专题01直线的倾斜角、斜率和方程解析版

专题01直线的倾斜角、斜率和直线方题型一直线的倾斜角与斜例题1经过点P1,3、Q4,0两点的直线l的倾斜角为 【答案】因直线l过点P1,3、Q4,0，则直线l的斜率k30 1 l的倾斜角为满足

180，显然90，则有tan ，解得，3，.所以直线l的倾斜角为.2

3mx12my20的倾斜角为2，则m 3 3 【答案】l2，所以斜率ktan23 所以3m2m

3m1343例题3已知动直线l:xmy20的倾斜角的取值范围是,，则实数m43

3,

3

1,3 【答案】根据倾斜角与斜率的关系可得11m

由题设知：直线斜率范围为(1,3，即11m

3，可得1m33xlx轴(正方向)按逆时针方向绕着交ll的倾斜角．lx0，倾斜角的范围是[0，π)．π经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 题型二直线的 A．3x2y3 B．2xy2C．2xy1 D．2xy2【答案】根据BC所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果因为B2,1C02，故可得BC2110 BC边上的高所在直线的斜率k2A10，y2x12xy20.例题2过两点A(0,3)，B(2,0)的截距式方程为

y

B．xy

C．xy

D．xy 【答案】A(03B(2,0x轴，y轴上的截距分别为－2，3xy1 Ax，yAxByC0（A，B0）B．当C0AxByC0（A，B0）CA0B0C0AxByC0x【答案】A；将C0代入方程即可验证直线是否过原点，进而判断B；A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当90k存在，其方程ykxb，它可变形为kxyb0AxByC0AkB1Cb；当90xx1AxByC0A1B0Cx1A，B0B，当C0AxByC0（A，B0）AxBy0A0B00，即直线过原点00CA0B0C0AxByC0yC0BDx1，显然它不能表示为点斜式，故错误．例题4过点P1,2引直线，使A2,3，B4,5到它的距离相等，则这条直线的方程是 A．4xy6 B．x4y6C．2x3y70或x4y6 D．3x2y70或4xy6【答案】设所求的直线为l，则直线lAB或直线lAB的中点，分情况讨论即可求解设所求的直线为l，则直线lAB或直线lAB因为A2,3B45，所以

5344所以过点P12ABy24x1即4xy60，A2,3B45AB的中点为31，所以过点P12与线段AB的中点为31的直线的方程为y212x13即3x2y703x2y70或4xy60，x y2－y＝ kα

yx题型一直线的倾斜角与斜已知直线l的斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角 k＝3k＝－360°Am22m23B3mm22ml的倾斜角为，若03, 4 【答案】(2)4 m23

则km223mm2tan，因为04

4, m23所以1k1m22m31

1m223mm22m2m即m22m

解得m4或m23 12m2m

过两点A(3mm2，2m)、B(m23m2)的直线的倾斜角为135，则实数m的值 【答案】

2m33mm2m2

1依题意可得，直线的斜率为1，且3mm2m232m3即3mm2m2

1，整理

m22m32m2m

1可求得m2或m经检验m1不合题意，故m2

m

31,3AB3 【答案】05, AB的斜率km1m13m

31,33 m1 3, k的取值范围为

3,3 即tan3

3 ∴0,5, 05, 题型二直线的设直线l的方程为(a1)xy1a0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l ．【答案】2xy0xy1整理直线l的方程为a(x1xy10，列出方程组，求出直线过点(12)00两种情况，得到直线l的方程直线l的方程为(a1)xy1a0，即a(x1xy10，x10x1y2，可得该直线l经过定点(12)由于直线l在两坐标轴上的截距相等，若直线ly2x，即2xy0．若直线lxyc0，再把点(12)代入，求得c1，故直线lxy10综上可得，直线l的方程为2xy0xy10．2xy0xy10将直线y3(x2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式 3【答案】y3x33根据题意直线旋转后的倾斜角为120°，斜率为 ，且过点(2,0)，写出直线方程化简可得到结果3y3(x23 ，且过点(2,0)3y0

