江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期末调研测试数学 - 副本 - 副本

江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期末调研测试数学试题一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合满足，则A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以元素与集合的关系为，A错误，元素与集合的关系为，B错误，元素与集合的关系为，C正确，元素与集合的关系为，D错误，故选：C.2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为A． B． C． D．【答案】D【解析】，，复数的虚部为.故选：D.3．在中，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，因此，.故选：A.4．将一个圆形纸片剪成两个扇形（没有多余角料），将它们分别卷曲粘贴成圆锥形状（重叠部分忽略不计），若两个扇形的面积比为，则两圆锥的高之比为A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆的半径为，则两个圆锥的母线长为.因为，又因两个扇形的面积比为，则两个扇形的弧长比也为.设卷成的两个圆锥小圆锥底面半径为，高为，大圆锥底面半径为，高为，则，，，，则，，所以两个圆锥的高分别为，，因此两圆锥的高之比为.故选C.5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：点三点共线，所以，即，因为，所以，，由二倍角公式可得：，故选：B.6．设为实数，若双曲线的一个焦点坐标为，则的值为A． B． C． D．【答案】C【解析】将双曲线化为标准方程，得，因为双曲线的一个焦点坐标为，在轴上，所以，且，解得.故选：C.7．某同学研究如下数表时，发现其特点是每行每列都成等差数列，在表中，数出现的次数为A． B． C． D．【答案】A【解析】记第行第列的数为，由题意可知第一行组成的数列是以为首项，为公差的数列，所以，所以第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，令，所以，解得；；；；；；；，共组解，所以数出现共出现次.故选：A.8．已知函数存在极大值点和极小值点，则实数的值可以是A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知存在极大值点和极小值点可得有两个根，可得.当时，单调递增，至多一个根，不合题意.，因为的定义域为，所以，所以同号，单调递增，因为有两个根，则存在，.在上是单调递减的，在上单调递增的，有两个根.又因；，则，又因，，所以，即得，因为单调递增，，所以.满足，则，，令，则是单调递增的，所以，所以，所以，D选项满足要求，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是A．为等差数列 B．C．中，、最大 D．为递增数列【答案】BC【解析】对A，，当时，，当时，不满足上式，，从而知不是等差数列，故A选项错误；对B，，当时，，故B选项正确；对C，，当时，有最大值，而又，当或时，有最大值，即在中，最大，故C选项正确；对D，由知，根据数列的通项公式知此数列为递减数列，故D选项错误.故选：BC.10．已知函数的最大值为，，则下列结论正确的是A．B．在上单调递减C．直线是图象的一条对称轴D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称【答案】BCD【解析】因为函数的最大值为，所以，解得，因为，，所以，故A选项错误；所以，对于B选项，当时，，由于函数在上单调递减，所以，函数在上单调递减，故B选项正确；对于C选项，当时，，由于是函数的对称轴，所以直线是图象的一条对称轴，故C选项正确；对于D选项，把的图象向左平移个单位长度得到，所以令，解得，故当时，，所以是的一个对称中心，故D选项正确.故选：BCD.11．已知是圆上两点，则下列结论正确的是A．若点到直线的距离为，则B．若的面积为，则C．若，则点到直线的距离为D．的最大值为，最小值为【答案】AC【解析】对于A：易知圆的半径，因为点到直线的距离，所以，即选项A正确；对于B：因为的面积为，所以，即，解得，因为，所以或，即选项B错误；对于C：因为，所以，即，即，因为，所以，即是边长为的等边三角形，所以点到直线的距离为，即选项C正确；对于D：由题意设，，且，则，因为，所以，则，，，所以，即，即选项D错误.故选：AC.12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，，，则A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，令，得，，所以A正确.令，则，求导数得，，即，所以关于对称，，又因为，，所以为偶函数.，的周期为.因为为周期为的偶函数，所以，，令时，，令，得，，，所以B不正确，C正确.因为的周期为，，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数，对任意实数都有，则实数的值为________.【答案】【解析】因为对任意实数都有，所以时也成立.，，，，，经检验符合题意，故答案为：.14．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，所以由得，因为关于的不等式在区间上有解，所以只需小于等于的最大值，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，即当且仅当时取等号，故的最大值为，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.15．一个圆台两个底面的直径分别为、，该圆台存在内切球，则该圆台的体积为__________.【答案】【解析】如图为圆台的轴截面，设内切球的半径为，则圆台的高为，圆台的母线长为，则，，所以，解得，即圆台的高为，所以圆台的体积为.故答案为：.16．已知抛物线，点，是坐标原点，是抛物线上的四个动点，，过点分别作的垂线，垂足分别为，则点距离的最大值为__________.【答案】【解析】设直线为，，，由题知：，则.，解得.所以直线为，恒过定点.同理直线恒过定点.因为，，则在以为直径的圆上.所以的最大值为直径.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为数列的前项积，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式.【解析】（1）证明：由已知条件知，①于是，②由①②得，③，又，④由③④得，所以，令，由，得，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可得数列是以为首项，为公比的等比数列.，，法1：时，，又符合上式，所以；法2：将代回得：.18．（12分）如图，在中，，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）点是线段上一点，，且，求证：.【解析】（1）在中，，.由正弦定理：，得.（2）在中，，，由余弦定理得：即，，又，，.19．（12分）在一个袋子里有大小一样的个小球，其中有个红球和个白球.（1）现有放回地每次从中摸出个球，连摸次，设摸到红球的次数为，求随机变量的概率分布及期望；（2）现无放回地依次从中摸出个球，连摸次，求第二次摸出白球的概率；（3）若每次任意取出个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为，求的概率.【解析】（1）由题意分析，的可能值为.所以，，，.分布列为：.（2）记“第一次摸出红球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，“第二次摸出白球”为事件，则，，，.即第二次摸出白球的概率为：.（3）依题意，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为.即是“前次只有次取到红球，其余次取到白球，第次取到红球”.20．（12分）三棱台的底面是正三角形，平面，，，，是的中点，平面交平面于直线.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）在三棱台中，，又平面，平面，则平面，又平面，平面平面，所以.（2）因为平面，在平面内作，以为原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.21．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.【解析】（1）由已知椭圆的左、右焦点分别为，，方法一：由题意得，解得，椭圆的方程为；方法二：由，则，又，得，椭圆的方程为.（2）设，，由，消去得：设，由题意，，从而，同理，又，所以，即，又，故，直线的斜率与直线的斜率之和为.22．（12分）函数.（1）若曲线存在垂直于轴的切线，求实数的取值范围；（2）设，试探究函数