冯恩信电磁场与电磁波课后习题答案

习题已知A2x?3y?z?;Bx?y?2z?，求:(a)A和B的大小（模）；(b)A和B的单位矢量；(c)AB；(d)AB；(e)A和B之间的夹角；(f)A在B上的投影。解：(a)A和B的大小AAAx2Ay2Az2223212143.74BBBx2By2Bz212122262.45A和B的单位矢量?A1????0.267z?aA3.74(2x3yz?)0.535x0.802y?B1(x?y?2z?)0.408x?0.408y?0.816z?b2.45ABABAxBxAyByAzBz2327(d)AB?????xyxyzABAxAyAz23BxByBz11A和B之间的夹角依据ABABcos得

z?5x?3y?z?cosAB70.76440.190AB9.163A在B上的投影?AB7AbB2.862.45若是矢量、和C在同一平面，证明·(B)=0。ABAC证明：设矢量A、B和C所在平面为xy平面AAxx?Ayy?Bxx?Byy?Cxx?Cyy????xyz()?()?()?BCBxByBzByCzBzCyxBzCxBxCzyBxCyByCxzCxCyCz(BxCyByCx)z?A(BC)0(BxCyByCx)z?z?0已知=??、B??和C??，证明这三个矢量Axcosysinxcosysinxcosysin都是单位矢量，且三个矢量是共面的。证明：1）三个矢量都是单位矢量AAAx2Ay2Az2cos2sin21BBBx2By2Bz2cos2sin21CCCx2Cy2Cz2cos2sin212）三个矢量是共面的???xyzBCBxByBz2cos?sinzCxCyCzA(BC)02cos??sinzz0Ax2yz；Bxyz3，当AB时，求。解：当AB时，AB0AB230所以5证明三个矢量A5x5yB3x7yz?和C2x2yz?形成一个三角形的三条边，??、????并利用矢积求此三角形的面积。证明：因为AB2x?2y?z?A(B)C0所以三个矢量A、B和C形成一个三角形此三角形的面积为??????xyxy1zzSABAxAyAz5505252202/210.62BxByBz371P点和Q点的地址矢量分别为??????5x12yz和2x3yz，求从P点到Q点的距离矢量及其长度。解：从P点到Q点的距离矢量为(2?3???12??3?15?RrQrPxxyzxyyz从P点到Q点的距离为RR3215215.3求与两矢量A4x3yz?和B2xyz?????都正交的单位矢量。解：设矢量C与两矢量A4x?3y?z?和B2x?y?z?都正交，则AC4Cx3CyCz0（1）BC2CxCyCz0（2）（1）+（2）得6Cx2Cy0Cy3Cx（3）（1）+3（2）得10Cx2Cz0Cz5Cx（4）若是矢量C是单位矢量，则CCCx2Cy2Cz2Cx29Cx225Cx21所以Cx10.1691925Cy3Cx0.507Cz5Cx0.845C??0.169x0.507y0.845z?将直角坐标系中的矢量场F1(x,y,z)x,F2(x,y,z)y分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标重量表示。解：在圆柱坐标系中F1cossin0Fx1cossin01cosF1sincos0Fy1sincos00sinFz1001Fz100100F1(,,z)cos?sin?FFF

22z2

cossin0Fx2cossin00sinsincos0Fy2sincos01cos001Fz200100F2(,,z)sin?cos?在圆球坐标系中Fr1sincossinsincosFx1F1coscoscossinsinFy1F1sincos0Fz1sincossinsincos1sincoscoscoscossinsin0coscossincos00sinF1(r,,)sincos?coscos?sin?Fr2sincossinsincosF2coscoscossinsinF2sincos0sincossinsincoscoscoscossinsinsincos0

