考研-自动控制原理

1、本课程是自动化专业承上1、本课程是自动化专业承上启下的课 2、自动控制技术是应用非常电机控制、自动化生产线、火控制、家用电器、机械、冶金、石油、化工、电力电子、航空、航海、航天、核反应堆等。3、自动控制理论能为解决实际控制问题提供理论4、学本课程与其它课程的关系自动控制理各类 理论课75学时，每周5实验课8学平时成绩(含实验)约占20-期末考试成绩约占80-70 高国燊（shen）.主编.自动控制原理.华 .200311高等数学（微积分）、积分变换（拉氏变换1高等数学（微积分）、积分变换（拉氏变换234方法、线性离散系统的分析与校正、非线性控制重点掌握：控制系统的数学建模性系统的时classicalcontroltheory现代控制理论moderncontroltheory被控对象controlledobjectivecontrol控制系统control自动控制理论是自动化学科的重要理论基础，专门研究有关自动控制系统中的基本概念、基本原理和基本方法:JamesJamesWatt为控制蒸汽机速度设计的离心自动控制领域的第一项重大成果。E.J.Routh提出了有关线性系统稳定性的Nyquist研制出电子管振荡器同时提出了著定性判据；此后Bode总结出了负反馈放大Hezen提出了用于位置控制系统的伺服机构调1884年 名以以上为经典控制动调节器与反馈动调节器与反馈放大器作了总结，提出了反二论了可以精期间，MIT伺服机构试验室变化的输入信号的机电伺的数学基21956年，19571960年科学家学者Bellman提出动态规划极大值原理的Kalman提出了Kalman滤波理论和空间分析方法他们的工作对现代控制理论的古典控制现代控制 经典控制理论与现代控制 （单输入、单输出（多输入、多输出（输入、输出描述（状态空间描述11自动控制技术及其应23控制器反馈把取出输出量送回到输入端，并与输入信号相比较产生偏差信负反馈若反馈的信号是与输入信号相减，使产生的偏差越来越小；闭环控制抽象成控制系实际液面高液面（人工）反馈控制系统的框 的动作——用手。3反馈控制原理3反馈控制原理(feedbackcontrol（人工）44.4.反馈控反馈控制系统是由各种结构不同的元部件组成的。从完成”两部分，而控制装置是由具有一定职能的各种基本元件以液位自动反馈控制系统fdbakonolysm为例说方框（块）中的符元部信号（物理量）及传递方比较引出表示负反明明. 能产生一个相应的控制作用去减小或消除这个偏差，使被控量与期望值趋于一致。反馈控制系统，具有抑制内、外扰动产生一个相应的控制作用去减小或消除这个偏差，使被控量与期望值趋于一致。反馈控制系统，具有抑制内、外扰动反馈(闭环)控制：指控制器与控制对象之间既有顺向作用又有反向联系的控制过程。反馈控制方式是按偏差一个输入量，就有一个输出量与之相对应，控制精度完全取决于所用元件及校准的精度。没有自动修正偏差的能力，抗扰动性较差。但其结简单、成本低，适用于在精度要求不高或扰动影响较小的场合。一个输入量，就有一个输出量与之相对应，控制精度完全取决于所用元件及校准的精度。没有自动修正偏差的能力，抗扰动性较差。但其结简单、成本低，适用于在精度要求不高或扰动影响较小的场合。系统没 1.飞机-自动驾驶仪系统称为飞机-6这类系统可以用线性微分这类系统可以用线性微分方程式描述,其一般形式ddd0()()01n01m是;n01m称为.3.非线性控制系方程来描述其严格地说,实际的控制系统都是非线性系统.但对于非线性程不太严重的元部件,可采用在一定范围内线性化的方法,从而 或调节器）；2）程序控制系统；3）随动系统值值控制系输入信号是恒定常值，被控量也是一个与之对应的常值，。动输入信号是时间的任意函数，其变化规律事先不知道。系。⑶程序控制系这类控制系统的输入信号是按预定规律随时间变化的函数,要求被控量迅速、准确地加以复现.机械加工使用的数字程序控2.线性定常离散系 字信号因此 式中m≤nn为差分方程的次数,a0,a1,…,an；b0,b1,…,bm为常系工业计算机控制系统就是典型的离散系统，如前述的温微机控制系统等1-41-4对自动控制系统的基本要1基本要求的提 殊要求但在已知系统的结构和参数 出的共同基本要求都是一样的，即稳定性、快速性和准确性⑴稳定 渐减小或趋于零不稳定系统输出量的过渡过程随时间而增长722典型外作(1)阶跃函数阶跃函数的数学表达式f(t)tt控制系统不仅要稳定须对其过渡过程的形式和快慢提出要求般称为动态性能中包括过渡过程时间性和最大振 调量如对于稳定的高射射角随动系统，虽身最终能目标，但若目标变动迅速，而身目标所需过渡过程时间过长，就不可能理想情况下渡过程结束后量达到的稳态平衡状态与期望值一致际上由于系统结构、外作用 期望值之间会有误差存在稳态误差是衡量控制系统控制精度的重要标技术指标中一般都有具体要求(2)(2)斜坡函数斜坡函数的数学表达式(4(4正弦函数数学表达1-5自动控制课程的主要任务和学习方1系统校正和设计：指已知对系统的各种性能要求，如何根据已知的实际情况，合理地确定控制装置的结构和参数82.2. 自动控制系统可以是开环控制、闭环控制和复合控制。最基本的控制方式是闭环控制，也称反馈控制，它的基本原理是利用偏差，纠正偏差。整个自动控制理论课的主要任务为系统分析和系统校正及课后习题1-4，1-5；1-9建立控制系统数学模型的方建立控制系统数学模型的方法有：物理规律、化学规律。实际上，只有极少部分系统的数学模型可用机理建模法建立，系统的数学模型需要通过实验辨识的方法求前控制系统的数学模型是描述系统变量之间关系数学建模：从实际系统中抽象出系统数学模型的过程建模目的：深入了解元件及系统的动态特性，定物理模型：任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。前元件和系统微分方程的建非线性微分方程的线性 斯变换法求解微分方传递函数的概结构图、信号流图及梅森增益公闭环系统的传递函小2-12-11 感L电容C组成的无源网络,uo(t)ui(t为输入量,以 为输出量的网络微分方程 Ri(t) i(t)dtuu(t) 1C消去中间变量i(t),d2uodt uo(t)uiduo例2-2试列图2.2所示电枢控制直ua(t)为输入量，电动机转速1①电枢回路电压平衡方①电枢回路电压平衡方u(t)Ri(t)di式中Ea(V)是电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的电势,其小与激磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压ua(t)相反,ECm(tC(Vrads是反电势系数②电磁转矩方M(t)Ci式中CNmA是电动机转矩系数,M(tNM)是电枢电流③电动Jdf(t)M(t)M式中fNmrads是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数J(kgms是电动机和负载折合到电动机轴的转动惯量由式(2-2)~式(2-4）消去中间变量ia(tEaMm(t便得到以m(t)为输出量,以ua(t)为输入量的直流电机微分方程LaddCu(t)LdM(t)RM(LafmRaJm (RafmCmCe)工程中电枢电路电感La较小,常忽略不计,因而上式可简化Td(t)Ku(t)KM)),如果Ra和Jm都很小而忽略不计时,式(2-6)还可进一步简化Cm(t)u 这时,m(t)与ua(t)成正比,于是,电动机可作为测速发电机使用F(t)质量m上受力情况如图示。