初中数学浙教版八年级上册第1章三角形的初步知识1．3证明【市一等奖】

1．3证明(一)1.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F，若∠AED＝140°，则∠C＝__50°__，∠A＝__80°__，∠BDF＝__40°__，∠EDF＝__50°__．,(第1题)(第2题)2.如图，平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1＝__30°__．(第3题)3.如图，已知AD∥BC，∠EAD＝50°，∠ACB＝40°，则∠BAC＝__90°__．4．如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的条件是(A)A．∠1＝∠2B．∠1＋∠2＝90°C．∠3＋∠4＝90°D．∠2＋∠3＝90°(第4题)(第5题)5．如图，有一条直的宽纸带按图示的方式折叠，则∠α的度数是(C)A．50°B．60°C．75°D．85°6．已知△ABC的三个内角的度数之比为3∶4∶5，则这个三角形是(A)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(第7题)7．如图，已知EF与AB，CD分别交于点E，F，∠1＝∠2.求证：AB∥CD.【解】∵∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠AEF(对顶角相等)，∴∠1＝∠AEF(等量代换)，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．(第8题)8．如图，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，CM⊥CN.求证：∠NCB＝eq\f(1,2)∠B.【解】∵AB∥CD(已知)，∴∠DCB＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠DCB＝180°－∠B.又∵CM平分∠BCD(已知)，∴∠MCB＝eq\f(1,2)∠DCB＝eq\f(1,2)(180°－∠B)＝90°－eq\f(1,2)∠B(角平分线的定义)．∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，∴∠NCB＝90°－∠MCB＝90°－(90°－eq\f(1,2)∠B)＝eq\f(1,2)∠B.9．如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：(1)∠A＝∠4；(2)AF∥BC.(第9题)【解】(1)∵∠1＝∠2(已知)，∴DC∥AB(内错角相等，两直线平行)，∴∠A＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠3＝∠4(已知)，∴∠A＝∠4.(2)∵∠A＝∠4(已证)，∴AF∥BC(同位角相等，两直线平行)．(第10题)10．如图，已知AB∥CD，求证：∠α＋∠β－∠γ＝180°.【解】过点E作EF∥AB，则∠A＋∠AEF＝180°，∠FED＝∠D，∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.(第11题)11．如图，AB∥CD，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°．【解】提示：分别过点E，F作AB的平行线．(第12题)12．如图，P为△ABC内任意一点，∠1＝∠2，求证：∠ACB与∠BPC互补．【解】在△BCP中，∠BPC＋∠2＋∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)．又∵∠1＝∠2，∴∠BPC＝180°－(∠1＋∠BCP)，∴∠BPC＝180°－∠ACB，∴∠ACB＋∠BPC＝180°，即∠ACB与∠BPC互补．(第13题)13．如图，∠xOy＝90°，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BC平分∠DBO，BC与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．【解】∠ACB不随A，B的移动发生变化．理由如下：∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠DBO，∠BAC＝eq\f(1,2)∠BAO.∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，∴eq\f(1,2)∠DBO＝eq\f(1,2)∠BAO＋∠ACB，∴∠ACB＝eq\f(1,2)(∠DBO－∠BAO)＝eq\f(1,2)∠AOB＝45°.(第14题)14．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：(1)∠MON的度数；(2)如果已知中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)如果已知中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以进行类比，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．【解】(1)∵OM平分∠AOC(已知)，∴∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC(角平分线的定义)．又∵ON平分∠BOC(已知)，∴∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC(角平分线的定义)，∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝eq\f(1,2)∠AOC－eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)(∠AOC－∠BOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＝45°.(2)当∠AOB＝α，其他条件不变时，∠MON＝eq\f(α,2).(3)当∠BOC＝β，其他条件不变时，∠MON＝45°.(4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可以看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化没有关系．(第14题解)(5)设计的问题为：如解图所示，已知线段AB＝a，延长AB至点C，使BC＝b，M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．本题的规律是“MN的长度总等于AB的一半，而与BC的长度变化无关”．理由如下：∵M是AC的中点(已知)，