高数上-d3-5函数的极值与最值

1其中：介于与之间1.按的幂展开的n阶泰勒公式.2.麦克劳林公式请记住以下两个公式：21.函数单调性判别2.曲线凹凸的判别定理2：3.拐点的定义:注：拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.温故知新在I

上单调递增在I

上单调递减定理1：3①求的连续区间，②求③求导数等于零的点和不可导点，④用以上的点分割定义区间,列表判断.4.求的单调区间(判断单调性)的步骤:化为积商，单调性的应用有:(1)可以确定某些方程实根的个数.(2)证明不等式.求函数的连续区间；求出求的根及不存在的根；列表判断5.求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：凹凸性的应用有:(1)证明不等式,(2)求拐点.4说明1:说明2:说明3:求函数的连续区间；求出求的根及不存在的根；列表判断说明4：求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：5证：求拐点方法2:P154T15求拐点方法1:6例解：★曲线的弯曲方向——凹凸性;★改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.求拐点7二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值

第三章8定义:(1)(2)极大点与极小点统称为极值点.问：极值点是连续点吗？一、函数的极值及其求法xyo.。极大值与极小值统称为极值.9注意：极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：最值：是对某个点的邻域而言、可以不是唯一的.③极大值不一定都大于极小值.如何求极值？观察图形知：可导函数极值点的导数是零.是整体的、唯一的.是局部的、相对的、②最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的内点处取得.10定理1(必要条件)(费马定理)取得极值注意：1)可导函数的极值点驻点如：即：｛可导函数的极值点｝｛驻点｝2)在点连续但不可导，也可能是极值点.如：却是极小值点.也不是极值点.3)极值点的可疑点：（在定义域内部的）驻点,不可导点.即：｛极值点｝｛驻点,不可导点｝问：如何能快速的说明一个函数有没有极值？xyo11定理2

(第一充分条件，极值第一判别法)内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(3)“左右符号相同”,左正右负极大左负右正极小左右同号无极值12说明：1)定理中的条件若不连续,即使变号，也未必是极值点.2)该定理适用于是驻点或不可导的连续点.xyo.。很重要，3)求极值的步骤:(1)求定义区间，求导数(2)求驻点以及不可导的点；(3)检查在驻点及不可导点左右的符号，判断出极值点；（最好列表）(4)求极值.13解：例1.求函数的极值.极大值不可导故极大值为：极小值为：极小值14例2.

求函数的极值.解:1)2)令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为无导数不存在的点15定理3(极值第二判别法)二阶导数,且证：同理可证(2).由第一判别法知：注意：1.第二充分条件适用于:驻点应用第一判别法判别.16例3.

求函数解:1)2)令得3)计算是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为17例4.

求函数解:1)求定义域及导数2)求驻点令得驻点3)判别故需用第一判别法判别.18试问为何值时,极值？解:

由题意应有又取得极大值为例5.并求此极值.它是极大值还是极小值？练习：提示：P163T319观察：端点的函数值；驻点的函数值；不可导点的函数值.来自于二、闭区间上连续函数的最值的求法★(2)20例1.

求函数解:1)求导数2)求极值可疑点不可导点3)计算是最大点，其最大值为是最小点，其最小值为21例2.

求函数解:

显然且故函数在取最小值0;取最大值20.不可导点为说明:与最值点相同,因此也由于令可通过求最值点.思考：22结论：思考：23★特别:

当大(小)值就是最大(小)值.常用于解决实际问题

求

如果在区间内可导且只有一个极值点,则这个极xyoabxyabo

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.24例1.

某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？解：设房租为每月每月总收入为租出去的房子有（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为三、应用举例25实际问题求最值的步骤:(1)建立目标函数;(2)求最值;注：对于实际问题，大(小)值一定存在，那么可以不必讨论是否为极值,就可断定该点就是若在一定区间内有唯一驻点,且知最而且一定在定义区间内部取得，最大(小)值点.26例2.解：如图,27例3.求数列的最大项.证:求导得列表判别:因此在处也取最大值.又因内只有唯一的极大点P183T1428内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点x.(2)第一充分条件(3)第二充分条件292.连续函数的最值★(2)★特别:

当大(小)值就是最大(小)值.常用于解决实际问题

求

如果在区间内可导且只有一个极值点,则这