K F(t)1式中F(t)——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方与运动方向相反，阻尼系数为f，即F(t)——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有F2(t)K——弹簧刚联立以上三式并整理得mdx(t)fdx(t)Kx(t)F假定m、k、f均为常数，上式就是二阶常系数线性微分方程1)用一个简单系统去研究与其相2)为控制系统的计算机数字仿真提供基础. 具有相同形式的数学模型如，前述的RLC无源网络和弹1)用一个简单系统去研究与其相2)为控制系统的计算机数字仿真提供基础.机械系电弹性系弹性系电气系阻 2（（5）反馈测量部分的微分方程式(2-合并方程式（2-18）～式（2-22），可消去中变量u1,u2和ua,经整理后消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变2【例【例2-4】试列写图2-4所示速度控制系统的微分方程各部分的微分方程如（1）运算放大器I的微分方程运算放大器II的微分方程路。若略去晶闸管电路的时间延迟，则功率放大器的微分方程为 (2-输出转速恒定时，该系统为恒值控制系统。此时g为常数，mc()34.14.1、数学工具⑴拉氏设函数f(t)满足①t<0时②t>0时，f(t)分段连斯变换与反0则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记F(s)L[f(t)] f(t)e例子：1F(s)L[f(t)]edt ed 1est1 2F(s) f(t)eF(s)L[f(t)]tedttd(e)teedt3F(s)L[f(t)] dt1sa d(atst)s1sF(s) f(t)e4F(s)L[f(t)]sinwtestdt1sinwtd(est)sinwtest1wsestdsinwt ecosss s2ws2ww 2esinF(s)s2F(s) f(t)e⑵拉氏变换基本定L[eatf(t)]F(sL[f(tτ)]eτsFL[df(t)]sF(s)fdt4wwF 3线性系统的基本特性3线性系统的基本特性两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。4当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法、拉氏变换法和数值计算方法。用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型—传递函数.传递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响. 斯变换方法求解的优点 FF(s) f(t)e积分定L[f(t)dt]F(s)f 终值定limf(t)limsFL[f(t)dt]ssF(s)f1(0)f2dff(0)limsF ]sF(s)fF(s)化成下列因式分解形式a.F(s)中具有不同的极点时，可展开F(s)B(s)k(sz)(sz)(szL[eat]s(sp)(sp)(spF(s)s2aaa(s1)ss4s3s1ss4sa(ss4sf(t)1(ete3tb.F(s)含有共扼复数极点时，可展F(s)asaa(sp)(sp)ssF(s)s3a s22s s1 s12a42f(t)ae(1j)tae(1j)tet(cost4sinb[B(s)(sp)bd[B(s)(sp){dsb{ (sp)1djj!ds b2b1a3 s(s1)2(s3)(s1)2(s1)s(sabd1)as(s1)2(s F(s)s2(s1)2(s1)2(sbblimdsd1)2s2相s2bbb(s1)bbs(bb(s1)2(s1)2(s 11/t1/tn-1/(n-1e-1(e-at－e-54.24.2拉氏变换发求解微分方程算始电压u(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压u(t)=1V。试求RL解在例2-1CLL[f(tτ)]eτsF在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为。由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式5非线5非线性微分方程式中x——输入量；—f（x）——某个非线性函数6同样可在某工作点 ）附近用泰级数展开yf(x,x)f(x,x)[f(x,x)(xx)f(x,x)(xx (xx)2 (xx)(xx1f(x,xf(x,x x xf(x,xx(xx)]xxxxG(s)C(s 设线性定常系统的n阶线性常微分方程ddd0r(tc(t及其各阶导数在t=0时的值均为零,即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换,令C(s)=L[c(t)R(s)=L[r(t)]可得s的代数方程为注意注意以下几点关,工作点不同时,相应的常数也不相同当输入量的变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。 线性化方法得到的微分方程是增量化方程例试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤710≤y≤12上线性化。求用 zza(xx)b(yy0性化方程来计算当 时z值所产生的误差 a y解：由于研究的区域5≤x≤7、10≤y≤12，故 b x 择工作点x0=6，y0=11。于 求在点x0=6，y0=11，z0=66附z-66=11(x-6)+6(y-11)近非线性方程的线性化表 z=11x+6y-式。将非线性方程在 当x=5,y=10时，z的精确值x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则 由线性化方程求得的z值z=11x+6y=55+60- 2-22-2控制系统的复数域数学模型-传递函1传递函数的定义和性⑴定线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输（2-7于于是,由定义得系统的传递函数G(s)R(MN(s)(2-例2-8试求例2-1RLC无源网络的传递 2uu duo uo(t)uioduoC在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令Ui(s)=L[ui(t)](LCs2RCs1)U(s)U (2-由传递函数定义得网络传递函G(s)U(s) U(s)LCs2RCs(2-⑵性质的所有性质有m≤n且所有系数均为实数.