人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数PPT教学课件

第26章：反比例函数人教版·九年级下册26.1.1反比例函数

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下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，写出它们的解析式．（1）京沪线铁路全长1

463

km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；

新课讲解

（2）某住宅小区要种植一个面积为1

000矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化；（3）已知北京市的总面积为，人均占有面积S（单位：/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．

新课讲解上述问题中的函数关系式有什么共同特点？上述问题中的函数关系式都有

的形式，其中k是非零常数．归纳：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．

新课讲解注意：在

中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以x的取值范围是x≠0．在上面的三个问题中，两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键．

新课讲解【例】已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值．分析：（1）由题意，可设，把x=2，y=6代入即可求得k，进而求得y关于x的函数关系式；（2）在（1）所求得的函数关系式中，把x=4代入即可求得y的值．

新课讲解解：（1）设y关于x的函数解析式为．因为x=2，y=6，所以有．解得k=12．因此．（2）把x=4代入，得．

新课讲解写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数．（1）平行四边形的面积是24，它的一边长x

cm和这边上的高h

cm之间的关系是

；（2）小明用10元钱去买同一种菜，买这种菜的数量m

kg与单价n元/kg之间的关系是

_；（3）老李家一块地收粮食1

000kg，这块地的亩数S与亩产量tkg/亩之间的关系是

；反比例函数mn=10St=1

000xh=24反比例函数反比例函数

巩固练习（4）刘飞骑自行车行驶了100千米的路程，他行驶的时间t小时和速度v千米/时之间的关系是

；（5）某小区的绿地总面积是400，该小区的人口数y和人均绿地面积x之间的关系是

．vt=100xy=400反比例函数反比例函数

巩固练习

1．反比例函数的概念一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．

2．两个量的乘积是一个定值，是识别两个量成反比例关系的一个重要特征．课堂小结

3．知识应用（1）识别两个量是否成反比例关系；（2）识别两个变量构成的关系式是否成反比例函数式；（3）能够确定反比例函数关系式．课堂小结第26章：反比例函数人教版·九年级下册26.1.2反比例函数的图像和性质（1）问题1一次函数y=2x-3的图象是什么？它经过哪些象限？你能画出它的图象吗？说一说一次函数y=2x-3具有什么性质？答：一次函数y=2x-3的图象是一条直线；它经过第一、三、四象限；过点（0，-3）、（2，1）作直线，所得直线就是一次函数y=2x-3的图象；函数y随x的增大而增大……上节课我们学习了反比例函数，你知道反比例函数的图象是什么吗？这节课我们就一起来探讨反比例函数的图象和性质．问题2猜一猜反比例函数的图象经过哪些象限？答：从比例系数k=6=xy，得x，y同号且不为零，说明该函数图象经过第一、三象限，且该函数图象与坐标轴没有交点．

从上图可以看出，只描出三五个点不能看出函数图象的形状．追问1我们描出三五个点能看出图象是什么形状吗？x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66（1，6）（2，3）（3，2）追问2在（1，6）与（2，3）两点之间的点如（1.5，4）在什么位置？这三点共线吗？点（1.5，4）的位置比点（1，6）低，比点（2，3）高，这三点不共线．x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66（1，6）（2，3）（3，2）（1.5，4）x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66追问3如何将这些点连接起来？

用平滑的曲线“从左到右”将同一象限内的点连接起来，得到两条曲线．最后得出反比例函数的图象是双曲线．反比例函数，也可称为双曲线．问题3你能画出下列反比例函数的图象吗？（1）；（2）；

（3）．要求：尽量取整数点和关于原点对称的几对点，并将这4个函数画在同一个坐标系中．x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66问题4将双曲线沿直线y=x对折，你发现了什么？将双曲线沿直线y=-x对折，你发现了什么？x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66问题4将双曲线沿直线y=x对折，你发现了什么？将双曲线沿直线y=-x对折，你发现了什么？发现：双曲线沿直线y=x对折后互相重合，双曲线沿直线y=-x对折后也互相重合结论：双曲线是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是直线y=x和直线y=-x．问题5点（1，6）和点（6，1）的位置有什么关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？点（1，6）和点（-1，-6）具有什么位置关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？答：点（1，6）和点（6，1）关于直线y=x对称，还能找出很多类似的对应点；点（1，6）和点（-6，-1）关于直线y=-x对称，还能找出很多类似的对应点．x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66问题6点（1，6）和点（-1，-6）有什么位置关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？答：这两点关于原点对称，像这样的对应点还有很多，这说明双曲线关于原点对称，即双曲线是中心对称图形．x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66问题7从左向右观察双曲线上的点（1，6）、（2，3）、（3，2），横坐标在怎样变化？纵坐标又是怎样变化的？从左向右观察双曲线上的点（-3，-2）、（-2，-3）、（1，6），横坐标在怎样变化？纵坐标又是怎样变化的？横坐标在增大，而纵坐标在减小（y值随x值的增大而减小）；横坐标在增大，而纵坐标先减小后增大．（看图象）x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66问题8对于反比例函数，（1）当k＞0时，图象的双支分别位于哪些象限？y值随x值的变化怎样变化？（2）又若k＜0呢？

x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66（1）当k＞0时，x，y同号，所以双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y值随x值的增大而减小；x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66（2）当k＜0时，x，y异号，所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y值随x值的增大而增大．例

已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，求正整数m的值．解：因为反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，所以3-2m＞0．解得．所以正整数m的值是1．一次函数y=x+m(m≠0)与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）．BxyxyxyxyBACDOOOO

1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．第26章：反比例函数人教版·九年级下册26.1.2反比例函数的图像和性质（2）问题1下列反比例函数：①；②；③

