第六讲、资金等值计算

第六讲、资金等值计算资金的时间价值单利与复利名义利率与实际利率资金等值计算公式一、资金的时间价值不同时点发生的等额资金在价值上的差别成为资金的时间价值。资金的时间价值可从两个方面理解：

——资金随着时间的的推移，其价值会增加；

——资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。资金时间价值的大小取决于投资收益率、通货膨胀和风险因素。二、单利与复利商业银行存款以国库券的利息都是以单利计算的；商业银行的贷款则是以复利计算的。这比较符合资金这一要素在社会生产过程中运动的实际情况。在项目投融资决策评估中，一般是采用复利计息的。三、名义利率与实际利率银行每日挂牌公布的是名义利率名义利率减通货胀率（物价指数）则为实际利率符号和现金流量图以复利计算公式所采用的符号如下：

i——计息期内的有效利率；

N——计息期数；

P——现值，若干现金流量在现在时点的等值；

F——终值，若干现金流量在将来时点的等值；

A——连续一指定计息期数的等额系列的期末现金流量（或期末等值）。012345四、资金等值计算公式一次支付类型等额分付类型（一）一次支付类型一次支付终值公式一次支付现值公式两个例题例题1某企业为开发新产品向银行借款100万元，年利率为10%，借期5年，问5年后一次归还银行连本带息多少钱？例题2投资者有机会购买一块土地，已知该块土地在6年后将值70000元人民币。假定该块土地每年增值10%,那么投资者现在愿意出多少钱购买该块土地呢？一次支付终值公式一次支付现值公式1题：2题：（二）等额分付类型等额分付终值公式等额分付偿债基金公式等额分付现值公式等额分付资本回收公式例题3某公司为设立退休金，每年年末存入银行2万元，若存款利率为10%，按复利计算，第5年末基金总额为多少？1、等额分付终值公式题3解F=A(F/A,10%,5)=2×6.105=12.21(万元)例题4某厂欲积累一笔福利基金，用于3年后建造职工俱乐部。此项投资总额为200万元，银行利率12%，问每年末至少要存入多少钱？2、等额分付偿债基金公式题4解A=F(A/F,12%,3)=200×0.29635=59.27(万元)例题5如果某工程项目1年建成并投产，寿命10年，每年净收益为2万元，按10%的折现率计算，恰好能够在寿命期内把期初投资全部收回。问该工程项目期初所投入的资金为多少？3、等额分付现值公式题5解P=A(P/A,10%,10)=2×6.1445=12.289(万元)例题6一套运输设备价值30000元，希望在5年内等额收回全部投资，若折现率为8%，问每年至少应回收多少？4、等额分付资本回收公式题6解A=P(A/P,8%,5)=30000×0.25046=7514(元)第七讲项目投资评价方法现值法年值法收益/成本比内部收益率投资回收期一、现值法单一方案投资决策多方案比较投资决策具有不同寿命周期的备选方案投资决策残值问题的投资考虑（一）单一方案投资决策案例1案例2例题1一位朋友想投资于一家小饭馆，他在3年的各年末支付给你2000美元、4000美元和7000美元来归还10000美元的贷款。为了帮他这个忙，你将只收他10%的利息，否则你本可以在定期存款中获得相同的利息。考虑到就定期存款而论饭馆的风险大得多，以及以后3年中可能得通货膨胀，这一利率是很低的。按照他提供的偿还方式，你应该借给他钱吗？净现值表达式案例1分析032170004000200010000NPV=(0–10000)(P/F,10%,0)+(2000–

0)(P/F,10%,1)+(4000–

0)(P/F,10%,2)+(7000–0)(P/F,10%,3)=10000+2000×0.9091+4000×0.8264+7000×0.7513=–10000+1818+3306+5259=383>0

所以三次还款可接受，我可以借给朋友钱投资餐馆。案例2位于两个现有地铁站间的一个人行地下通道在接下来的50年间要花费80万美元，因节省乘客的时间每年会获得4万美元的收益。每年用于照明和看守服务的费用将为1万美元。如果资金的机会成本为10%，那么地下通道应不应该建呢？案例2分析4万元1万元80万元0150等额现值表达式NPV=–80+(4–1)(P/A,10%,50)=–50.26<0

