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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE学必求其心得,业必贵于专精eq\o(\s\up7(第三节),\s\do5())eq\o(\s\up7(圆的方程),\s\do5())1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知识点一圆的方程1.圆的定义在平面内,到______的距离等于______的点的______叫圆.2.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中______为圆心,__为半径.3.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是____________,其中圆心为____________,半径为________________.答案1.定点定长集合2。(a,b)r3.D2+E2-4F>0(-eq\f(D,2),-eq\f(E,2))eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F)1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是________.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).答案:(2,-3)2.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为________.解析:易得线段AB的中点,即圆心为(1,1),圆的半径r=eq\r(2),∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:(x-1)2+(y-1)2=23.“方程x2+y2+4mx-2y+5m解析:方程x2+y2+4mx-2y+5m=0可化为(x+2m)2+(y-1)2=4m2-5m+1,它表示圆的充要条件是4m2-5m+1>0,即m<eq\f(1答案:m〈eq\f(1,4)或m>1知识点二点Mx0,y0与圆x-a2+)y-b2=r2的位置关系1.若M(x0,y0)在圆外,则__________________.2.若M(x0,y0)在圆上,则__________________.3.若M(x0,y0)在圆内,则__________________.答案1.(x0-a)2+(y0-b)2〉r22.(x0-a)2+(y0-b)2=r23.(x0-a)2+(y0-b)2〈r24.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是________.解析:由条件知(1-a)2+(1+a)2〈4,即2+2a2<4。∴a2<1。即-1<a答案:(-1,1)热点一求圆的方程【例1】根据下列条件,求圆的方程.(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).【解】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P、Q两点的坐标分别代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D-4E-F=20,①,3D-E+F=-10。②))又令y=0,得x2+Dx+F=0。③设x1,x2是方程③的两根,由|x1-x2|=6有D2-4F=36,由①、②、④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.(2)方法1:如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得eq\f(4x0-2,3-x0)=1,∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2eq\r(2),故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.方法2:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0=-4x0,,3-x02+-2-y02=r2,,\f(|x0+y0-1|,\r(2))=r,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=1,,y0=-4,,r=2\r(2).))因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8。【总结反思】(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值。(1)以点(3,-1)为圆心,并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=1B.(x-3)2+(y-1)2=1C.(x+3)2+(y-1)2=2D.(x-3)2+(y+1)2=2(2)求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程.解析:(1)设圆的方程是(x-3)2+(y+1)2=r2。因为直线3x+4y=0与圆相切,所以圆的半径r=eq\f(|9-4|,\r(32+42))=1,因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.故选A.(2)解:设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CBeq\r(2a+3-22+a+32)=eq\r(2a+3+22+a+52),解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=eq\r(10)。故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.答案:(1)A热点二与圆有关的轨迹问题【例2】已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.【解】(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4。故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1。(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4。故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.【总结反思】求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;(2)定义法:根据圆的定义写出方程;(3)几何法:利用圆的性质列方程;(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式。已知点A(3,0),点P是圆x2+y2=1(x≠1)上的一点,∠AOP的平分线交AP于Q,求点Q的轨迹方程.解:设Q点坐标为(x,y),P点坐标为(x′,y′).∵OQ是∠AOP的平分线,∴eq\f(|AO|,|OP|)=eq\f(|AQ|,|QP|).又|AO|=3,|OP|=1,∴eq\f(|AQ|,|QP|)=3,即eq\o(AQ,\s\up15(→))=3eq\o(QP,\s\up15(→)),∴(x-3,y)=3(x′-x,y′-y),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′=\f(4x-3,3),,y′=\f(4y,3).))∵P(x′,y′)在圆上,∴eq\f(4x-32,9)+eq\f(16y2,9)=1,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,4)))2+y2=eq\f(9,16)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2))).