Fx2Fy2Fz2sinsincossincosF2(r,,)sinsin?cossin?cos?将圆柱坐标系中的矢量场F1(,,z)2,F2(,,z)3用直角坐标系中的坐标重量表示。解：依据Axcossin0AAysincos0A（1）Az001Az得F1xcossin022cosF1ysincos002sinF1z00100F1(x,y,z)2cos?2sin?xycosxx2y2又因为sinx（2）x2y2zzF1(x,y,z)2?2??x2(xxyy)y2F2xcossin003sinF2ysincos033cosF2z00100F2(x,y,z)?3cos?3sinxy利用（2）式可得F2(x,y,z)3?3??x2y2(xyyx)将圆球坐标系中的矢量场F1(r,,)5r,F2(r,,)用直角坐标系中的坐标重量表示。解：依据AxsincoscoscossinArAysinsincossincosA（1）Azcossin0A得F1xsincoscoscossin55sincosF1ysinsincossincos05sinsinF1zcossin005cosF1(x,y,z)?cos?sin?x5siny5sinz5cosxrsincos又因为yrsinsin（2）zrcos得5???F1(x,y,z)(xxyy)x2y2z2zzF2(r,,)???r?1???rx2y2z2(xxyyzz)?1??x2y2(xyyx)F2(r,,)???r1??1???=x2y2x2y2z211[?2y2??x2y2x2y2z2计算在圆柱坐标系中两点P(5,/6,5)和Q(2,/3,4)之间的距离。解：两点P(5,/6,5)和Q(2,/3,4)之间的距离为d(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2(5cos(/6)2cos(/3))2(5sin(/6)2sin(/3))2(54)2(3.33)2(0.768)2(1)212.693.56空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，A3?5?4z?，B2?4?3z?，求:(a)A+B；(b)AB；(c)A和B的单位矢量；(d)A和B之间的夹角；(e)A和B的大小；A在B上的投影。解：(a)AB(32)?(54)?(43)z?5?9?z???????zz(b)ABAAAz35431?17?z2?BBBz243(c)A11???(3?5?4z?)(24?3252A427.07?B1(2?4?3z?)1(2?4?3z?)b2242B325.385(d)A和B之间的夹角cos1(AB)cos1(14)68.40AB38.077A和B的大小AA2A2Az27.071BB2B2Bz25.385A在B上的投影?(3?5?1(2?4?3z?)=2.6Ab4z?)5.385矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点P(1,/2,2)矢量为A2?3?，在点Q(2,,3)矢量为B3?10z?；求:(a)A+B；(b)A·B；(c)A和B之间的夹角。解：变换到直角坐标系Axcossin0AAysincos0AAz001Az0102A1003??3x2y00101003B01003x?10z?0110A+B2y?10z?A·B9A和B之间的夹角cos1(AB)cos1(9)125.70AB15.44计算在圆球坐标系中两点P(10,/4,/3)和Q(2,/2,)之间的距离及从P点到Q点的距离矢量。解：依据圆球坐标与直角坐标的关系xrsincosrsinsinzrcosx1rsincos100.7070.53.535y1rsinsin100.7070.8666.122z1rcos100.7077.07x2rsincos21(1)2y2rsinsin210z2rcos200d(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2(3.5352)2(6.122)2(7.07)210.87空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，A??5????3r，B2r4，求:(a)A+B；(b)A·B；(c)A和B的单位矢量；(d)A和B之间的夹角；(e)A和B的大小；(f)A在B上的投影。解：(a)A+B5r?9?(b)A·B25(c)A和B的单位矢量1???1???5??b(2a35(3r21r4)A和B之间的夹角cos1(AB)cos1(25)22.750AB27.11A和B的大小AAr2A2A25.92BBr2B2B24.58A在B上的投影???5?1???5.455Ab21求f(xyz)x3y2z的梯度。,,解：?f?f?fx2y2zxx3yzyx3y2zf32xxyyzz求标量场f(,xy,z)xy2z2在点(1,1,1)沿lxx2yz方向的变化率。解：?f?f?fyxxyzzf4xxyyzz?1???lx2y21(xx2yz)ffl?xy2x4zlx2y21所以fl(1,1,1)3由xyz，利用圆柱坐标和直角坐标的关系，推导xyz1z。z解：在直角坐标系中xyzxyzxcossinzzx2y2

