2018届数学复习第八章平面解析几何第三节圆的方程学案文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE学必求其心得，业必贵于专精eq\o（\s\up7(第三节),\s\do5（）)eq\o(\s\up7（圆的方程），\s\do5())1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一圆的方程1．圆的定义在平面内，到______的距离等于______的点的______叫圆．2．圆的标准方程（x－a)2＋（y－b)2＝r2(r>0)，其中______为圆心，__为半径．3．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________，其中圆心为____________，半径为________________．答案1．定点定长集合2。(a，b）r3．D2＋E2－4F>0(－eq\f(D，2），－eq\f（E，2））eq\f（1，2）eq\r(D2＋E2－4F）1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．解析：圆的方程可化为(x－2）2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3）．答案：(2,－3)2．以线段AB：x＋y－2＝0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为________．解析：易得线段AB的中点，即圆心为(1,1），圆的半径r＝eq\r（2)，∴圆的方程为（x－1）2＋(y－1)2＝2.答案:（x－1）2＋(y－1)2＝23．“方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m解析：方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0可化为(x＋2m)2＋（y－1）2＝4m2－5m＋1,它表示圆的充要条件是4m2－5m＋1>0，即m<eq\f（1答案:m〈eq\f(1,4)或m>1知识点二点Mx0，y0与圆x－a2＋)y－b2＝r2的位置关系1．若M（x0,y0）在圆外,则__________________．2．若M（x0，y0）在圆上，则__________________．3．若M（x0,y0）在圆内,则__________________．答案1．(x0－a）2＋（y0－b）2〉r22．（x0－a)2＋(y0－b）2＝r23．(x0－a)2＋（y0－b)2〈r24．若点(1，1）在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析:由条件知（1－a）2＋(1＋a)2〈4,即2＋2a2<4。∴a2<1。即－1<a答案：（－1，1)热点一求圆的方程【例1】根据下列条件，求圆的方程．（1)经过P（－2,4）、Q（3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；（2）圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P（3，－2）．【解】(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,将P、Q两点的坐标分别代入得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2D－4E－F＝20,①，3D－E＋F＝－10。②)）又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0。③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2｜＝6有D2－4F＝36,由①、②、④解得D＝－2,E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.（2）方法1：如图，设圆心（x0，－4x0)，依题意得eq\f(4x0－2,3－x0）＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为（1，－4），半径r＝2eq\r（2)，故圆的方程为（x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法2：设所求方程为(x－x0）2＋（y－y0)2＝r2，根据已知条件得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y0＝－4x0，，3－x02＋－2－y02＝r2，，\f（|x0＋y0－1|,\r(2））＝r,))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝1,，y0＝－4,，r＝2\r(2）.）)因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8。【总结反思】(1）直接法：根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组,从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值。(1)以点（3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是（)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．（x－3)2＋（y－1）2＝1C．(x＋3）2＋(y－1）2＝2D．(x－3)2＋(y＋1）2＝2(2）求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3)，B（－2，－5)的圆的方程．解析:(1）设圆的方程是(x－3)2＋（y＋1)2＝r2。因为直线3x＋4y＝0与圆相切,所以圆的半径r＝eq\f(｜9－4|，\r(32＋42））＝1，因此，所求圆的方程为（x－3）2＋(y＋1)2＝1.故选A.（2)解：设点C为圆心,因为点C在直线x－2y－3＝0上,所以可设点C的坐标为（2a＋3，a）．又该圆经过A,B两点，所以｜CA｜＝｜CBeq\r（2a＋3－22＋a＋32)＝eq\r(2a＋3＋22＋a＋52），解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2),半径r＝eq\r（10）。故所求圆的方程为(x＋1）2＋(y＋2）2＝10.答案:（1)A热点二与圆有关的轨迹问题【例2】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1）求线段AP中点的轨迹方程;（2）若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．【解】(1)设AP的中点为M（x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y）2＝4。故线段AP中点的轨迹方程为（x－1)2＋y2＝1。（2）设PQ的中点为N(x，y）．在Rt△PBQ中,|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP|2＝|ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1)2＋（y－1)2＝4。故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【总结反思】求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法(1）直接法：根据题设条件直接列出方程;（2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法:利用圆的性质列方程；(4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式。已知点A（3,0），点P是圆x2＋y2＝1（x≠1)上的一点，∠AOP的平分线交AP于Q,求点Q的轨迹方程．解：设Q点坐标为（x，y)，P点坐标为（x′,y′)．∵OQ是∠AOP的平分线,∴eq\f（｜AO|，|OP｜)＝eq\f（|AQ｜,｜QP|）.