3(x2，即y

3x23故答案为y3x23已知直线k1x12ky30kR恒过定点AA在直线xy1m0n0上，则2mn 最小值 【答案】A为(2,1211，根据目标式结合基本不等式“1” k1x12ky3k(x2yxy30x2y2时，方程恒成立，故直线恒过定点(2,1 211，则2mn2mn2152n2m

9，当且仅当mn3 2mn的最小值为9

xy40或3xy60(写出其中一个即可由题意，设直线的截距式方程并代入C(1,3，分离常数后结合a、b解：A(a0)B(0,bxy 又C(1,3131，整理得a

b

1

b3又abb4当b4a4；当b6a2xy1xy1xy40或3xy60 故答案为xy40或3xy60若三点A3,1，B2,b，C8,11在同一条直线上，则实数b 【答案】由题意可得kABkAC，列方程可求出由题意可知A3,1B2,bC8,11三点所在的直线的斜率存在所以

AB

b-111-1，解得b2- 8-直线y3x1的倾斜角的大小 33由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan 3设直线的倾斜角为3由直线l的方程为：y3x1可得tan 3又0,所以33若直线l的倾斜角的范围为, 2,，则该直线的斜率的取值范围 42 【答案】

3,

由直线的斜率公式ktan(2解：由直线l的倾斜角的变化范围, 2,42 结合直线的斜率公式ktan(2可得k的范围是

3,01,

3,01,直线l:2m1xm1y3m2mR经过的定点坐标 【答案】2xy3将直线方程化简为xy2m2xy30，进而令x2xy3lxy2m2xy30令xy20x1l总过定点1,12xy3 y直线ymx21过定 【答案】ymx21x20x2,yymx21过定点2,1，2,1.不论m为何值，直线3m3x52mym60都恒过一定点，则此定点的坐标 1【答案】(3,1化简直线方程为3x5y6m(3x2y1)0，联立方程组3x5y60，即可求解3x2y1由题意，直线3m3x52mym60，可化为3x5y6m(3x2y1)0，联立方程组3x5y60x1y3x2y1 1所以不论m为何值，直线过定点(3,111(3,1直线xtany20的倾斜角 323xtany20，得3xy20.∴直线的斜率k3，设其倾斜角为03tan3，∴23

23 x3y120x3y12x

1，再根据面积求得a的值，即可得到答案x

1|a|424a122x3y120x3y120，x3y120x3y120一条光线沿直线3x4y50入射到x轴后反射，则反射光线所在的直线方程 【答案】3x4y5根据题意分析出反射光线过直线3x4y50x轴的交点，且倾斜角与直线3x4y50的倾斜角互解：由题可知，直线3x4y50xy0x5，所以直线3x4y50x轴的交点为3

5,0)3又直线3x4y5

4

，所以反射光线所在直线的斜率为34y3(x5，即3x4y50 故答案为：3x4y50. ①经过定点Px0y0yy0kxx0②经过任意两点P1x1y1P2x2y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1表示③xy1 ④经过定点0bykxb【答案】①由于直线过定点Px0y0yy0kxx0表示，xx0，①不正确；yy1x2x1xx1y2y1，xx时，经过任意两个不同的点PxyPxyy2y1 1

x2yyy2y1xx，整理得yyx

xxxy

x

③xxxy1 xy1表示，③ ④当直线斜率不存在时，经过点0bx0ykxb表示，当直线的斜率存在时，经过点0bykxb表示，④不正确，41个. 【答案】yk(x-2)3x轴，yA230B032k 12kkSAOB22k32k2 kk＞0SAOB2当且仅当k=3时取等号2

k212k，kS△AOB＝m＞0k＞0时，kk212k当k＜0时，SAOB2 当且仅当k3时取等号20＜m＜12时，仅有两条直线使△AOBm；m＝12时，仅有三条直线使△AOBm；已知直线2m1x1my31m0m1,1与两坐标轴分别交于AB两点．当OAB的 积取最小值时（O为坐标原点），则m的值 【答案】5A(3(1m0B(03(1m)OAB的面积S关于m2m 1合分式及二次函数的性质，判断面积取最小的m值A(3(1m0B(03(1m)2m 113(1m)3(1 (1∴当△OAB的面积S 2m 1 22m2m t 令1mt13，则S22t25t22