（1）（2）arctg

y

（3）xzzxcossinysincos由（2）、（3）式可得cosxyy1x2x1(y)2x2y2sinxysin1x1xyy2x2y2cos1()x

（4）（5）（6）（7）（8）（9）由（1）－（5）式得x?y?z?xyz??(?sin??xyz而1cossinxxx1sincosyyy再由（6）－（9）式可得(?cos?cos1sin)(sin)??1?(sincos)(sincos)zz=?cos2?1sin2?cossin?1cossin?sin2?12?cossin?1?coscossin1

zzz求f(,,z)cos的梯度。解：f?f?1ff?cos?z?zsin由xyz，利用圆球坐标和直角坐标的关系，推导xyz11。rrsinrr解：xrsincosyrsinsinzrcosrx2y2z2arctgx2y2zarctgyxx?r?sincos?coscos?sin????sincossincosyrsin??z?sinrcosrxrxxxryryyyrzrzzzrsincosxrsinsinyrcosz1coscosr1cossinyr1zsinrsinxrsincosyrsin0zxyzxyz(r)(r?sincos?coscos?sin)rxxx(r??cossin?cos)ryyy(r)(r?cos?sin)rzzz(sin???coscoscossin)rcos)(rsin(1coscos)(r?sincos?coscos?sin)r1???(sincoscoscossin)rsin)(rsin(sin???sincossin)rsin)(rsincos(1cossin???sincossincos)r)(rsin1???(cossincossincos)rsin)(rsin(cos??sin)r)(rcos1??(sinsin)rr11rrsinr求f(r,,)r2sincos的梯度。解：f?1f1f??rrsinr???cosrcoscosr2rsinrsin求梯度,r,ekr，此中k为常数。解：??r?r?rkr?ekr?krerrrke在圆球坐标系中，矢量场为k，此中k为常数，证明矢量场对任意Fr()Fr( )r2rFr( )闭合曲线l的环量积分为零，即Fdl0。l证明：依据斯托克思定理：FdlFdSlS??rsin?k1rr=0F(r)r2rr2sinrk00r2所以FdlFdS=0lS证明（1）12()；（2）F( )F'( )。证明：（1）???xzy?1??1?2?1?xx2yyyzz2zxxyz???}2???}2{xyz{xyzxyzxyz12()（2）F( )x?Fy?Fz?Fxyz??z?F'F'( )xyzAdS由AlimSAAxAyAz。推导xyzV0V解：图1－1由AxAyAz推导A1(A)1AAzAyz和xz1211AArr2(rAr)rsin(sinA)rsin。解：（1）AAxAyAzxyzAxAxAyAyAzxxyyz由Axcossin0AAysincos0AAz001Az得AxAcosAsinAyAsinAcoscosx1sinxysiny1cosAAxAxAyAyAzxxyyzcos(AcosAsin)1sin(AcosAsin)sin(AsinAcos)1(AsinAcos)AzcoszAcos2Acossin1sincosA1sin2A1Asin21sincosA1cos2A1cossinAsin2AsincosA1cossinA1cos2AAzzAA1AAzz1(A)1AAzz（2）A1(r2Ar)1(sinA)1Arr2rsinrsinrsincosxrsinsinyrcosz1cosxcosry1cossinr1zsinrsinxrsincosyrsinz0AxsincoscoscossinArAysinsincossincosAAzcossin0AAAxAyAzxyzAxrAxAxAyrAyAyrxxxryyyAzrAzAzrzzzsincosr(sincosArcoscosAsinA)coscos1(sincosArcoscosAsinA)rsin(sincosArcoscosAsinA)rsinsinsin(sinsinArcossinAcosA)rcos1(sinsinArcossinAcosA)sinrcos(sinsinArcossinAcosA)rsincosr(cosArsinA)sin(cosArsinA)rsin2cos2Arsincoscos2rAsincossinArrsin2sin2Arsincossin2rAsinsincosrArcos2ArcossinrA1r(sincoscos2Arcos2cos2AcoscossinA)r1(sincossin2Arcos2sin2AcossincosA)r1(sincosArsin2A)r1(cos2cos2Arsincoscos2A)r1(cos2sin2Arsincossin2A)r1(sin2ArsincosA)r1(sinsincosArcossincosAsin2A)rsin1(sinsincosArcossincosAcos2A)rsin1(sinsin2Arcossin2AsincosA)rsin1(sincos2Arcoscos2AsincosA)rsin(Ar)2Arsin(A)cosA1Arrrsinrsinrsin1(r2Ar)1(sinA)1Arr2rsinrsin计算以下矢量场的散度a)Fyzxzyyxzzb)F??c)F2rrcosr解：a)FFxFyFzzxxyzb)F1(F)1FFz1z1(r2Fr)11F4cos2c)F(sinF)sinr2rrsinrsinrsin计算散度(?),r,(kekr)，此中k为常矢量。解：(?1()2)rF1(r2r)3r2r(kekr)kekrkekr(kr)kkekrk2ekr2222112由()x2y2推导22。解：222x2y2cossin1xxxsincos1yyy211(cos)(cossin)x2sincos22112sincos()sin(cos)sin1(sin)2211y2(sincos)(sincos)sin22(112sincos)cos(sin)cos1(cos)22cos22112sincos()sin(cos)sin1(sin)2sin22(112sincos)cos(sin)cos1(cos)22sin211212sincossincos2sin2122221121212coscossincossincos2222112112()22222已知a)f(r)x2zf(r)=c)f(r)=r求2f。解：a)b)c)