不应建地下通道。课堂作业某公司的工程师们提议购买一种新设备来提高手动焊接操作的生产率。投资额是25000元，有5年的使用期，期末市场残值为5000元。由于采用新设备而带来产量的增加所增加的收益减去额外的经营成本之后，每年的净收益为8000元。如果公司的最低期望收益率为每年20%，那么这个方案是否可以接受？请用现值法进行求解评价。8000500025000012354解：

NPV=–25000+8000(P/A,20%,5)+5000(P/F,20%,5)=934.29>0

应该购买新设备。（二）多方案比较投资决策

——增量净现值案例用现值表述增量分析概念的等式案例3厄瓜多尔有一条铁路，它的路线是一个世纪前决定的，为了获得资金，向国家政府提交了一个重新定线的工程报告。其中一段可重新设定两条新线，它们的特点如下：资金的公共机会成本为12%。哪一个定线更经济？

定线1方案定线2方案初始费用（百万美元）102140年运营和维护费（百万美元）42年收益（百万美元）2026经济寿命（年）4040残值00案例3的解NPV1=–102+(20–4)(P/F,12%,40)=–102+16(8.244)=30(表明定线1方案合格)

相对于方案1，检测方案2：初始增量成本为

–140–（–102）=–38

增量收益为26–2–(20–4)=8

那么，

ΔNPV=NPV2–NPV1=–38+8(P/A,12%,40)=–38+8(8.244)=28>0

则，定线2比定线1方案好。用现值表述增量分析概念的等式如果ΔNPV≥0,则方案2优于方案1（三）具有不同寿命周期的

备选方案投资决策具有不同寿命周期的项目投资决策其方法是假设寿命短的投资将重复进行多次，直到它与寿命长的投资项目具有相同的寿命为止。案例4建设一个城市运输系统现在有两个备选的提议。第一个的服务寿命为20年，第二个为40年。系统的初始费用分别为1亿美元和1.5亿美元。两者包括外部效果在内的收益都等于每年0.3亿美元。资源的机会成本为12%，没有残值出现。案例5解析为使服务寿命相等，第一个投资在另一个20年内重复进行。现金流量图如下：0.31.01.040提案10.3401.51.00.540提案2（2–1）对方案1：

NPV1=0.3(P/A,12%,40)–1.0(P/F,12%,20)–1.0=0.3(8.244)–1.0(0.104)–1.0=2.47–0.1–1.0=1.37>0(第一个方案可接受)相对应的方案2：

ΔNPV=1.0(P/F,12%,20)–0.5=1.0(0.104)–0.5=0.104–0.5=–0.396<0(第二个方案不可接受)(四)残值问题的考虑通常一笔投资在寿命周期末会保留一些价值，这必须作为收益加以考虑。有时候，投资在寿命周期末会有一个负值，这表明着它的拆迁成本。案例6一条河上一座桥的初始成本为500万美元。在30年中他每年的收益为80万美元。桥寿命期末的残值估计为5万美元。渡河的另一个备选方案是建立一个渡口，初始成本为20万美元，每年收益为6万美元，10年的寿命期末有残值2万美元。如果公共基金的的机会成本被认为是15%，那么应该选择那个投资方案？案例6解析2020202226030805300500渡口和桥的现金流量图渡口桥10204807418183桥—渡口的现金流量图300渡口方案：

NPV渡=–20+6（P/A,15%,30）+（–20+2）（P/F,15%,10）+（–20+2）（P/F,15%,20）+2（P/F,15%,30）

=–20+6(6.566)+18(0.2472)+18(0.0611)+20(0.0151)=–20+39.96–4.45–11+0.03=13.9

桥—渡口：

ΔNPV=–480+74(P/A,15%,30)+18(P/F,15%,10)+18(P/F,15%,20)+3(P/F,15%,30)=–480+74(6.566)+18(0.2472)+18(0.0611)+3(0.0151)=–480+485.88+4.45+1.10+0.045=11.5>0(选择桥方案)二、年值法(有称年金法)净年值费用年值残值不等的寿命（一）年值法年值（又净年值法，NAV）是指收益年值和费用年值的差额。它主要是通过资金等值换算将项目净现值分摊到寿命期内各年（从第1年到第n年）的等额年值。其表达式：

NAV=NPV(A/P,i,n)