1 92∴当t4，即m1S

t

)2 故答案为5方程(a1)xy2a10(aR)所表示的直线恒过 定点 B．定点(2,C．点(2,3)和点(2, D．点(2,3)和点(3,【答案】x2把方程化为xy1a(x2)0，列出方程组xyx2由题意，方程(a1)xy2a10(aR)，可化为xy1a(x2)0xy1又由x2

，解得x2y3所以方程(a1)xy2a10所表示的直线恒过点(2,3如图，设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则k1,k2,k3的大小关系为 k1k2

k1k3

k2k1

k3k2【答案】ktan(90当090时，斜率是非负数，倾斜角越大，斜率越大；当90180时，斜率是负数，倾斜角越大，斜率也越大.通过图形判断可得三条直线的倾斜角均在[0,90范围内，又根据“当090时，直线的倾斜角越大，斜率越大”k1k2k3已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan；②直线的斜率为tan，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则sin0.上述命题中不正确的是（ 【答案】①，90时，直线的斜率不存在，①错误②tan225tan18045tan451，直线的倾斜角为45，不是225，②错误③，当0sin0，③错误 已知直线的倾斜角的范围是,3，则此直线的斜率k的取值范围是 4 B．1,C．1,

D．,11,【答案】当直线的倾斜角时，直线的斜率ktan，因32则当[tan1，即k4

41，当(3tan1，即k1 所以直线的斜率k的取值范围是11(1)A1,2，B1,3，C0,4(2)D2,2，E2,0，F0,1解：因为

231

1，

242，所以1

ABkAC解：因为

2

1，

2

1，所以

2

2

D，E，F三点在同一条直线上.A4,3，斜率是k过点C12，且与y轴平行过点D2,1E34y4xxy15x由题意，知直线的斜率ktan1351，y4x1．1x3因为直线经过点D2,1E34，所以斜率k413y15x2已知三条直线l1l2l3的斜率分别为k1k2k3，倾斜角分别为，且k1k2k3，探索其倾斜角的大小关系．ytanx在[0,x(0ytanx0x(,ytanx0 ktan,[0, ytanx在[0, x(0ytanx0x(,ytanx （1）当0kkk时，有[0 ytanx在[0,π单调递增，有2（2）当kkk0时，有, ytanx在(,单调递增，有2[0,（3）当k0kk，有(,)，，[0, ytanx在[0,π单调递增，有2( [0,（4）当kk0k，有,)，( [0, ytanx在(,单调递增，有2经过点（0，2），3【答案】(1)3xy23xy3xy3由题知直线的斜率为k

3，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可根据斜率公式得直线斜率为k3xy1，进而待定系数求解，并化为一般式方程即可 解：因为直线经过点0,2，且倾斜角为3所以直线的斜率为ktan33y3x2所以直线的一般方程为3xy2解：因为直线经过点2,3和点1,0所以直线斜率为k

32

y3x1所以直线的一般式方程为3xy3xy 因为直线过点2,1 所以 1，解得a xy3kl的方程为2xk3y2k60k3kl的斜率为1【答案】l的方程为2xk3y2k60k3l的斜率为

2k3于是得

k

1，解得k5k5.l的方程为2xk3y2k60k3x0y2y0xk3，于是得(k321，解得k2，k A(2，1)，B(m3)α的范围是3m 4【答案】[0AB的斜率不存在或斜率不大于11 α的范围是3kk≤－1k 4m＝2k＝31＝

≥1

≤－12<m≤4m m

m

mm的取值范围是[0，4]．过点32，斜率为33过点30，与x轴垂直斜率为4，在y轴上的截距为斜率为3，在x轴上的截距为2过点1,842过点200【答案】(1)3x3y3360x304xy703xy602xy603x2y60因为直线过点32，斜率为33y2

3(x3)3

3x3y3360因为直线过点30x轴垂直，x3x30；因为直线的斜率为4y7，y4x74xy70；3y3xbx轴上的截距为