222

f2f2f2f2zx2y2z2f1(f)12f2f122z2f1r(r2f)1(sinf)12f2r2rr2sinr2sin22r求矢量场Fzz穿过由1,0,0z1确立的地域的封闭面的通量。解：Fzz解法1：FdSFdSFdSFdSFdSSS1S2S3S4S1为半径为1的圆弧侧面；S2为侧平面；S3下端面；S4上端面。1(????FdSzddzddzzzS1S10011xFdS(??zz?)(?(ydzdxx2S2S210y2y001dxdx010FdSS3S3FdSS4S4FdS

(??zz?)(z?)dd0z0(??zz?)(z?)dd/2z1FdSFdSFdSFdS=3/2SS1S2S3S4解法2：F11FFz213(F)zFdSFdV3dV3V3/2SVVAdl???xyz由(A)?liml推导A。nsxyzs0AxAyAz解：1）设??，l为边长为y和z的，中心在(x,y,z)的矩形回路nxAdlAzz(AyAyz)y(AzAzy)zAyyzylAyzyAzyzzyAdlAyAzlszy2）设n?y?，l为边长为x和z的，中心在(x,y,z)的矩形回路AdlAxx(AzAzx)z(AxAxz)xAzzxzlAzzxzAxzxxzAdlAzAxlsxz3）设??，l为边长为x和y的，中心在(x,y,z)的矩形回路nzAdlAyy(AxAxy)x(AyAyx)yAxxyxlAxyxAyxyyxAdlAxAylsyx所以?AyAzAzAx)z?(AxAyzyzyxx???xyzxyzAxAyAz计算矢量场Fxyx2yzyz的旋度解：??????xyzxyzFxyzxyzFxFyFzxy2yz1???x(2y)y(00)z(x0)??2yxxz计算,??r,(z),解：???1z0z00???1z(z??)zz00?r?rsin?1rr0r2sinrr00r?r?rsin??1cos?1r2sinrrrsin00rsin已知Ayxxy，计算A(A)解：??????xyzxyzA2?yzxyxzAxAyAzyx0A(A)??(2z?)0(yxxy)对于任意矢量，若??AAx(x,y)xAy(x,y)y????xyxzAyzxxAxAyAzAx(x,y)

y?yAy(x,y)

z?AxAyzz?()yx0A(A)[A??AxAy=xy)=0z(xy???证明矢量场E=yzxxzyxyz既是无散场，又是无旋场。证：EExEyEz0xyz??????xyxyzzExyzxy0zExEyEzyzxzxy已知EE0cosrE0sin?E，求和。=?E解：E1(r2Er)1(sinE)1Er2rrsinrsin1(r2E0cos)1(sin(E0sin))r2rrsin2E0cos2E0cos0rr1r?r?rsin?Er2sinrErrErsinE?r?rsin?1rr2sinrE0cosrE0sin0?E0sinE0sin)0(r证明()。AAA解：???xyz(A)xyzAxAyAz?AzAy?AxAz)?AyAx)yzxxyz?AzAy?AxAz)z?(AyAx)}xxyyzz?Ay?Az?Ax)zyxzxyxzyAA已知F(x)(y)(zF),0,计算F解：依据亥姆霍兹定理F(r)(r)A(r)此中1( )r41A( )r4