②传递函数是一种用系统参数表输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部一个具有传递函数G(s)的线性系统递函数与微分方程有相通性.在零初始条件下，若将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得到传递函数;反之亦可g(t)是系统在单位脉冲(t输入时的输出响应,此时,R(s)L1故有g(t)L1C(s)L1R(s)G(s)⑶物理意义传递函数是在零初始条件下定义的控制系统的零初始件有两方面的含义:一是指输入量是在t0时才作用于系统,因此在t=0时输入量及其各阶导数均为零;二是指输入量加于系统之前系统处于稳定的工作状态即输出量及其各阶导数在 时的值也为零现实的工程控制系统多属此类情.例2-9试求例2-2电枢控制直流电机的传递函解:在例2-2中已求得电枢控制直流电机简化后的微分方程Td(t)(t)Ku(t)KM根据线性系统叠加原理,可分别求出ua(t)到m(t)和Mc(t)到的传递函数.先求(sU(s),为此令Mc(t)=0则Td(t)Ku在零初始条件下,对上式各项求拉氏变换,则由传递函数定义,于是G(s)(s)U(s)Ts,G(s)(s)M(s)Ts2传递函数的零点和极传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,可为如下形G(s)(sp(2- 称为传递函数的零点pjj12 称为传递函数的极点800.在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递数的零极点分布图.在图中一般用"o"表示零点,用""表示极点G(s)b(s1)(s22s1)L(sa(Ts1)(Ts2Ts1)L(Ts(2-式中,一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于复数零极点T称为时间常数,Kba(z (p称为3典型元部件的传递函电位电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置.在控制系统中单个电位器用作为信号变换装置如图-)所示;一对电位器可组成误差检测器,如图2-6(b)所示u(t)K1式中,KE是电刷单位角位移对应的输出电压,称电位器传递系数(V/rad),其中E是电位器电源电压(V),是电位器对上式求拉氏变换,G(s)U(s)2-6(d)所示的方块图来表示用一用一对相同的电位器组成误差检测器时,其输出电压u(t)u(t)u(t)K(t)(t)K式中1是单个电位器的传递系数,()是两个电位器电刷角位移之差称误差角因此以误差角为输入时误差检测器的传递即为G(s)U(s)在使用电位器时要注意负载效应，即指在电位器输出端载时所产生的影响⑵测速发电9G(s)(s) KU s(JsfC)s(Ts G(s)m(s)U(s)Ts式中Km=CM/(fm+CΩ)是电动机的传递系数,Tm=Jm/(fm+CΩ)在形式上完全相同。⑸无源求无源网络的传递函数,可用前述的方法即列写网络微分方程，进行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函数。此外还可采用复数阻抗法.用复数阻抗法表示电阻时仍为R,电容的复数阻抗为1s,电感的复数阻抗为Ls.图2-1的RLC无源网络用复图中Z1=R+LsZ2=1/Cs由图可直Zu(tu(t)K(t)Kd式中K是测速发电机输出斜率,表示单位角速度的输出电压.在零G(s)U(s)K分别用方块图表示如下 图()是交流测速发电机的示意图.在结构上它有两个互相垂直放置的线圈,其中一个是激磁绕组,接入一定频率的正弦额定电压;另一个是输出绕组当转子旋转时输出绕组产生与转子角速度成比例的交流电压(),其频率与激磁电压频率相同,.⑶⑷⑷两相伺服电动线性.图2-9(b)是在不同控制电压ua时,实验测取的一组机械特MmCm式中Mm是电动机输出转矩,m是电动机角速度,CΩ=dMm/dm是阻尼系数,即机械特性线性化的直线斜率,Ms是堵转转矩,由图若将G(s)与G(s)两方块串联连接,如图2-11右端,从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。(l)比例比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关院为固定的比例关系，即它的输出量能够无失真、无延迟地按院定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程c(t)=Kr(t)

特点：输入输出量成比例，无失真和时G(sC(s)K延迟 实例：电子放大器，齿轮，电阻(电器)，感应式变送器(2)(2)式中T——惯性环节的时间常数n=1/T无阻尼自然振荡(4)振荡环节的微分方程相应的传递函式中T——时间常数——阻尼系数（阻尼比），且0＜＜1复平面S上的位置见图2-10所示,传递函数可改写特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 (3)c(t)Kr(t(5)(5)式中——纯延迟时根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数为：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型包含有延迟环节2-32-3控制系统的结构图与信号流控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算是控制理论中描述.与结构图相比信号流图符号简单更便于绘制和应用.但是,信号流图只适用于线性系统,而结构图也可用于非线.1系统结构图的组成和绘几个基本概C(s)G(s)G(s)(4)求和点（比较点、综合点(4)求和点（比较点、综合点用符号“(3)得到系统的结构图。结构图上可以用方框进行数算，相邻求相邻求和点可以互换、合并代数运算的交换律、结合律和分配求和点可以有多个输入，但输出是脱离了物理系统的系统数学模型的图解形式开开环传递Open-loopTransferFunctionN(s)=0B(s)G(s)G(s)H(s)G(s)H闭环传递函数Closed-loopTransferFunction假设C(s)G(s)G(s) 前向通路传递函数R(s)1H(s)G(s)1HC(s)G(s)R(s)1HC(s)G(s)R(s)1H（7）误差对扰动的传递函数假M(s)E(s)G(s)HN(s)1G(s)H(5)误差传递函数(5)误差传递函数假设将C(s)E(s)G(s)代入上式，消去G(s)E(s)R(s)1H(s)G(s)1(6)(6)输出对扰动的传递函数假图2-18出对扰动的结构M(s)C(s)N(s)1G(s)HG22结构图的等效变换和简由系统结构图通过等效变换(简化)可方便地求取闭环系统的传递函数或系统输出量响应。