北京石景山达标名校2022-2023学年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0的取值范围是（）A．0≤x0≤1 B．0＜x0＜1且x0≠C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜12．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是A． B． C． D．3．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（）A．12B．1C．325．一个正方形花坛的面积为7m2，其边长为am，则a的取值范围为（）A．0＜a＜1 B．l＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜46．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，357．小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下（单位：分）：76、82、91、85、84、85，则这次数学测验成绩的众数和中位数分别为（）A．91，88 B．85，88 C．85，85 D．85，84.58．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A． B． C． D．9．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．10．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a4 C．a3•a5＝a15 D．（a3）4＝a7二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为________．12．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分別以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是__．13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积等于__________．14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．15．化简：=____．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=3，求EM的值．18．（8分）某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）19．（8分）化简：(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)20．（8分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？21．（8分）为提高城市清雪能力，某区增加了机械清雪设备，现在平均每天比原来多清雪300立方米，现在清雪4000立方米所需时间与原来清雪3000立方米所需时间相同，求现在平均每天清雪量．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．23．（12分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x＝．24．近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE=71°，CE=54cm．（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】分析：先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．详解：二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），当y=0时，x1=﹣a，x2=a+1，∴对称轴为：x==当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，由m＜n，得：0＜x0≤；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得：＜x0＜1．综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．故选D．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．2、A【解析】

由题意根据勾股定理求出OA，进而根据正弦的定义进行分析解答即可．【详解】解：由题意得，，，由勾股定理得，，．故选：A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3、B【解析】

根据一次函数的定义，可得答案．【详解】设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得x+2y=180，所以，y=﹣x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，故选B．【点睛】本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.4、B【解析】

根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.【详解】∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=12∵BC=2,∴AB=2BC=2×2=4,∵D是AB的中点,∴CD=12AB=12∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF是△ACD的中位线.∴EF=12CD=12故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.5、C【解析】

先根据正方形的面积公式求边长，再根据无理数的估算方法求取值范围.【详解】解：∵一个正方形花坛的面积为，其边长为，则a的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题重点考查学生对无理数的理解，会估算无理数的大小是解题的关键.6、C【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C．7、D【解析】试题分析：根据众数的定义：出现次数最多的数，中位数定义：把所有的数从小到大排列，位置处于中间的数，即可得到答案．众数出现次数最多的数，85出现了2次，次数最多，所以众数是：85，把所有的数从小到大排列：76，82，84，85，85，91，位置处于中间的数是：84，85，因此中位数是：（85+84）÷2=84.5，故选D．考点：众数，中位数点评：此题主要考查了众数与中位数的意义，关键是正确把握两种数的定义，即可解决问题8、B【解析】

由题意可知，当时，；当时，；当时，.∵时，；时，.∴结合函数解析式，可知选项B正确.【点睛】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．9、D【解析】∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，∴a+b不一定大于0，故A错误，a−b<0，故B错误，ab<0，故C错误，<0，故D正确．故选D.10、B【解析】

根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方依次计算即可得到答案.【详解】A、a3+a3＝2a3，故A错误；B、a6÷a2＝a4，故B正确；C、a3•a5＝a8，故C错误；D、（a3）4＝a12，故D错误．故选：B．【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的计算方法是解题的关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解析】

作出D关于AB的对称点D’，则PC+PD的最小值就是CD’的长度，在△COD'中根据边角关系即可求解.【详解】解：如图：作出D关于AB的对称点D’，连接OC，OD'，CD'.又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧BC的中点，即，∴∠BAD'=∠CAB=15°.∴∠CAD'=45°.∴∠COD'=90°.则△COD'是等腰直角三角形.∵OC=OD'=AB=1，故答案为：.【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键.12、．【解析】

作DH⊥AE于H,根据勾股定理求出AB,根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积，利用扇形面积公式计算即可.【详解】解：如图作DH⊥AE于H,AOB=,OA=2,OB=1,AB=，由旋转的性质可知OE=OB=1,DE=EF=AB=,可得△DHE≌△BOA,DH=OB=1,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积＝＝，故答案：．【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，正确表示出阴影部分的面积是计算的关键．13、【解析】解：它的侧面展开图的面积=•1π•4×6=14π（cm1）．故答案为14πcm1．点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14、40°．【解析】

∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为40°．15、【解析】

先利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．【详解】原式，

故答案为【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．16、115°【解析】

根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连接OC，如右图所示，

由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，

∴∠COB=50°，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC=65°，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠D+∠ABC=180°，

∴∠D=115°，

故答案为：115°．【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G==，∵AH=，∴HC=，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣，HC=，∴，∴r=，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴EM=．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．18、不满足安全要求,理由见解析．【解析】

在Rt△ABC中，由∠ACB=90°，AC=15m，∠ABC=45°可求得BC=15m；在Rt△EGD中，由∠EGD=90°，EG=15m，∠EFG=37°，可解得GF=20m；通过已知条件可证得四边形EACG是矩形，从而可得GC=AE=2m；这样可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5，由此可知：“设计方案不满足安全要求”.【详解】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°，∴BC==15m．在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°，∴GF=≈=20m．∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AC，∴四边形EGCA是矩形，∴GC=EA=2m，∴DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5.∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．19、2x－40.【解析】

原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可.【详解】解：原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40.【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20、（1）答案见解析；（2）【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A书法、B阅读；A书法、C足球；A书法、D器乐；B阅读，C足球；B阅读，D器乐；C足球，D器乐.共有6种等可能的结果数；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21、现在平均每天清雪量为1立方米．【解析】分析：设现在平均每天清雪量为x立方米，根据等量关系“现在清雪4000立方米所需时间与原来清雪3000立方米所需时间相同”列分式方程求解.详解：设现在平均每天清雪量为x立方米，由题意，得解得x=1．经检验x=1是原方程的解，并符合题意．答：现在平均每天清雪量为1立方米．点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，注意解分式方程的时候要进行检验.22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）910【解析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=12（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．（1）证明：连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=12∴∠A=