VV

'F('r)dV'r'F('r)dV'rr'因为F0，所以A0；对于F(x)(y)(z)( )r1'F('r)dV'4Vrr'1(x')(y')')dx'dy'dz'4x')2y')2V(x(y(zz')2114r所以1?F(r)(r))(4r24r已知F0,Fz(x)(y)(z),计算F解：依据亥姆霍兹定理F(r)(r)A(r)此中1( )r41A( )r4

VV

'F('r)dV'r'F('r)dV'rr'因为F0，所以0；对于Fz?(x)(y)(z)A( )r1'F('r)dV'4Vrr'1z?(x')(y')'(z')dx'dy'dz'4x')2(yy')2V(x(zz')2?11??sin)4r4r所以F(r)A(r)1r?r?rsin?r2sinrArrA0?rAAr)sin?r(4r2r第2章习题2-1.已知真空中有四个点电荷q11q22Cq34Cq48C，分别位于(1,0,0)，C，，，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解：R1x?z?;R2y?z?;R3x?z?;R4y?z?????3?6?15?E1)x(2222yz40R1R2R3R44082-2.已知线电荷密度为l的平均线电荷围成如下列图的几种形状，求P点的电场强度。abc题2-2图解：由对称性由对称性

EE1E2E3E40EE1E2E30建立坐标系如下列图，两条半无穷长线电荷产生的电场为EaE1E2l{(x?y?)(x?y?)}l?240a0a半径为a的半圆环线电荷产生的电场为lEby?20a总电场为EEaEb02-3.真空中无穷长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为s，求轴线上的电场强度。解:在无穷长的半边圆筒上取宽度为ad的窄条,此窄条可看作无穷长的线电荷,电荷线密度为lsad,对积分,可得真空中无穷长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为???s?Esards020a2(sinycosx)dy000题2-3图题2－4图2-4.真空中无穷长的宽度为a的平板上电荷密度为s，求空间任一点上的电场强度。解:在平板上x'处取宽度为dx'的无穷长窄条，可看作无穷长的线电荷，电荷线密度为sdx'，在点(x,y)处产生的电场为dE(x,y)

1s?dx'20此中(xx')2y2；?(xx')x?yy?(xx')2y2对x'积分可得无穷长的宽度为a的平板上的电荷在点(x,y)处产生的电场为E(x,y)a/2(x??sx)xyydx40a/2(xx)2y2s?(xa/2)2y2?xa/2xa/2)}4{xln(xa/2)2y2y2(arctgarctg0yy2-5.已知真空中电荷散布为2r2;raaa0;rsb;rar为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。解：因为电荷散布拥有球对称性，电场散布也拥有球对称性，取一半径为r的球面，利用高斯定理EdS

qs0等式左侧为EdS4r2Ers半径为r的球面内的电量为4r5;raq5a2a35ba24;ra5所以，电场强度为r32;ra50aEra35ba2a50r2;r2-6.在圆柱坐标系中电荷散布为;raa0;rar为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解:因为电荷散布拥有轴对称性，电场散布也拥有轴对称性，取一半径为r,单位长度的圆柱面，利用高斯定理EdS

qs0等式左侧为EdS2rErs半径为r、高为1的圆柱面内的电量为rr22r3;raq2rdr3a2rdra2a200;ra3所以，电场强度为r2a3a;rEr0a2a3;r0r2-7.在直角坐标系中电荷散布为(x,yz,)