实际上，该过程对应于由元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数过程。复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，交换比较点，进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则，具体而言，就是变换前后前向通路中传递函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。(1)、方框图的运算串联运算规递函数的乘积。[[例]设有两个RC串联电路如下图所示,分别求其CC上式只有当两个电路之间 放大器才成立反反馈运算规(2)(2)基于方框图的等效基于比较点的简__-__- 化简化简示例化简示例简化结简化结构图,并求系统传递函数化简示例__1GG_[例]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数R C1i2RC电路的串联,有负载效应。根o电路定理，有以下式[u(s)u(s)]1IR-II(s)1C[u(s)u(s)]1IIII I(s)-II(s)uoCuu总的结构图如下-11-C21I1(s)1uo-uiC2uo- 1GGH(s) G(s)G(s)G(s)G 1G(s)G(s)H(s)G(s)G(s)H(s)G(s)G(s)G(s)G(s)H简简化结构图,并求系统传递函数化简示例--CC2uiI1(s)uo-ui-R1C2uo-R1C2ui(s)uo-I1(s)1-ui-uo--ui-uo--ui R R2C2suouiuoui-1-ui-uo--ui+-uo--ui+-uo--ui+uo-ui+RRCsuo-RCsui-uoR1C2 uoRCs R2C2s1(R1C1s1)(R2C2s1) ui1 (R1C1s1)(R2C2s1) R1C2 (R1C1s1)(R2C2s1)R1C2--RCsRCsuui+-RCsuoRCsuiuo-uiuoRCsRRCs33信号流图的组成及信号流图的基本性 混合节点44信号流图的绘(1)由系统微分方程绘制信号流例2-13试绘制例2-10的无源网络信号流图将各变量重新排列得下述方程式组前前向通路有一条(即n=1):p1=G1G2G3G4回路有三个:LGGHLGGHLGGGGH没有不接触回路,且前向通路与所有回路都接触,故1C(s)1p111GGHGGHGGGG例2-14例2-14试绘制图2-21所示系统结构图对应的信号流图先在系统结构图的信号线列，将结构图中的方框5梅森(Mason)增益间传递函数的梅森增益公式(2-kk例例2-15试用梅森公式求例2-11系统的传递函数C(s)/R(s⑴⑴输入信号下的闭环传递函(s)C(s) 1G1(s)G2(s)HG1(s)G2⑵扰动作用下的闭环传递函N(s)2 同样,可求得系统在扰动作用下的输出C(s)C(s)(s)N(s)G1G(s)G(s)H显然当输入信号R(s)和扰动作用N(s)同时作用时,系统输出C(s)C(s)(s)R(s)(s)N11G(s)G(s)HG(s)G(s)R(s)G(s)N在上式中,如果满足G1(s)G2(s)H(s)1G1(s)H(s)1的件则可简C(s)H上式表明,一定情况下系统的输出只取决于反馈传递函数H(s)输入信号R(s),而与前向通路传递函数无关,也不受扰动作用 全复现,且对扰动具有较强的抑制能力.例2-16例2-16试用梅森公式求图2-23信号流图的传递函数C(s)/R(s解:LaG1G2G3两个互不接触的回路有四组,LLGGGG三个互不接触的回路有一组,即LdLeLfp1G1G2G3K,11;p2G2G3K,21G1p3G1G3K,31G2;p4G1G2G3K,41C(s)p1p2p3 GGK(1G)GGK(1G) 1GGG2GGGGGG66闭环系统的传递反馈控制系统的传递函数一般可以由组成系统的元部件运动方程式求得.4所示.图中R(s)-----输入信号N(s)------扰动信号C(s)输出信号1.阅2-5节：数学模型的实验测2.课后习题：P802-3，P812-8；P822-P822-RReb要的是，对于图2-24的典型反馈控制系统，其各种闭环系第三章第三章稳态性能为求解系统的时间响应,必须了解输入信号的解析表达式然而在大多数情况下,控制系统的输入信号具有随机性，以无法预测的方式变化。为便于进行分析和设计，以及对各种系统性能进行比较，需要选择若干典型输入信号。典型输入信号是根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数，目的是便于数学分析和实验研究。动态过程又称过渡过程或瞬态过程根据系统结构和参数选择情况,动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡的形式一个可以实际运行的控制系统其动态过稳定的.及阻尼情况等信息,这些信息用动态性能来描述.(2)稳态过程(稳态响应)系统在典型输入信号作用下,当时间t趋于无穷时,系统输出量的表现方式.它提供系统有关稳1上上升时间tr指响应从终值10%上升到终值90%所需的时峰值时间tp:响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间调节时间ts:指响应到达并保持在终值±5%(或±2%)所需的最短时间超调量σ又称最大超调量(或百分比超调量是指响应的最大偏离值h(tp)与终值h(∞之差与终值h(∞)的百分比,即h(th(,则响应无超调%h(t)h()2研究图3-2(a)所示电路,其运动方程式中,T=RC为时间常数.当初始条件为零时,其传递函数(s)C(s)R(s)Ts3-2(b)所示.在以下的分析和计算中,系统的初始条件为零.3-2凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统,称为一阶统 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量(1)对于图所示的单位阶跃响应h(t),其动态性能指标通常为延迟时间t:指响应曲线第一次达到其终值一半所需的时间⑵⑵响应曲线的初始斜率值为1/T,并随时间的推移而下降, 1dtdt0.3681dt0h()1初始斜率特性,也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一根据动态性能指标的定义,一阶系统的动态性能指标tdts3T峰值时间tp和超调量σ%3一阶系统的单位脉冲响当输入信号为理想单位脉冲函数()时由于()=1即1C(s)Ts这时系统的输出称为脉冲响应,其表达式c(t)1etT(t0)T2T、3T4T可以绘出一由式(3-5)可以算出响应曲线的各处斜率1T0.3681Tdt0调节时间,则有ts=3T,故系统惯性越小,响应过程的快速性越好在初始条件为零的情况下闭环传递函数与脉冲响应函数之间包合着相同的动态过程信息工程上也常利用这一特单位阶跃响应和单位斜坡响应的比较在斜坡响应曲线中,输出量和输入量之间的位置误差随间而增大,最后趋于常值T,惯性越小 的准确度越高.