若NAV≥0,则项目可接受

若NAV<0,则项目不可接受案例1假如你正在考虑投资一自动洗衣店。洗衣机和烘干机各需花费5000美元。寿命期为3年，期末无残值。租金、工资、维护费大约每年1.1万美元。每年的总收入估计为2万美元，运营期为3年，对相似风险的投资，你的税前资金机会成本为20%。你暂且不考虑通货膨胀对你的决策的影响，你应该投资这个自动洗衣店吗？500011000200001230A=P(A/P,i,n)=5000(A/P,20%,3)=5000(0.47473)=2374$20000110002374年收入为2万美元，年总费用是1.1万美元+0.2374万美元=1.3274万美元。所以，投资的年值为20000-1.3274=6626美元≥0，表现为利润。值得投资这个洗衣店。（二）费用年值案例——

你以10.5万元现金购买一辆汽车，希望使用8年，然后给你儿子。资金的机会成本是10%，汽车的等额不变的年费用将是多少？解析：10.5万元是0时点一次性初始成本，必须转化为不变的年费用：

A=P(A/P,i,n)=105000(A/P,10%,8)=105000(0.18744)=19681.2$(三)残值在年值法中有两种常见的计算方法用来处理残值问题：第一种方法：

费用年值=(P–S)(A/P,i,n)+Si第二种方法：

费用年值=P(A/P,i,n)–S(A/F,i,n)案例2一台商用缝纫机的初始成本为2200美元，经过4年的经济寿命后残值为500美元，在不考虑通货膨胀的情况下，使用它的服装厂的税前资金机会成本为25%，其费用年值为多少？解析案例第一种方法：

费用年值=(P–S)(A/P,i,n)+Si=(2200–500)(A/P,25%,4)+500(0.25)=1700(0.42344)+500(0.25)=720+125=845$第二种方法：费用年值=P(A/P,i,n)–S(A/F,i,n)=2200(A/P,25%,4)–500(A/F,25%,4)=2200(0.42344)–500(0.17344)=932–87=845$两种方法的理解第一种方法要求残值S作为初始投资的一部分，在投资寿命结束时收回——折回现值，再向前分摊，因此费用年值中加进了残值的年利息。投资费用中的一部分（P–S）是被用掉的，因此必须用本金和利息来补偿。第二种方法是投资费用通过资本回收系数在寿命周期内向前分摊，残值是以负值出现，通过偿债基金系数向后分摊在寿命周期。（四）不等的寿命周期年值法有一个超过其他方法的最大优点，它可避免寿命期不等的重复投资问题。基本的假设是收益无差异，仅考虑费用年值就行了。案例3：收入和支出已知，比较备选方案

车床AB购买成本寿命残值年度收入年度支出i。=10%1000052000500022001500010070004000解答：

车床AB年度收入：年度支出：CRA=10000(A/P，10%，5)–2000（A/F，10%，5）：CRB=15000(A/P，10%，10)：净年金5000–2200–2310.38489.627000–4000–2441.18558.82具有较高净年金的车床B是较优的经济选择案例4某铺路承包商正考虑在小工作量工程中采用两种型号的自动卸货卡车。数据如下：承包商的资金机会成本为25%，选择哪个方案？

梅塞德斯-奔驰福特（Mercedes-Benz）（Ford）成本（元）150000100000年维修费（元）1000012000经济寿命（年）105残值（元）1500010000解析案例1、两种卸货车的现金流量图：福特的现金流量图011000010000120001010000010000001101510000150000梅塞德斯-奔驰的现金流量图福特的第一次实施其费用年值AC1为：

AC1=(100000–10000)(A/P,25%,5)+10000(0.25)+12000=90000(0.37185)+10000(0.25)+12000=33467+2500+12000=47967(元)福特的第二次实施部分的费用年值AC2为：

AC2=47967(元)梅塞德斯-奔驰的费用年值为：

AC=(150000–15000)(A/P,25%,10)+15000(0.25)+10000=135000(0.28007)+15000(0.25)+10000=37810+3750+10000=51560(元)

福特为优选本案例的要点是在年值法中，两方案的寿命周期不需明确等量化，只需要计算每个被选方案的第一个寿命周期的年值即可。*****终值法：终值法是指在某个终止时间或截止时间的数额。从动态的角度看，这种数额与所考虑的一系列不同时间安排的收入和/或支出是等值的。案例：

压缩机AB购买成本寿命残值年度运营支出i。=15%60006100040008000903200购买一台压缩机？解答：我们假定重置后具有相同的现金流

压缩机AB购买成本A=6000（F/P,15%,18）购买成本B=8000(F/P,15%,18)第一次重置A=（6000–1000）（F/P，15%，12）第一次重置B=8000（F/P，15%，9）第二次重置A=（6000–1000）（F/P，15%，6）运营支出A=4000（F/P，15%，18）运营支出B=3200（F/P，15%，18）第18年残值净终值–74252.72–26751.25–11565.30–303345.431000–414914.71–99003.63–28143.01–242676.34–369822.98

