人教版九年级数学下册第28章检测题及答案

人教版九年级数学下册第28章检测题及答案(考试时间：120分钟满分：120分)姓名：________班级：________分数：________一、选择题(每小题3分，共30分)1．tan30°的值等于（A）A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),2)C．1D．22．已知2cosα－eq\r(3)＝0，且α是锐角，则α＝（A）A．30°B．45°C．60°D．90°3．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，则此斜坡的水平距离AC为（A）A．75mB．50mC．30mD．12m4．如图是横断面为梯形的河坝，根据图中数据，若AB＝(9＋4eq\r(3))m，则斜坡BC的坡比等于（D）A．1∶2B.eq\r(3)∶2C.eq\r(3)∶1D.eq\r(3)∶35．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝eq\f(5,13)，则点P的坐标为（B）A．(5，13)B．(5，12)C．(13，5)D．(12，5)6．(仁寿县期末)等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶eq\r(3)，则它的顶角为（C）A．30°B．45°C．60°D．120°7．已知锐角α满足eq\f(1,2)<cosα<eq\f(\r(2),2)，则α的取值范围是（C）A．0°<α<30°B．30°<α<45°C．45°<α<60°D．60°<α<90°8．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的正弦值是（A）A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)9．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100m，则A，B两点相距（A）A．100(cos35°＋sin35°)mB．100(cos35°－sin35°)mC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,sin35°)＋\f(100,cos35°)))mD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,sin35°)－\f(100,cos35°)))m10．图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（A）A.eq\f(1,sin2α)＋1B．sin2α＋1C.eq\f(1,cos2α)＋1D．cos2α＋1二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，小明想知道校园内一棵大树的高，他测得CB＝10m，∠ACB＝60°，请帮他算出树高AB为10eq\r(3)m.(保留根号)12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝eq\f(2,3)，则BC的长为4.13．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，则sinA＋cosA＝eq\f(7,5).14．如图，∠DBC＝30°，AB＝DB，利用此图求tan75°＝eq\r(3)＋2.15．如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里面盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面21.15cm.(sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)16．(建为县期末)如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝5，cosC＝eq\f(3,5)，则AB边的长为8.17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.如果AD＝2，那么tan∠BCD＝eq\r(2)－1.18．某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60m到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则BC约为82.0m；信号发射塔PQ的高度约为94.6m.(结果精确到0.1m，eq\r(3)≈1.732)【解析】设PC＝x，则AC＝x，BC＝eq\f(\r(3),3)x，∴x－eq\f(\r(3),3)x＝60.解得PC，BC，再由QC＝eq\f(\r(3),3)BC，PQ＝PC－QC，即可得出答案．三、解答题(共66分)19．(8分)计算：sin60°·cos30°＋sin245°－tan45°.解：原式＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)－1＝eq\f(1,4).20．(10分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件进行计算：(1)b＝20，∠B＝45°，求a，c；(2)a＝50eq\r(3)，b＝50，求∠A，∠B.解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠A＝45°，∴∠A＝∠B，∴a＝b＝20.又∵a2＋b2＝c2，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝20eq\r(2).(2)∵a＝50eq\r(3)，b＝50，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝100.又∵sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(50\r(3),100)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°.21．(10分)如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5m，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3m，求无人机飞行的高度．(结果精确到1m，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C.设AC＝xm，由题意得PQ＝5m，∠APC＝30°，∠BQC＝45°.在Rt△APC中，tan∠APC＝eq\f(AC,PC)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴PC＝eq\r(3)AC＝eq\r(3)x(m)．在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝eq\f(BC,QC)＝tan45°＝1，∴QC＝BC＝AC＋AB＝(x＋3)m，∵PC－QC＝PQ＝5m，∴eq\r(3)x－(x＋3)＝5，解得x＝4(eq\r(3)＋1)，∴BC＝4(eq\r(3)＋1)＋3＝4eq\r(3)＋7≈14(m)．答：无人机飞行的高度约为14m.22．(12分)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝eq\f(1,2)，AB＝3，求BD的长．(1)证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°.又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE.(2)解：连接CB，由题意知△BDC∽△CDA，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CB,AC)＝tan∠CAB＝eq\f(1,2)，设BD＝x，则CD＝2x，AD＝4x，AB＝3x＝3，∴x＝1，∴BD＝1.23．(12分)2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛232km.此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24km/h的速度航行．请计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？解：过点A作AD⊥BC于D，由题意知∠ABC＝28°＋25°＝53°，∠ACB＝59°－28°＝31°，BC＝232km，设AD＝x，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝53°，∴BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝eq\f(AD,tan53°)≈eq\f(3,4)x，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝31°，∴CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(AD,tan31°)＝eq\f(5,3)x，∵BD＋CD＝BC，∴eq\f(3,4)x＋eq\f(5,3)x＝232，解得x＝96，∴AD＝96(km)，∴AC≈2AD＝192(km)，∴192÷24＝8(h)，∴9＋8＝17.答：“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．24．(14分)我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系，为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形．例如，已知tanα＝eq\f(1,3)(0°＜α＜90°)，tanβ＝eq\f(1,2)(0°＜β＜90°)，求α＋β的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt△ABC和Rt△AED来解决．(1)利用图①可得α＋β＝45°；(2)若tan2α＝eq\f(3,4)(0°＜α＜45°)，请在图②的方格纸中构造直角三角形，求tanα的值．解：(1)提示：连接CD，证△ACD是等腰直角三