而初始状态下,初始位置和初始斜率均为零,因dt显然,在初始状态下,输出速度和输入速度之间误差最大22一阶系统的r(t)=1(t可得一响应指数曲线初值为零，如图3-3所示.它有如下两个重要特性当t=T时,输出h(T)=0.632;t=2Th(2T)=0.865当t=3T时,输出h(3T)=0.95;t=4Th(4T)=0.98244一阶系统的单位斜坡响)态分量.响应曲线如图3-5所示.应的稳态分量为与输入信号斜 355一阶系统的单位加速度响c(t)1t2TtT2(1etT)(t因此系统2e(t)r(t)c(t)TtT2(1etT上式表明 误差随时间推移而增大,直至无限大.因此,一阶统不能实现对加速度输入函数 位置随动系统，使负载位置与输入手柄位置协调_ 该位置控制系统的开环传递函数可化G(s) s(TMs其中K称为开环增益,TM为机电时间常数.其闭环传递函数(s)(s) (s)Ts2s为具有普遍意义,可将式(3-9)表示为如下的标准形3-3凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统R(s)s2s4 -ns(s相应结构图如图3-7所示. 自然频2TM阻尼s2s特征根(闭环极点)显然二阶系统的时间响应取决于和n这两个参数.下面根据标准形式的闭环传递函数这一数学模型研究二阶系统时.2二阶系统的单位阶跃响程度.下面分别研究不同ζ时,特征方程根的分布情况以及njn1 两个具有负实部的共轭复ssnn2单单位阶跃R(s)=1/s作用下二阶系统输出响应为对上式取拉氏反变换,求得单位阶跃响(2)(2)ζ0无阻无阻尼时特征根 s1,2 两个共轭虚则二阶系统无阻尼时的单位阶跃响h(t)1cosnt(t (3-率为n,故称为无阻尼振荡频率.由于n是由系统本身的结构和5特征根特征根为s1,2n即两个具有负实部的重设输入为单位阶跃函数,则系统输出量的拉氏变换可写C(s)s(s s(s s1 对上式取拉氏反变换,得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应h(t)1et(1t)(t 无超调单调上升过程,其变化率dh(t)(4)ζ>1过阻尼特征根为s21即两个负实设输入信号为单位阶跃函数,且T( (,T则过阻尼二阶系统输出量的拉s(s1T)(s1Th(t)eeT2T11T1T2(t响应特性包含着两个单调衰减的指数项(瞬态分量),瞬态分量随时误差，且过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振(5)ζ<0负阻尼s2系统具有两个正实部的特征设输入为单位阶跃函数,则系统输出量的拉氏变换可写s(s2s对上式取拉氏反变换,得负阻尼二阶系统的单位阶跃响应因子具有正幂指数，故系统由图可见,稳态输出,但临界阻尼响应具有更短的上升时间,响应速度更快通常取ζ=0.4~0.8为宜,此时超调量适中,调节但响应速度不同,n越大,响应速度越快.6在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应式(3-14)中,令h(td)=0.5,可 12sin1tcos1则nd与ζ的关系曲线如图3-0所示利用曲线拟合法在较大的ζ值范围内近似有10.60.2t当0<ζ<1时,亦可用下t1(3–20)3-10二阶系统t与关系曲线ζ(2)上升时间tr的计在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应式中,令h(tr)=1,可sin(tr0即dtr(3-可见,当阻尼比ζ一定时,阻尼角不变,系统的响应速度与成正比;而当阻尼振荡频率一定时,阻尼比越小(值越大）,上(3)峰值时间tp的计将欠阻尼二阶系统单位阶跃响应式对t求导,并令其为零,可dt1 sin(t)1cos(t)tg(t)1为此,要求dtp=0,,2,…，依定义到达第一个峰值时(3-33欠阻尼二阶系统的动态过程分析(重点(二阶系统ζ=0.4~0.8、到虚轴之间的距离；阻尼振荡频率ωcos上式表明增大自然频率或减小阻尼比上式表明增大自然频率或减小阻尼比,都可以减小延迟时间.或说,当ζ不变时,闭环极点距s平面坐标原点越远,系统延迟时间越短;而当不变时,闭环极点距s平面上的虚轴越近,系统的延迟时间越短.tt 1因为sin()sin1根据超调量定义，并考虑到h(∞)=1，求(3-7用阻尼振荡的包络线来近似求由式（3-14）可知,曲线(1 1用下包络线(或上包络线)来代替响应曲线,并按调节h(t 1 1ett3.5 或 s上式表明调节时间与闭环极点的实部数值成反比点距虚轴的距离越远系统的调节时间越短据对系统超调量的要求来确定,所以调节时间主要由自然频率决定若能保持阻尼比不变而加大自然频率则可以在不改变超.上述各项公式表示了n与t、%、t等动态性能指标之间的关系有时它们是的。如阻尼比越小则上升时间r更短，响应更快，但超调量%却更大了。因此设计时应折衷考虑，才能达到设计目的。一般地的取值范围是0408。由式可知,%仅为阻尼比ζ的函数,与自然频率无关.超调量与阻尼比的关系曲线如图3-11.由图可知阻尼比越大,超调量例3-1例3-1设系统的结构图如图3-14所示,若要求系统具有性能指标p==20tp=1s,K,并计算单位阶跃响应的特征量td,tr和ts.解:由图知,C(s)R(s)s2(1K)s1与传递函数标准形式(3-10)相比,nK,12由ζ与(如下ln(1 (ln1s(s), 3.53(rad/s)t1从而解得K由cos11.10(rad)13.14(rad(3-203-21(3-24t10.70.37(s)t t3.50.02t844过阻尼二阶系统的动态过程分析(一般掌握10.60.2t 仍然适 上升时间tr的计系统单位阶跃响应的表达式，可得11.5(3)调节时间ts的计值，可得无因次调节时间ts/T1与T1/T2的关系曲线如图3-16所示.Qs2s(s1T)(s1T由已知的T1T2值或其相应的ζ可从图中得到ts值。特例3-2设角度随动系统如图3-17.图中K为开环增益,解:根据题意并考虑有尽量快响应速度,应取阻尼比ζ=1.由图3- T当ζ=1T=0.12n1TnKTn5(rad/K5二阶系统的单位斜坡响统输出量的拉氏变换式C(s)s(s2s2(s)(2 s2s对上式取拉氏反变换,可得不同ζ值下二阶系统的单位斜坡响应(1欠阻尼单位斜坡响应(重点1c(t)tsin(t2)(t对于图示典型单位反馈系统,误差响应由式(3-29可知对于单位斜坡的误差响应式e(t)sin(t2其稳态误ee()将式(3-30)对t求导并令其为零,得误差响应的峰值时间t它正好等于单位阶跃响应的上升时间.将式(3-32)代入式(3-30)得误差响应的峰值根据ζ=1和n=5rad/s(3-25(3-2610.60.2td 0.3611.5t 0.79 从而,误差响应的最大偏离量可表示ee(t)e e(t)2(11 由 e(t)221 若令D表示误差响应对其稳态值的相对D由下式限De(t)21 sin(t2)21 当取0.8时,上式可进一步表示为D1.04e.5%误差带,可得到响应调节时间的近似表达t图3-18给出了几种ζ值下的无因次误差响应曲线.