热点三与圆有关的最值问题考向1斜率型、截距型、距离型最值问题【例3】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则eq\f(y,x)的最大值为________,最小值为________.【解析】原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,eq\r(3)为半径的圆。eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设eq\f(y,x)=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值(如图),此时eq\f(|2k-0|,\r(k2+1))=eq\r(3),解得k=±eq\r(3),所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3),最小值为-eq\r(3)。【答案】eq\r(3)-eq\r(3)1.在例3条件下,求y-x的最大值.解:原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示圆心为(2,0),半径r=eq\r(3)的圆.设y-x=b,y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时eq\f(|2-0+b|,\r(2))=eq\r(3),解得b=-2±eq\r(6).所以y-x的最大值为-2+eq\r(6).2.在例3条件下,求x2+y2的最大值和最小值.解:x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).又因为圆心到原点的距离为eq\r(2-02+0-02)=2,所以x2+y2的最大值是(2+eq\r(3))2=7+4eq\r(3),x2+y2的最小值是(2-eq\r(3))2=7-4eq\r(3).考向2对称型最值问题【例4】设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.【解析】由题意可知M在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x2+y2=1相切于点P(0,1).当x0=0即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(±1,0)符合要求;当x0≠0时,过M作圆的切线,切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°。特别地,当∠OMP=45°时,有x0=±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[-1,1].【答案】[-1,1]【总结反思】(1)形如μ=eq\f(y-b,x-a)的最值问题,可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题.(如例3)(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可用三角代换求解.(如一题多变1)(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.(如一题多变2)(4)与圆相关的最值,若几何意义明显时,可充分利用几何性质,借助几何直观求解.否则可用代数法转化为函数求最值.(如例4)(1)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A.1 B.3C.2 D.eq\r(2)(2)(2017·长春模拟)若直线y=x+b与曲线y=3-eq\r(4x-x2)有公共点,则b的取值范围是________.解析:(1)圆C的方程可化为x2+(y-1)2=1,因为四边形PACB的最小面积是2,且此时切线长为2,故圆心(0,1)到直线kx+y+4=0的距离为eq\r(5),即eq\f(5,\r(1+k2))=eq\r(5),解得k=±2,又k>0,所以k=2。(2)由y=3-eq\r(4x-x2),得(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3).所以曲线y=3-eq\r(4x-x2)是半圆,如图中实线所示.当直线y=x+b与圆相切时,eq\f(|2-3+b|,\r(2))=2.所以b=1±2eq\r(2)。由图可知b=1-2eq\r(2).所以b的取值范围是[1-2eq\r(2),3].答案:(1)C(2)1-2eq\r(2)≤b≤31.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式,定参数”是求圆的方程的基本方法,即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数,同时注意利用几何法求圆的方程时,要充分利用圆的性质.2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.3.求圆的方程时,一般考虑待定系数法,但如果能借助圆的一些几何性质进行解题,不仅能使解题思路简化,而且还能减少计算量.如弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形,利用勾股定理解题.用化归思想求与圆有关的最值问题【例】已知圆C的方程为(x+2)2+y2=4,过点A(-1,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交圆于E,F两点,l2交圆于G,H两点.(1)求|EF|+|GH|的最大值;(2)求四边形EGFH面积的最大值.【分析】(1)将|EF|+|GH|用圆心到两弦的弦心距表示,再利用基本不等式求最值;(2)四边形EGFH的面积即eq\f(1,2)|EF|·|GH|,求其最大值的问题也需要转化为圆心到两弦的弦心距问题.【解】(1)设圆心C到EF的距离为d1,到GH的距离为d2,则|EF|+|GH|=2(eq\r(4-d\o\al(2,1))+eq\r(4-d\o\al(2,2))),又deq\o\al(2,1)+deq\o\al(2,2)=|CA|2=1,∴eq\f(\r(4-d\o\al(2,1))+\r(4-d\o\al(2,2)),2)≤eq\r(\f(8-d\o\al(2,1)+d\o\al(2,2),2))=eq\r(\f(8-1,2))=eq\f(\r(14),2),当且仅当d1=d2=eq\f(\r(2),2)时等号成立,∴|EF|+|GH|≤2eq\r(14),即|EF|+|GH|的最大值为2eq\r(14).(2)∵EF⊥GH,∴S四边形EGFH=eq\f(1,2)|EF|·|GH|=2eq\r(4-d\o\al(2,1))·eq\r(4-d\o\al(2,2))≤(4-deq\o\al(2,1))+(4-deq\o\al(2,2))=8-(deq\o\al(2,1)+deq\o\al(2,2))=7,当且仅当d1=d2=eq\f(\r(2),2)时等号成立.故四边形EGFH面积的最大值为7。解题策略:与圆有关的最值问题,一般需要转化为熟知的内容或问题求解,常见的转化方式有四种:一是化归为三角函数求最值,一般可设圆上任一点的坐标为(a+rcosθ,b+rsinθ)(θ为参数);二是利用几何图形的性质求最值;三是化归为函数问题求最值;四是化归为基本不等式求最值.(1)已知a,b,c成等差数列且公差不为零,则直线ax-by+c=0被圆x2+y2-2x-2y=0截得的弦长的最小值为____.(2)已知圆C:x2+y2=1,过点P(0,2)作圆C的切线,交x轴正半轴于点Q.若M(m,n)为线段PQ上的动点(不含端点),则eq\f(\r(3),m)+eq\f(1
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