x)＝ex>0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x）＝3x2≥0，显然k1·k2＝3xeq\o\al(2，1)·3xeq\o\al（2,2)＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A.答案:A二、填空题7．曲线y＝2lnx＋1在点（1，1)处的切线方程为________．解析：对函数y＝2lnx＋1求导为y′＝eq\f（2,x），即曲线在点（1，1)处的切线斜率k＝2,故曲线y＝2lnx＋1在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1），即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝08．若曲线y＝xα＋1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：y′＝αxα－1，y′｜x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1),由该切线过原点，得α＝2。答案：29．曲线y＝ln2x上的点到直线y＝2x的距离的最小值是________．解析：对y＝ln2x求导得y′＝eq\f(1,x），令eq\f（1，x）＝2，得x＝eq\f(1,2）,y＝lneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2×\f（1，2））)＝0，即与直线y＝2x平行的曲线y＝ln2x的切线的切点坐标是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2),0))，曲线y＝ln2x上任意一点到直线y＝2x的距离的最小值是点eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2),0))到直线y＝2x的距离，即eq\f(1,\r(5)）＝eq\f(\r（5）,5)。答案：eq\f（\r(5),5)10．(2016·新课标全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1）的切线，则b＝________。解析：设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为（x1，lnx1＋2）和（x2,ln（x2＋1)）．则切线分别为y－lnx1－2＝eq\f(1,x1）(x－x1),y－ln(x2＋1）＝eq\f（1，x2＋1）（x－x2）,化简得y＝eq\f（1,x1)x＋lnx1＋1，y＝eq\f(1，x2＋1)x－eq\f（x2,x2＋1)＋ln（x2＋1），依题意,eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,x1)＝\f（1,x2＋1），，lnx1＋1＝－\f（x2,x2＋1)＋lnx2＋1，））解得x1＝eq\f（1，2),从而b＝lnx1＋1＝1－ln2。答案:1－ln2三、解答题11．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1）求P0的坐标；（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0,求直线l的方程．解：(1）由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1。当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4。又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－eq\f(1，4).∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4）,∴直线l的方程为y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1），即x＋4y＋17＝0.12．已知函数f(x）＝x－eq\f（2,x），g（x)＝a（2－lnx)（a〉0)．若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x)在x＝1处的切线斜率相同,求a的值．并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有：曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1）＝3，曲线y＝g（x)在x＝1处的切线斜率为g′(1）＝－a。所以f′(1）＝g′(1)，即a＝－3。曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1）＝3(x－1），得y＋1＝3(x－1），即切线方程为3x－y－4＝0。曲线y＝g(x）在x＝1处的切线方程为y－g（1）＝3（x－1)，得y＋6＝3(x－1），即切线方程为3x－y－9＝0。所以两条切线不是同一条直线．1．（2017·河北衡水一调)设过曲线f(x)＝－ex－x（e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为（）A．[－1，2］ B．（－1，2）C．［－2，1] D．（－2,1)解析：由题意得f′(x）＝－ex－1，g′(x）＝a－2sinx,则∀x1∈R，∃x2∈R,使得（－ex1－1）（a－2sinx2）＝－1，即函数y＝eq\f（1,ex1＋1)的值域为函数y＝a－2sinx2的值域的子集,从而(0,1)⊆［a－2，a＋2]，即a－2≤0，a＋2≥1⇒－1≤a≤2,故选A.答案：A2．(2017·江西五校联考）已知函数fn（x)＝xn＋1,n∈N*的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为(）A．1 B．1－log20162012C．－log20162012 D．－1解析：由题意可得点P（1，1)，f′n（x)＝(n＋1)xn，所以点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝（n＋1)（x－1)，所以与x轴交点的横坐标xn＝eq\f(n,n＋1)，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015＝log2016x1x2…x2015＝log2016eq\f（1，2016）＝－1，故选D。答案：D3．(2016·四川卷)设直线l1,l2分别是函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－lnx，0〈x<1，，lnx，x>1))图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P,且l1，l2分别与y轴相交于点A,B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．(0,1) B．(0,2)C．(0,＋∞) D．（1，＋∞）解析：不妨设P1(x1，lnx1），P2（x2，－lnx2),由于l1⊥l2，所以eq\f（1，x1)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，x2）））＝－1，则x1＝eq\f(1,x2)。又切线l1：y－lnx1＝eq\f(1,x1）（x－x1），l2：y＋lnx2＝－eq\f（1,x2）（x－x2），于是A(0,lnx1－1），B(0，1＋lnx1），所以｜AB｜＝2.联立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－lnx1＝\f(1，x1)x－x1，，y＋lnx2＝－\f(1,x2）x－x2,))解得xP＝eq\f(2,x1＋\f(1，x1）)。所以S△PAB＝eq\f（1，2)×2×xP＝eq\f(2,x1＋\f（1,x1))，因为x1>1，所以x1＋eq\f(1，x1）〉2,所以S△PAB的取值范围是（0,1），故选A.答案:A4．已知函数f(x）＝eq\f（1，3）x3－2x2＋3x（x∈R）的图象为曲线C.（1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解:（1)由题意得f′（x)＝x2－4x＋3。则f′(x）＝（x－2)2－1≥－1,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的