由图性能计算公式可以明显看出:减小系统的阻尼比ζ,可以减小统的稳态误差和峰值时间,但是最大偏离量要增大,调节时间会加长,从而使动态性能 (2)临界阻尼单位斜坡响由于ζ=1,故单位斜坡响应可表示 c(t)t22(112(tess而误差响e(t)211t(t若取5%误差带,则利用前述类似的数值解法可以求出误差应的调节时间近似ts)在ζ>1时,输出量的拉氏变换式可写所以得c(t)t 22122 e2121e2(tess误差响应e(t2[1121e(41214例3-3设控制系统如图3-19所示.图中,输入信号i(t)=t,放解:系统的开环传递函数G(s)5Ks(s s(s2n因而17.255K,nKA=13.5算得ζ=2.1n=8.2属过阻尼二阶系统由式(3-40)可(t)0.51(1e2.08t0.004e32.4t此时系统等效为一阶系统其等效时间常数T=0.48(s因而性能指标为t0.33(st1.06(st1.44(sess0.51(rad当KA=200时,算得ζ=0.55,n=31.6,属于欠阻尼二阶.(3-30e(t)sin(dt2(t)0.035于是,算得性能指标tp0.08(s),0.008(rad),ts0.17(s),0.035(radsin(26.4t113KA=1500算得ζ=0.2n=86.6仍属于欠阻尼二阶系统.其误差响应为(t)0.0046于是,算得性能指标tp0.02(s),0.008(rad),ts0.17(s),0.0046(radsin(84.9t157 (s)szs2s6二阶系统性能的改善(两种常用方法(1)比例-微分控 由图可得其开环传递函数G(s)K(Tdss(s2式中K=n/2ζ,称为开环增益.上两式表明,比例-,称PD控制。由于PD-z1/T故比例-微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统.当输入为单位阶跃函数时,由闭环传递函数式(3-42)C(s)n1ns(s22s)zs(s22sh(t)1resin(12t1式中rz2dnznz1tan11(ztan1(12tgn1dt1d将式(3-46代入求t1峰值时间将式(3-44)t求导并令其为零式tg1(12超调量将式(3-47)代入式(3-44根据超调量定义,并%r12e代入上式,经整理可上升时间上升时间(3-44可得ntrz/ζdn(闭环传递函数零极点实部之比)3-23由图可见tr是阻尼比ζd、自然频率n和闭环零点值z的函数.调调节时间表示实际响应与稳态输出之间的误差由式(3-44)h(t)1resin(1t)resin(1t)re取=0.05,由上式可解3ln(z2z)lnzln(1t 3ln例3-4设单位反馈系统开环传递函数G(s)K(Tdss(1.67s其中K为开环增益已知系统在单位斜坡函数输入时稳态误ess=1/K若要求e0.2(rad0.5试确定KTd的数值,并估算系统在阶跃函数作用下的动态性能.解e1K0.2要求K=5Td=0可得无零点因此得:ζ=0.173n=1.732此时系统的阶跃响应动态性能由式(3-21)~(3-24)算出为tr1.02(s),tp1.84(s),%57.6%,ts11.70(s) 时,由于要求ζ=0.5,故由式 此时为有零点二阶系统其阶跃响应动态性能指标为查图3-23得tr=0.70(s由式(3-47)、(3-49)及(3-50)算得tp=1.63(s).%=22ts=3.49s可见比例-微分控制改善了系统的动态性能,且满足对系统稳态误差的要求.T12())由图知,系统的开环传递函数式中开环增益K 2K相应的闭环传递函数s22sK由上可见,与比例-微分控制不同的是,测速反馈会降低是,同样不影响系统的自然频率,并可增大系统的阻尼比.为了便于比较,将式改写为1T1K和上式可见它们的形式是类似当K时则有ζt=ζd因而测速反馈同样可改善系统的动态性能但由于测速反馈不形成闭环零点因此即便在Kt=Td情况下测速反馈与比例-微分控制对系统动态性能的改善程度是不同.设计测速反馈系统时可适当增大开环增益以弥补稳态误差损失；适当选择系数K使ζ在0.4到0.8间来满足各动态性能指标。例3-5设控制系统如图所示其中(a为比例控制系统为测速反馈控制系统试确定使系统阻尼比为0.5Kt值,并计算系统(a)和(b)的各项性能指标.解：系统(a)的闭环传递函(s) s2s/);,td0.35(s),tr0.55(s),tp%60.4%,ts) s2(110K)s标准形式有=3.16(rad/s)，且2110KKs22s由0.52K0.16因 2于e0.316(rad),t0.43(s),t0.77(s)tp1.15(s) %16.3%,ts2.22(s)测速反馈控制系统的各动态性能计算公式同前述的二本例表明,测速反馈可以改善系统的动态性能,但会增大稳误差.为了减小稳态误差,必须加大原系统的开环增益3-43-4高阶系统的时域分在控制工程中几乎所有的系统都是高阶系统对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说其动态性能指标的确定是较而得到高阶系统动态性能指标的估算公式.1高阶系统的单位阶跃响研究图3-26所示系统闭环传递函数(s)C(s) 1G(s)H一般情况下G(sH(s都是s的多项式之比故上式可写(s) asna as 分子和分母多项式分解为因式乘积的形式(s) C(s)MR(s)D(s)K(sz(ssi式中K=b0/a0zi为M(s)=0之根,称为闭环零点si为D(s)=0之根称为闭环极点由于M(s)和D(s)均为实系数多项式zi和si只可能是实数或共轭复数.在实际控制系统中,所有的闭环极点通常都不相同,因此在输入为阶跃函数时,输出量的拉氏C(s)K(sz(ss)(s2kksk式中,q+2r=n,q为实数极点的个数,r为共轭复数极点的对数将上式展成部分分式并设0<ζk<1可BsC(s)Asj1ss2s式中A0limsC(s)将式(3-58进行拉氏反变换并设初始条件全部为零可h(t)A AeB cos(1CBk1esin(1)t(t结论阶系统的时间响应是由一阶系统和二阶系统的时间果高阶系统所有闭环极点都具有负实部那么随着时间t的增长上式的指数项和阻尼正弦(余弦)项均趋近于零,高阶系统是稳定的,其稳态输出量为A0;高阶闭环极点负实部的绝对值越大,其对应的响应分量衰减得越快;(3)(3)比例-②使用环境：比例-微分控制的输入信号为系统误差信号， 统时间响应的类型虽然取决于闭环极点的性质和大小,然而时间响应的形状却与闭环零点有关.具体地，输入量既取决于指数项和阻尼正弦项的指数，又取决于这些项的系数在控在控制工程实践中高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点这时可用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能应用闭环主导极点的概念可以导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式.s1,2j01则在单位阶跃函数作用下系统输C(s)M(s)D(s)1M(s)1sD&(s)sssD&(s)s s1M(s)1 式中,D&(sdD(s)ds对上式取拉氏反得高阶系统单h(t)12M(s)etcostM(s)(ts1D(s1)上式中振M(s1s1D&(s1与相(M(s)sD&(s已考了闭环零点与非主导闭环极点对响应过程的影响.