0;xa0;xa求电场强度。解:因为电荷散布拥有面对称性，电场散布也拥有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为2xS0;xaq0;xa2aS所以，电场强度为0x;xaEx00a;xa02-8.在直角坐标系中电荷散布为x;xa(x,yz,)0;xa求电场强度。题2－8图解:因为电荷散布拥有面对称性，电场散布也拥有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为xxx2S;xaq2Sdx2xSdx2S;x00aa所以，电场强度为x2;0xax2;ax02200Exa2Exa22;xa2;xa002-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c<a)。求空腔中的电场强度。题2-9图解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完整平均填补电荷的大球在该点的电场与完整平均填补负电荷的小球在该点的电场之和。利用高斯定理，可求得完整平均填补电荷的大球在该点的电场为Ea

R30完整平均填补负电荷的小球在该点的电场为Eb

r30所以，空腔中某点的电场为EEaEbc(Rr)3030为从球心指向空腔中心的矢量。2-10.已知电场散布为2xb/2xb/2x;bx;xb/2Ex;xb/2求电荷散布。题2－10图解:由E/0得E20;xb/20b0;xb/22-11.已知在圆柱坐标中，电场散布为ECr;arb此中C为常数。求电荷散布。ra,rb0;r解:由E/0，得0E在arb，E?(Cr)0（在圆柱坐标系）r在ra,rb，E0所以0在r=a，r=b有面电荷.电荷面密度为Dn0En0C/a;ras0C/b;rb2-12.若在圆球坐标系中电位为(ba);raaba);arb(r)(r0;rb求电荷散布。解:由2/0得体电荷密度02(ba);ra对(r)(aba);arbr0;rb求拉普拉斯运算得20所以0下边计算r=a，r=b的分界面上的面电荷。E?rrab20;raEr(r);arbr0;rbDn0b/a;ra面电荷密度s0Enb0a/b;r2-13.分别计算方形和圆形平均线电荷在轴线上的电位。(a)(b)解:方形平均线电荷在轴线上的电位方形每条边平均线电荷的电位L/2dz'd2(L)2L/2(d)llln240L/2d2z'240Ld2)2L/2(2此中d2z2(L/2)2方形平均线电荷在轴线上的电位为(z)llnz2L2/2L/20z2L2/2L/2圆形平均线电荷在轴线上的电位2'al(z)lad400a2z220a2z22-14.计算题2-5给出的电荷散布的电位。解:题2-5给出的电荷散布的电场为r32;ra50aEra35ba2;ra50r2由电位的定义,电位为(r)Erdrr对于r>a(r)a35ba2dra35ba2r50r250r对于r<aa35ba2a3a2a2r4(r)drrdr5baa50r2r50a250200200a22-15四偶极子电荷与圆球坐标地址为q(a,/2,0)，q(a,/2,/2)，q(a,/2,)，q(a,/2,3/2)，求ra处的电位。解：(r)q1111(R2R3)40R1R4此中R1rr1'R1[r2r'122rr'1]1/2R1?1/2rr'1?r[12r'1r/r]r11r'1r?11r'2r?R1[1r]；R2[1r]；rr11r'3r?11r'4r?R3[1r]；[1r]rR4r(r)q(1111)40R1R2R3R4q????=2[r'1r'2r'3r'4]r240r20rqasin(cossin)20r22-16.已知电场强度为E3xy45z，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。题2－16图b解：Vab(a)(b)Edla解法1：从点a(0,0,0)到点b(1,2,1)的路径l取l1(0,0,0)到点(1,0,0)-+l2点(1,0,0)到点(1,2,0)-+l3点(1,2,0)到点(1,2,1)121VbaEdlEdlEdlEdl3dx4dy5dz6ll1l2l3000解2E(3x4y5z)Vab(0,0,0)(1,2,1)62-17.已知在球坐标中电场强度为E32r，试求点(a,1,1)与点(b,2,2)之间的电r压。解：从点(a,1,1)到点(b,2,2)的路径l取l1(a,1,1)到点(a,1,2)+l2点(a,1,2)到点(a,2,2)+l3点(a,2,2)到点(b,2,2)b3??11VlEdll1Edll2Edll3Edlar2rrdr3(ab)2-18.已知在圆柱坐标中电场强度为E2，试求点(a,1,0)与点(b,2,0)之间的电压。解：点(a,1,0)到点(b,2,0)之间路径l取l1(a,1,0)到点(b,1,0)+l2点(b,1,0)到点(b,2,0)bVEdlEdlEdlll1l2a