；④．（1）图象位于第一、第三象限的是_________；（2）图象位于第二、第四象限的是_________．在回答这个问题之前，我们首先来看下面几个问题：

导入新课答案：（1）k值分别是①-2；②；③；④．（1）上述四个函数中，k值分别是多少？（2）当k＞0时，反比例函数的图象分别位于第几象限？（3）当k＜0时，反比例函数的图象分别位于第几象限？（2）第一、第三象限．（3）第二、第四象限．前面两个问题的答案是：（1）②④；（2）①③．

导入新课问题2在反比例函数：①；②；③；④的图象上，（x1，y1），（x2，y2）是其图象上同一象限内的点．（1）若x1＜x2，则y1＜y2的函数是________；（2）若x1＜x2，则y1＞y2的函数是________．在回答这个问题之前，我们首先来看下面几个问题：

新课讲解（1）反比例函数，的图象位于哪几个象限？y随x的变化趋势是什么？（2）反比例函数，的图象位于哪几个象限？y随x的变化趋势是什么？

新课讲解答案：（1）位于第二、第四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大．（2）位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小．

最后得出前面两个问题的答案是：（1）①③；（2）②④．

新课讲解x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66问题3（1）在双曲线上取点（4，1.5），过该点分别作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积是多少？

新课讲解x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O–66y–66问题3（2）在双曲线上取点（-3，-2），过该点分别作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积是多少？

新课讲解问题3（3）若点P（a，b）在双曲线

上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积是多少？（3）所得矩形的面积，即所得矩形的面积等于比例系数k的绝对值．

新课讲解例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？我们首先来看下面几个问题：

新课讲解（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在图象上的含义是什么？

新课讲解解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A（2，6）在这个函数的图象上，所以点A的坐标满足，即．解得k=12．

新课讲解所以这个反比例函数的解析式为．把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．

新课讲解（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？xy例2如下图，它是反比例函数的图象的一支，根据图象，回答下列问题：（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1），和点B（x2，y2）．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？

新课讲解我们首先来看下面几个问题：（1）函数图象的一支位于哪个象限？（2）函数图象所在象限与解析式中哪个量有关？（3）函数解析式中的系数由哪个式子表示？（4）在系数范围确定的情况下，在图象的某一支上，y如何随x的大小变化？

新课讲解解：（1）反比例函数的图象的分布只有两种可能，即位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．因为这个函数的图象的一支在第一象限，所以另一支必位于第三象限．因为该函数的图象位于第一、第三象限，所以m-5＞0．解得m＞5．

新课讲解（2）因为m-5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＞y2．

新课讲解例3过反比例函数的图象上任意两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，AC与OB的交点为E，

△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1，S2，比较它们的大小可得（

）．A．S1＞S2B．S1＜S2

C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定

新课讲解解析：因为S△AOC=S△BOD，而S△AOC=S△AOE+S△EOC，S△BOD=S△EOC+S梯形ECDB，所以S△AOE=S梯形ECDB．答案：C．

新课讲解

1．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．y2＜y1＜y3

2．如图，点A为反比例函数的图象上一点，AB⊥x轴，S△ABO=2，则此反比例函数的解析式为________．xyABO

巩固练习xyPO反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义．（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．课堂小结注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．xyAPO课堂小结第26章：反比例函数人教版·九年级下册26.2实际问题与反比例函数问题1某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如下图所示．VpO12350100150200A(1.5，64)

导入新课（1）观察图象经过已知点_________；（2）写出这个函数的解析式；（3）当气球的体积是0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？（1.5，64）120

kPa．

导入新课例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？

新课讲解（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？

新课讲解解：（1）根据圆柱的体积公式，得．所以S关于d的函数解析式为．（2）把S=500代入，得，解得d=20(m)．如果把储存室的底面积定为500m2，施工时应向地下掘进20m深．

新课讲解（3）根据题意，把d=15代入，得，解得．当储存室的深度为15m时，底面积应改为．

新课讲解有200个工件需要一天内加工完成，设当工作效率为每人每天加工p个工件时，需要q个工人．（1）求出q关于p的函数关系式．（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人数减少百分之几？提示：（1）(p＞0)；

新课讲解（2）每人每天的工作效率变成(1+20%)p，代入得到此时的工人数是．则工人数减少×100%≈17%．

新课讲解例2码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？

新课讲解分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式．

新课讲解解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为．（2）把t=5代入，得v==48(吨)．从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，那么平均每天卸载48吨．

新课讲解对于函数，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．

新课讲解某蓄水池的排水管道每小时排水8m3，6h可以将满池的水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Qm3，将满池的水全部排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式．

新课讲解（3）如果准备在5h内将满池的水全部排空，那么每小时排水量至少是多少？（4）已知排水管的最大排水量为12m3/h，那么最少多长时间能把满池的水全部排空？答案：（1）48m3；（2）Q=(t＞0)；（3）当t=5时，Q==9.6m3；（4）当Q=12时，t=4h．

新课讲解公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．给我一个支点，我可以撬动地球！——阿基米德

新课讲解后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．支点阻力动力阻力臂动力臂

新课讲解例3小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m．（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？

新课讲解解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5，所以F关于l的函数解析式为．当l=1.5m时，．对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400N的力．

新课讲解（2）对于函数，F随l的增大而减小．因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．当时，由得，3-1.5=1.5(m)．对于函数，当l＞0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m．

新课讲解某空调厂的装配车间计划组装9000台空调．（1）从空调厂组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？

新课讲解答案：（1）m=(t＞0)；（2）180．

新课讲解电学知识告诉我们，用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位：Ω）有如下关系：PR=U2．这个关系也可写为或．

新课讲解例4一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω．已知电压为