因此基.)根据超调量σ%的定义，并考虑h(∞)=1，则由式(3-60)%PQet式中:P 闭环非主导极点影响的修正系数ss由上式可以得出如下几点结论Q闭环零点影响的修正系数如果在所有的闭环极点中距虚轴最近的极点周围没有闭环零.3高阶系统的动态性能估如果高阶系统具有一对共轭复数主导极点且非主导极点实部的模比主导极点实部的模大三倍以上时可以采用式(3-60来近似计算系统的动态性能指标.(1峰值时间的计高阶系统峰值时间的近似计算式由由上式可以得出如下几点结论快,并且闭环零点越接近虚轴这种作用越显著;速度变缓;影响相互削弱;若系统不存在闭环零点和非主导极点,则式(3-61)还原为式(3-22).，，由式(3-63)可得如下结论故由式(3-60)t1ln2FQ s1FsQ若闭环零点若闭环零点,例如负实零点z1距离虚轴较近,则因szz而使Q%表明闭.s3且sssP而使超调量表若s3Res1则系统s3s1,2成为系统.和Q项,式(3-62)还原为式(3-23)4.4.运动模线线性控制系统的稳定性的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点则称系统渐近稳定,简称稳定反之若在初始扰动影响下系统的动态过程随时间的推移而发散,则称系统不稳定。有特性而与外界条件无关。设线性系统在初始条件为零时,作用一个理想单位脉冲此时系统输出增量为脉冲响应c(t这相当于系统在扰动信号作limc(t)即输出量收敛原平衡工作点,则线性系统是稳定的2线性系统稳定的充分必要条图示典型系统,闭环传递函(s)C(s) R(s)1G(s)H-H其特征方程为D(sasnaasa MK(szs1稳定性的基本 后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力a为稳定平衡点；d为不稳定平衡3-5线性系统的稳定性稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够正常运行的首要条件不稳定就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因而,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是自动控制理论的基本任务之一。 式式中,q+2r=n.于是系统的脉冲响应c(t) AjeBkecos(1CBesin(1)t(t0)1可见当且仅当系统的特征根全部具有负实部时,limc(t)0若特征根中有一个或一个以上正实部根,则limc(t若特征根中有一个或一个以上零实部根(其余均为负实部则脉冲响应趋于常数或趋于等幅正弦振荡,系统为临界稳定状态。经典线性系统稳定的充要条件是×j××例3-6设系统特征方程为s3+7s2+14s+8=0，试用赫尔维茨判解：由题知a0=1>0，主行列式及其顺序主子式分78114072007所以系统是稳定的170114907说,闭环传递函数的极点均严格位于左半s3劳思-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)的代替方法。劳思和赫尔维茨分别于年和年独立提(1D(s)a0sna1sn1an1san0(a00)主子式Δi(i=1,2,…,n-1)全部为正，即有顺顺序主子Δn-1>(2)劳思稳定判(2)劳思稳定判01n0根据代数方程理论，有下列关4劳思稳定判据的特殊情(1)劳思表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零或不全为例如特征方程为D(s)s33s2其劳思阵列表10处理方法:(s+a乘以原特征方程其中a为任意正再对新的特征方程应用劳斯判据如用(s+3乘以上述的特(sa)D(s)s43s33s27s6例3-8判断下述系统的稳定特征方程式s6s52s43s37s24s4解：劳思阵列 0(4) 00F(s)s43s24求导F(s4s36s 例例3-s43s33s27s6劳思阵列1630260006第一列有两次符号变化故系统不稳定且有两个正实部的根.将原特征方程进行因式分解,得可见确有两个s=1的正实部根得以验证(2)(2)劳思表中出现全零征根。例如两个大小相等符号相反的实根和)一对共轭纯虚根,或者是实部符号相异虚部数值相同的两对共轭复根。在这种情况下，可以作如下处理用全零行上面一行的系数构造辅助方程()=0，并将辅助方程对便可按劳思稳定劳思计算表。辅助方程的次数通常为偶数，表明数值相同但符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的根，均可由辅助方列列出相应的劳思表134.675000依劳思判据令劳思表第一列各元为正K1取值范围0K1ss11代入原特征方程得到如下新特征整理相应的劳思表131.67433.8(7500K17500K7500K0于s=-1垂线之左的K1取值范围为1K1如果需确定系统其他参数,例如时间常数对系统稳定性的影响,方法是类似的.一般来说,这种待定参 过两个-K解:由图可写出系统的闭环传递函数(sK(s)s32s2sK因而闭环特征方程D(s)s2ssKD(s)s334.6s27500s7500K线s=-a之左侧;确定系统中一个或两个可调参数对系统稳定性的影响例3-9设比例-积分控制系统如图3-28其中K1为与积分器时间常数有关的待定参数.已知ζ=0.2,n=86.6,试用劳思判据确定使闭环系统稳定的K1如果要求闭环系统的极点全部位于垂线s=-1之左,问K1值范围又应取多大?3-63-6控制系统的稳态误差是系统控制准确度(控制精度)的一种度量,通常称为稳态性能对于实际的控制系统，其稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。即控制系统的稳态误差是不可避免的系统设计的任务之一就是尽量减小稳态误差或使其小于某一容许值.显然,只有当系统稳定时,研究稳态误差才有意义;对于不稳定的系统而言根本不存在稳态误差有时把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统而把具有原理性稳态误差的系统称为有差系统.本节主要讨论线性控制系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差,其中包括系统类型与稳态误差的关系同时介绍定量描述系统误差的两类系数即静态误差系数和动态误差系数.-H此时系统在E(s)信号作用下产生动作使输出量趋于希望值.通常,称E(s)为误差信号,简称误差(亦称偏差).误差有两种不同的定义方法一种是按式(3-80在系统输入端定义,这种误差在实际系统中是可以量测的,具有一定的物理意义;另一种是在系统输出端定义,它定义为系统输出量的希望值与实际值之差.