精品解析：辽宁省协作校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案 - 副本

2021—2022学年上学期末考试高一试题数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）1.已知，，则（）A. B.C. D.2.对于实数，“”是“”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.恰好有一个白球与都是红球 B.至多有一个白球与都是红球C.至多有一个白球与都是白球 D.至多有一个白球与至多一个红球5.已知函数（且）的图象过定点，函数，则的表达式为（）A. B.C. D.6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数定义域和值域相同的是（）A.y=x B.y=lnx C.y= D.y=7.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（）A. B.C. D.8.设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选的得2分，有错误答案得0分）9.若，且是线段的一个三等分点，则点的坐标为（）A. B. C. D.10.维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量（单位：），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）猕猴桃柚子A.每克柚子维生素含量的众数为B.每克柚子维生素含量的分位数为C.每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数D.每克猕猴桃维生素含量的方差高于每克柚子维生素含量的方差11.已知，，，，，则下列结论正确的是（）A.为常数 B.的最小值为4C.的最小值为2 D.的最大值为112.已知函数，其中，下列结论正确的是（）A.存在实数，使得函数为奇函数B.存在实数，使得函数为偶函数C.当时，的单调增区间为，D.当时，若方程有三个不等实根，则第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设样本数据的均值和方差分别为和，若，，则的均值为______、方差为______.14.已知命题：“若对任意的都成立，则在上为增函数”.能说明命题为假命题的一个函数是______.15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.16.已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围______.四、解答题（本题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）已知，求的值；（2）已知，，用，表示.18.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流.”阅读会让精神世界闪光.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求；（2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率.19.已知指数函数过点，函数.（1）求，的值；（2）判断函数在上的奇偶性，并给出证明；（3）已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并解不等式.20.2021年04月17日，在“实现碳达峰、碳中和，企业何为”论坛上，中华环保联合公副主席杨朝飞表示：“环境污染实际上就是资源的浪费，不管什么污染物，原本都是资源.因为没有充分利用，排放出去，进入到水、空气、土壤中，变成了污染源.”这就要求企业主动升级.为此，某化工企业积极探索先进技术，来减少排放的废气中所含有的污染物的浓度.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物浓度为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度为，则第次改良工艺后所排放的废气中的污染物浓度可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.已知改良工艺前排放的废气中污染物浓度为的（单位：），第一次改良工艺后排放的废气中污染物浓度为（单位：）.（1）求的值并写出改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放废气中含有的污染物浓度不能超过0.08，（单位：）试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物浓度达标.（参考数据：取）21.如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为.（1）用向量，表示；（2）用向量，表示，并求出和值.22.已知幂函数在上单调递增，设函数.（1）求的值；（2）若函数的值域为，求的取值范围；（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

2021—2022学年上学期末考试高一试题数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】应用集合的并运算求即可.【详解】由题设，.故选：C.2.对于实数，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性质，当“”有“”成立，当时，由“”不能得出“”，从而得到答案.【详解】当“”,则有“”成立，当时，由“”不能得出“”所以“”是“”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查不等式的性质，充分不必要条件的判断，充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要手段．属于基础题.3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性判断的范围可得答案.【详解】,故，故选：D.4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.恰好有一个白球与都是红球 B.至多有一个白球与都是红球C.至多有一个白球与都是白球 D.至多有一个白球与至多一个红球【答案】A【解析】【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，故选项A中事件互斥不对立，A正确，选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，故选：A．5.已知函数（且）的图象过定点，函数，则的表达式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象所过定点，可以求出其中的c，得到，即可求得答案.【详解】函数（且）的图象过定点,即，所以，即，所以，故选:B.6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A.y=x B.y=lnx C.y= D.y=【答案】D【解析】【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【详解】解：函数的定义域和值域均为，函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；故选：．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．7.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可【详解】由函数（其中）的图象可得，所以，所以排除BC，因为，所以为增函数，所以排除A，故选：D8.设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可．【详解】因为，所以，则是奇函数，，因为，所以，则，则，即的值域为，①若，由，则，所以②若，由，则，所以③若，则，所以.综上所述，函数的值域为.