2??ba2-19.半径为a，长度为L的圆柱介质棒平均极化，极化方向为轴向，极化强度为PP0z(P0为常数)。求介质中的拘束电荷。解:(1)介质中的拘束电荷体密度为'P0(2)介质表面的拘束电荷面密度为'sn?P在圆柱介质棒的侧面上拘束电荷面密度为零;在上下端面上拘束电荷面密度分别为'sP0.2-20.求上题中的拘束电荷在轴线上产生的电场。解：上下端面上拘束电荷产生的电场由例题，圆盘形电荷产生的电场为2s(1z');z'0Ez(z')0z'2a2sz'2(1);z'00z'2a2式中a为圆盘半径.对上式做变换,z'zL/2,sP0,可上端面上拘束电荷产生的电场为P0(1zL/2);zL/220L/2)2Ez1(z)(za2P0(1zL/2);zL/220(zL/2)2a2同理,做变换,z'zL/2,sP0,可下端面上拘束电荷产生的电场为P0(1zL/2);zL/22L/2)2Ez2(z)0(za2P0(1zL/2);zL/220(zL/2)2a2上下端面上拘束电荷产生的总电场为P0[zL/2zL/2];zL/2P020(zL/2)a2(zL/2)2a2Ez[2zL/2zL/2];L/2zL/220(zL/2)2a2P0(zL/2)a2[zL/2zL/220(zL/2)2a2(zL/2)2];zL/2a22-21.半径为a的介质球平均极化，PP0z，求拘束电荷散布。解:(1)介质中的拘束电荷体密度为'P0(2)介质表面的拘束电荷面密度为'snPzrP0P0cos???2-22.求上题中拘束电荷在球中心产生的电场。解:介质表面的拘束电荷在球心产生的电场在介质球表面取半径为

r

asin

宽度为

dl

ad

的环带

,

可看作半径为r

asin

,z

acos

,电荷线密度为

l

aP0osd

的线电荷圆环

,例中给出了线电荷圆环的电场,对积分得EzP0a3sincos2dP0200[(asin)2(acos)2]3/230题2-22图2-23.无穷长的线电荷位于介电常数为的平均介质中，线电荷密度l为常数，求介质中的电场强度。解:设无穷长的线电荷沿z轴放置,利用高斯定理,简单求得介质中的电场强度为lE2

为场点到线电荷的距离.2-24.半径为a的平均带电球壳，电荷面密度s为常数，外包一层厚度为d、介电常数为的介质，求介质内外的电场强度。解:因为电荷与介质散布拥有球对称性，取半径为r的球面，采纳高斯定理DdSqS上式左右两边分别为4r2Dr4a2s由此得Dra2sr2因为DE，所以a22s;aradErra2s;rad0r22-25.两齐心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，内、外导体球壳电位分别为V,0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度。解：设内导体带电荷为q，因为电荷与介质散布拥有球对称性，取半径为r的球面，采纳高斯定理，两导体球壳之间的电场为Erqr24两导体球壳之间的电压为bq(11)VErdra4ab得出qV411)(ba所以ErV111r2ab球壳面上的电荷面密度为s(ra)Dn(ra)Er(ra)V111a2abs(rb)Dn(rb)Er(rb)V111b2ab2-26两齐心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为1、2，介质界面半径为c，内外导体球壳电位分别为V,0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度以及介质分界面上的拘束电荷面密度。解：设内导体带电荷为q，因为电荷与介质散布拥有球对称性，取半径为r的球面，采纳高斯定理可得，Drq4r2两导体球壳之间的电场为q;arc41r2Erq;crb42r2两导体球壳之间的电压为bcqbqq11q11aErdrVa41r2drc42r2dr41(ac)42(cb)qV/[1(11)1(11)]41ac2cbV;arc[(11)1(11)]r2Erac2cbV;crb[2(11)(11)]r21accbs(ra)Dn(ra)1V[(11)1(11)]a2ac2cbs(rb)Dn(rb)[21