又|AO｜＝3,｜OP|＝1，∴eq\f（|AQ|,｜QP|）＝3,即eq\o（AQ，\s\up15（→）)＝3eq\o(QP,\s\up15（→）),∴（x－3,y)＝3(x′－x，y′－y)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝\f(4x－3,3)，，y′＝\f（4y,3).）)∵P(x′,y′)在圆上,∴eq\f（4x－32，9）＋eq\f（16y2,9）＝1，即eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（3，4)))2＋y2＝eq\f(9，16）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x≠\f（3,2)）).热点三与圆有关的最值问题考向1斜率型、截距型、距离型最值问题【例3】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0,则eq\f（y,x）的最大值为________，最小值为________．【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3,表示以（2,0)为圆心，eq\r（3）为半径的圆。eq\f（y,x）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f（y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值（如图）,此时eq\f(｜2k－0|，\r(k2＋1））＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3），所以eq\f（y，x)的最大值为eq\r（3)，最小值为－eq\r(3)。【答案】eq\r（3)－eq\r(3)1．在例3条件下，求y－x的最大值．解:原方程可化为（x－2)2＋y2＝3，表示圆心为（2,0)，半径r＝eq\r(3）的圆．设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f（｜2－0＋b|，\r(2））＝eq\r（3），解得b＝－2±eq\r（6）.所以y－x的最大值为－2＋eq\r（6).2．在例3条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图)．又因为圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02）＝2，所以x2＋y2的最大值是（2＋eq\r（3）)2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是（2－eq\r（3))2＝7－4eq\r（3).考向2对称型最值问题【例4】设点M(x0,1）,若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】由题意可知M在直线y＝1上运动,设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0）符合要求;当x0≠0时,过M作圆的切线，切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°。特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．【答案】［－1,1］【总结反思】(1)形如μ＝eq\f（y－b,x－a）的最值问题，可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题．(如例3)(2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解．（如一题多变1)(3）形如m＝（x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．(如一题多变2)（4）与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可用代数法转化为函数求最值．(如例4）（1)已知点P(x,y）是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点,PA，PB是圆C:x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（)A．1 B．3C．2 D．eq\r（2)(2)（2017·长春模拟)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－eq\r(4x－x2）有公共点,则b的取值范围是________．解析：(1）圆C的方程可化为x2＋(y－1）2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2,故圆心(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为eq\r(5）,即eq\f(5,\r（1＋k2))＝eq\r(5)，解得k＝±2,又k>0，所以k＝2。(2）由y＝3－eq\r(4x－x2）,得(x－2)2＋(y－3）2＝4(1≤y≤3）．所以曲线y＝3－eq\r（4x－x2）是半圆,如图中实线所示．当直线y＝x＋b与圆相切时,eq\f(|2－3＋b|，\r（2）)＝2.所以b＝1±2eq\r(2）。由图可知b＝1－2eq\r（2）.所以b的取值范围是［1－2eq\r(2），3］．答案：（1)C（2）1－2eq\r（2）≤b≤31．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式,定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数,同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题,不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．用化归思想求与圆有关的最值问题【例】已知圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4，过点A(－1，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交圆于E，F两点,l2交圆于G，H两点．(1)求｜EF|＋｜GH|的最大值；(2)求四边形EGFH面积的最大值．【分析】（1)将|EF｜＋|GH｜用圆心到两弦的弦心距表示，再利用基本不等式求最值；(2）四边形EGFH的面积即eq\f(1,2)｜EF｜·｜GH｜，求其最大值的问题也需要转化为圆心到两弦的弦心距问题．【解】（1）设圆心C到EF的距离为d1，到GH的距离为d2,则|EF｜＋｜GH｜＝2（eq\r(4－d\o\al（2，1））＋eq\r(4－d\o\al（2,2））)，又deq\o\al(2，1)＋deq\o\al(2，2)＝｜CA｜2＝1，∴eq\f（\r(4－d\o\al（2，1))＋\r（4－d\o\al（2，2）)，2)≤eq\r(\f(8－d\o\al（2，1）＋d\o\al（2，2），2）)＝eq\r（\f(8－1，2））＝eq\f(\r（14)，2),当且仅当d1＝d2＝eq\f（\r（2),2)时等号成立，∴｜EF｜＋｜GH|≤2eq\r(14），即｜EF｜＋|GH|的最大值为2eq\r（14）.(2）∵EF⊥GH，∴S四边形EGFH＝eq\f（1,2)｜EF｜·｜GH｜＝2eq\r（4－d\o\al(2,1)）·eq\r（4－d\o\al（2,2）)≤（4－deq\o\al（2，1）)＋(4－deq\o\al(2,2））＝8－(deq\o\al（2，1）＋deq\o\al(2，2)）＝7，当且仅当d1＝d2＝eq\f(\r(2）,2)时等号成立．故四边形EGFH面积的最大值为7。解题策略：与圆有关的最值问题，一般需要转化为熟知的内容或问题求解，常见的转化方式有四种：一是化归为三角函数求最值，一般可设圆上任一点的坐标为（a＋rcosθ，b＋rsinθ）(θ为参数）；二是利用几何图形的性质求最值；三是化归为函数问题求最值；四是化归为基本不等式求最值.（1）已知a，b,c成等差数列且公差不为零,则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2－2x－2y＝0截得的弦长的最小值为____.(2）已知圆C：x2＋y2＝1，过点P（0,2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q.若M(m，n）为线段PQ上的动点(不含端点），则eq\f（\r（3)，m）＋eq\f(1