故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选的得2分，有错误答案得0分）9.若，且是线段的一个三等分点，则点的坐标为（）A B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由题意可得或，利用坐标表示，即得解【详解】由题意，或，由于，设，则则当时，，即；时，，即；故选：BC10.维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量（单位：），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）猕猴桃柚子A.每克柚子维生素含量的众数为B.每克柚子维生素含量的分位数为C.每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数D.每克猕猴桃维生素含量的方差高于每克柚子维生素含量的方差【答案】BC【解析】【分析】利用众数的概念可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，每克柚子维生素含量的众数为，A对；对于B选项，每克柚子维生素含量的分位数为，B错；对于C选项，每克猕猴桃维生素含量的平均数为，每克柚子维生素含量的平均数为，C错；对于D选项，每克猕猴桃维生素含量的方差为，每克柚子维生素含量的方差为，D对.故选：BC.11.已知，，，，，则下列结论正确的是（）A.为常数 B.的最小值为4C.的最小值为2 D.的最大值为1【答案】AC【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值，即可判断各项的正误.【详解】由题设，，又，，故，A正确；当且仅当时等号成立，B错误，C正确；由上知：，即，D错误.故选：AC12.已知函数，其中，下列结论正确的是（）A.存在实数，使得函数为奇函数B.存在实数，使得函数为偶函数C.当时，的单调增区间为，D.当时，若方程有三个不等实根，则【答案】ACD【解析】【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数a的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围.【详解】由，显然当时有，但不存在实数使，A正确，B错误；且在处连续，当时，易知：在上递增，递减，上递增，C正确；由解析式，当时在上递增，递减，上递增，又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点，所以，又，可得，D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设样本数据的均值和方差分别为和，若，，则的均值为______、方差为______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据样本数据的平均数和方差，则样本数据的平均数为，方差为，由此即可求出结果．【详解】因为样本数据的均值和方差分别为和，且，所以的均值为，方差为．故答案为：3；16．14.已知命题：“若对任意的都成立，则在上为增函数”.能说明命题为假命题的一个函数是______.【答案】（答案不唯一，如f(x)=−x,0<x≤41,x=4【解析】【分析】利用函数的单调性和最值，举例说明即可.【详解】由题意知，，则函数图象在上先减后增，当时，函数值最小，且，满足题意，所以函数可以说明命题p为假命题.故答案为：15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.【答案】##0.25【解析】【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137、271、436共3组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，故答案为：.16.已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围______.【答案】【解析】【分析】分、两种情况讨论即可.【详解】函数是由和复合而成，当时单调递增，若函数（，且）在区间上单调递增，则在上单调递增，且在上恒成立，的对称轴为所以解得：，当时单调递减，若函数（，且）在区间上单调递增，则在上单调递减，且在区间上恒成立，的对称轴为所以解得：，综上所述：a的取值范围是，故答案为：四、解答题（本题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）已知，求的值；（2）已知，，用，表示.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和立方差公式可得答案；（2）由题可得，然后利用换底公式即得【详解】（1）∵∴，∴，∴；（2）∵，，则.18.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流.”阅读会让精神世界闪光.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求；（2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解年轻人阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率.【答案】（1）（2）74.4分钟，74分钟（3）【解析】【分析】（1）频根据分布直方图的所有矩形面积之和为1可得答案；（2）计算出中位数位于区间内，设中位数为，由得出，再计算出平均数，可估计该地年轻人阅读时间的中位数和平均数；（3）由题意得出抽取的5人中位于区间、、的人数，列出从5人中任取2人的情况和恰有1人每天阅读时间在的情况，由古典概型概率公式可得答案.【小问1详解】因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.【小问2详解】∵，，则中位数位于区间内，设中位数为，则，解得，平均数为，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟，平均数为74分钟.【小问3详解】由题意，阅读时间位于的人数为人，阅读时间位于的人数为人，阅读时间位于的人数为人，则抽取的5人中位于区间有1人，设为，位于区间有2人，设为，，位于区间有2人，设为，，则从5人中任取2人，样本空间含有10个样本点.设事件为“恰有1人每天阅读时间在”，，含有6个样本点.∴.19.已知指数函数过点，函数.（1）求，的值；（2）判断函数在上的奇偶性，并给出证明；（3）已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并解不等式.【答案】（1）；（2）为偶函数，证明见解析；（3）增区间为，减区间为；不等式解集为.【解析】【分析】（1）由指数函数过点求参数a，即可得的解析式，进而求，的值；（2）利用奇偶性定义判断的奇偶性；（3）由题设及（1）（2）结论即可判断的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解集.【小问1详解】由题设，，则，所以，.【小问2详解】，，定义域关于原点对称.又，故为偶函数；【小问3详解】由且，在上单调，所以为单调增区间，而为偶函数，则单调减区间为由可得：，即，解得.20.2021年04月17日，在“实现碳达峰、碳中和，企业何为”论坛上，中华环保联合公副主席杨朝飞表示：“环境污染实际上就是资源的浪费，不管什么污染物，原本都是资源.因为没有充分利用，排放出去，进入到水、空气、土壤中，变成了污染源.”这就要求企业主动升级.为此，某化工企业积极探索先进技术，来减少排放的废气中所含有的污染物的浓度.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物浓度为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度为，则第次改良工艺后所排放的废气中的污染物浓度可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.已知改良工艺前排放的废气中污染物浓度为的（单位：），第一次改良工艺后排放的废气中污染物浓度为（单位：）.（1）求的值并写出改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放废气中含