2V(11)(11)]b2accb's(rc)0(Er(rc)Er(rc))0V11c2[2(111111111][a)()][(a)(b)]1ccbc2c2-27圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，介质的击穿场强为Eb，求此电容器的耐压。解：设圆柱形电容器长度为L，内导体电量为q，利用高斯定理，可得Er

q2rLb内外导体间的电压为Va

qqbdr2Lln2Lra所以qV2Lblna所以电场可表示为V1Er

brlna内导体表面的电场为EaV1lnbaa所以VaEalnbabEb，则电容器的耐压为若是介质的击穿场强为VaEblna2-28已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为，在球心放一电量为q的点电荷。（1）用介质中的高斯定理求电场强度；（2）求介质中的极化强度和拘束电荷。解：（1）由题意，电场拥有球对称结构。采纳高斯定理DdSq，在半径为r的球面上SDrq4r2由DE得q2;ra,rbEr40rqr2;arb4（2）P0eE0(r1)E(0)E0qr4r2?'P0q1?4(2r)0r'sPn这里n?x??'s(ra)P?0qn4a2's(rb)P?0qn4b22-29某介质的介电常数为azn，a和n均为常数，若介质中的电场强度为恒值且只有z重量，证明DnD。zDEn证：azEz0?Dd(aznE0)nazn1E0nDdzz2-30.有三层平均介质，介电常数分别为1,2,3,取坐标系使分界均平行于xy面。已知三层介质中均为匀强场，且E132xz，求E2,E3。解：因为三层介质中均为匀强场，E132xz，设第二、三层介质中的电场强度分别为E2???；E2xxE2yyE2zzE3???E3xxE3yyE3zz由界线条件E1tE2t可得E2xE3xE1x3，E2yE3yE1y0由界线条件D1nD2n，可得D2zD3zD1z21，即E2z21/2；E3z21/3所以E2?21/?，3x2zE3?2?3x1/3z2-31.半径为

a的导体球中有两个半径均为

b的球形腔，在此中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷在该球形空腔中心，如下列图，若是导体球上的总电量为

0，求导体球腔中及球外的电场强度。解：?（1）在有点电荷的空腔中，因为对称性，电场强度为E1qR1，R1为从空腔中心指0R124向该空腔中场点的地址矢量。2）在另一没有点电荷的空腔中，因为静电障蔽，该空腔中的电场强度为零。3）在导体球外，因为导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，所以导体球外电场拥有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为Erqr为导体球心出席点的距离。0r242-32.

题图同轴圆柱形电容器内外半径分别为

题图a、b，导体之间一半填补介电常数为

1的介质，另一半填补介电常数为

2的介质。当电压为

V时，求电容器中的电场和电荷散布。解：设同轴电容器长度为

l，内导体上的电量为

q,

在内外导体之间取半径为

r

的圆柱面，利用高斯定理DdSqS在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变成rl(1E1r2E2r)q由介质界线条件E1rE2rEr，可得Erq2)rl(1bqlnb内外导体之间的电压为VErdra2(12)al(12)V由此得q，进而得blnVEr

brlna电荷散布为1Va2Va;r;ralnbalnb1介质侧a；2介质侧ass1V;rb2V;rbblnbblnbaa2-33z>0半空间为介电常数为1的介质，z<0半空间为介电常数为2的介质，当电量为q的点电荷放在介质分界面上；(2)电荷线密度为l的平均线电荷放在介质分界面上。求电场强度。解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面上以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理DdSqS设上、下半球面上的电位移矢量分别D1、D2，依据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有2r2(D1D2)=q依据界线条件E1tE2t，所以2r2(1E1t2E2t)qErE1rE2rq2(12)r2（2）电荷线密度为l的平均线电荷放在介质分界面上以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理DdSlS设上、下半柱面上的电位移矢量分别D1、D2，依据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有r(D1D2)=l依据界线条件E1tE2t，所以r(1E1t2E2t)lErE1rlE2r(12)r2-34.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为厚度为t的