它在系统性能指标的提法中经常使用在实际系统中有时无法测量因而一般只具有数学意义代表输出量的希望值故E’(s)=R(s)/H(s)-C(s)是从系统输出端定义的非单位反馈系统的误差。显然两种误差定义间的关系 1H-式中,e(s)为系统误差传递函数,由下式决在误差信号e(t)中包含瞬态分量ets(t)和稳态分量ess(t)系统稳定时，ets(∞)=0.因而系统的稳态误差定义为e(t)的稳态如果函数sE(s)除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析即sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标原点),elime(t)limsE(s)的例子说明了用终值定理来求稳态误差的条件2系统类1G(s)HG(s)H(s)s(TjsK为开环增益iTj为时间常数sv——表示在原点处有vv也表示开环传递函数中包含的积分环节数。据此，可对系统进行分类：v=0为0型系统；v=1为Ⅰ型统；v=2为Ⅱ型系统；依此类推注意①系统的类型与系统的阶次在概念上是不同的 (s)E(s) 1G(s)HH(s1E(sG(s)HG(s)H(s)(is1)(Tss0G(s)H(s1(385G(s)H(s)KG(s)He开环增以下讨论不同型别系统在不同输Klim3阶跃输入作用下的稳态误差及式中R为幅值常数,esRR1G(s)H(s)1G(s)H(s)1limG(s)H(s)1对对于0型系统QkKR1 1常把阶跃输入下系统的稳态误差称为静差;v也称为控制对于I型（及更高型）的系统QkeR1这些系统可称为一阶(或更高阶)无差度系统4斜坡输入作用下的稳态误差及静态速度误差系式中R为斜率常数,则e1G(s)H(s)s2ssG(s)HRR RlimsG(s)H定义:静态速度误差系数3-12设一非单位反馈系统G(s)=10/(s+1H(s)=Kh,输入信号r(t)=1(t)试分别确定当Kh10.1,系统输出端的稳态位置误差e’ss.:由于系统的开环传递函数s故本例为0型系统其静态位置误差系数kp=K=10Kh,由式(3-88可算出输入端的稳态位置误差为e系统输出端的稳态位置误差可由e’ssess/Kh算出Kh=1G(s)H(s)1ee' 1 对于I型系统，如图3-32所示QkKeR Qkvess注注意①通常式(3-90)表达的稳态误差称为速度误差,其含意是指在速度(斜坡)函数作用下,系统稳态输出与输入之间存在位置上的误差。②0型系统在稳态时不 斜坡输入;对于Ⅰ型单位反馈系统,但存在一个稳态位置误差;,若其H(s)=K为常数,Kh=0.1e e1 K(110K此时系统输出量的希望值为5加速度输入作用下的稳态误差及静态加速度误差系加速度输入函数:r(t1Rt2R(s)式中R为加速度常数,则e1G(s)H(s)s3lims2G(s)H(s)R定义:静态加速度误差系对于0、I型系统如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合,例2r(t)R1(t)Rt1ReRR 显然这时至少应选用系统,否则稳态误差将为无穷大.由此可见,采用高型别系统对提高系统的控制准确度有利但应以确保系统的稳定性为前提同时还要兼顾系统的动态性能要求.对于Ⅱ型系统，如图3-33所QkKeR Qkaess加速度误差指系统在加速度函数输入下，其稳态输出与能准确综上可见，静态误差系数KpKvKa，定量描述了系统跟 6动态误差系E(s)e将误差传递函数e(s)在s=0的邻域内展成泰勒级数,(s)1G(s)H2!于是,误差信号可以表示为如下级E(s)(0)R(s)(0)sR(s)(0)sR(s)2!1(0)siR(s)i!上述无穷级数收敛于s=0的邻域,称为误差级数，相当于在时域内t→∞时成立。当所有初始条件为零时,对式(3-95)进行拉氏反变换,就得到作为时间函数的误差表达式它完整地描述了稳态误差ess(t)随时间变化的规律.式C1(0)(ii!称为动态误差系数习惯上称C0为动态位置误差系数C1动态速度误差系数C2为动态加速度误差系数在系统阶次较高的情况下利用式(3-97来确定动态误差系数是不方便的.下面介绍一种简便的求法.将已知系统开环传递函数按s的升幂排列写成如下形G(s)H(s)s(TjsK(s令则误差传递函数可表示(s) N1G(s)H(s)N(s)M用上式的分母多项式去除其分子多项式得到一个s的升幂级(s)C0CsCsC将上式代入误差信号表达式,E(s)(s)R(s)(CCsCsCs比较(3-95(3-101(3-100中的系Ci0,1,2,正是我们要求的动态误差系数误差系数之间的关系利用式(3-98(3-99进行长除可如下简单关系0型系统:CⅠ型系统:C1kⅡ型系统C1k因此在控制系统设计中也可把C0、C1C2作为一种性能3-14设单位反馈系统的开环传递函数G(s)s(0.1s若输入信号为r(t)=sin5t,试求系统的稳态误差ess(t)由于输入信号为正弦函数无法采用静态误差系数法确定ess(t现采用动态误差系数法求系统的稳态误差由于系(s)1s(0.1s1)s 1G(s)0.1s2s故动态误差系数C0C102C9可求得稳态误式中0=5对上述级数求和e(t)0.055cos(5t24.9因此系统稳态误差为余弦函数其最大幅值为0.055EE(s)C(s)G(s)1式中G(s)=G1(s)G2(s)H(s)为非单位反馈系统的开环传递函数记(s)G1为系统对扰动作用的误差传递函数并将其在s=0的邻域展成2!设系统扰动信号可表示12(s)(0)(0)s11i!1k!则将式(3-104代入式(3-102并取拉氏反变换可得稳定系统e(t)Cn式C1(0),i0,1,2i!:由图可见本例系统为Ⅰ型系统令扰动N(s)=0则系统对阶跃输入信号的稳态误差为零但是如果令R(s)=0s(Ts1)K1K而输出量的希望值为零,因此误差信号C(s) N(s)E(s) N(s)系统在阶跃扰动转矩作用下的稳态误差elimsE(s)K3-16设电动机转速控制系统如图3-37所示其中输入信号r(t)=0,负载扰动n(t)=-t试计算该系统的稳态误差.由图知给定系统对于扰动信号n(t的误差传递1(s)1 K0(TBs1)(TMs Ts Ts (Ts1)(Ts1)K3-35其中N(s)为扰动信号的拉氏变由于在扰动信号N(s)作用下系统的理想输出应为零,故该非单位反馈系统响应扰动n(t)的输出端误差信号为称称为系统对扰动的动态误差系数.将en(s)的分子多项式与分母多项式按s的升幂排列然后利用长除法可方便地求得CinsEn(s在右半s平面及虚轴上解析时同样可以采用终3-15设比例控制系统如图3-36所示图中R(s)=R0/s为阶跃输入信号;M为比例控制器输出转矩,用以改变被控对象的位置;N(s)=n0/s为阶跃扰动转矩.试求系统的稳态误差.因因为n(t)=-t具有式(3-105)形式,12nt1!此处n0=0n11k=1所以可应用式(3-106计算系统对扰作用的稳态误差.根据e(t) C和C1C(0) T BC(0)1KTKK(1KK因而，算得系统对斜坡扰动的稳态误差e(t)11K tTTT1