因为压缩机B具有较小的负终值，所以该方案是较好的经济选择三、收益/成本比此方法像前两种方法一样，仍然是建立在资金的时间价值基础上，以求合理有效。他将折现后的收益和成本处理为比率而不是差额。其规则是：

B/C≥1式中，B为折现后的收益，C为折现后的成本。公式变换：

B–C≥0或B≥C收益/成本法增量的问题公式（一）增量的问题

——案例1某省的高速公路部门正在试图对两个公路的噪音屏障方案进行比选。考虑到高速路对屏障物的特殊要求，我们应该选择木质还是金属材料？每种屏障的收益不同。这些收益涉及到降低噪音的有效性、屏障的美观度，以及对邻近公路的房主进行的优先调查所确定的民意接受度。通过一些超出本篇范围的手段，收益被简化为以美元作为单位的等额年金。每个被选方案的费用为初始成本和年维修费用。预计没有残值。寿命为20年，每公里的净费用和收益如下：

金属木材初始成本（美元）152200183800年维修费（美元）20003000年收益（美元）2410028900由于这是一个公益性项目，故不涉及到税收。两方案通货膨胀的影响实际上是相同的。分析中使用10%的最低期望收益率。案例1的分析金属材料的现金流量图221002010152200木质材料现金流量图183800259000120通常的分析方法金属材料的收益/成本比：

B/C=[22100(P/A,10%,20)]/152200=1.24>1木质材料的收益/成本比：

B/C=[25900(P/A,10%,10)]/183800=1.20>1因为1.24>1.20，所以应选择方案1，采用金属材料。正确的分析方法采用增量的比较，突出现金流现值的整体概念来分析，如图所示：3800316001020金属材料方案与木质材料方案的现金流之差金属材料方案与木质材料方案的现金流之差的收益/成本现值比：

B/C=[3800(P/A,10%,20)]/31600=[3800(8.514)]/31600=1.02>1

所以，正确的答案是选择方案，采用木质材料。为什么增量的比较是正确的？比较两个方案的净现值：

NPV1=–152200+22100(P/A,10%,20)=35959NPV2=–183800+25900(P/A,10%,20)=36713∆NPV=NPV2–NPV1=36713–35959=754>0所以，选择方案2，采用木质材料。（二）公式第一步，计算出收益/成本比所要求的净现金流：

(B–C)i=Kj第二步，运用公式如果结果B/C大于或等于1，证明备选方案合格，既B/C≥1当收益和成本计算净值之后为以等额支付序列，我们可以用（P/A,i,n）代替（P/F,i,j）。案例2一家中美洲房地产开发商，正在审查被政府机构重新开发的一块城市用地的两种可能用途。第一种方案是一个多层停车场，需要80百万比索的投资。在20年内，年收入将达31百万比索，预计年费用为12百万比索。在第20年末，这项财产将以原始成本出售，该价格是相似位置上房地产的典型预测价格另一种被选方案是一幢办公楼，投资为130百万比索，带来38百万比索的年收入，13百万比索的年费用。第20年末以130百万比索出售。所有上述估计都以目前基年的不变比索表示，使用10%的贴现率。政府机构要求使用收益/成本比发来决策，因为所提出的土地开发计划将成交国内开发银行以获取贷款支持。案例分析1方案净现金流量图198080251301302方案净现金流量图650502–1的净现金流量图采用方案2，建办公楼。（三）收益、成本和负收益显然，收益/成本比可通过向分母加入周期费用而发生改变，而不是想在增量法则中的净现金流计算过程中，从代表收益/成本比分数的分子中减去周期费用。案例3某国家欲修一缆索铁路提出两个方案，资源使用不变的货币单位，其机会成本为10%。所有收益和成本均以不变的百万元为单位（美元）。由于该项目为国有项目，故不支付所得税。两方案的数据如下：假如用收益/成本比法，并假定政府并没有确认一定要采纳两方案中的某一个，请对此做出评估，选择哪一个方案为好？

方案1方案2经济寿命（年限）4020残值1512年收益2522年运营和维修费53初始成本300160案例3解析方案2的现金流量图01122212403160160方案2的收益/成本比计算012515405300方案1的现金流量图01148134014020方案1减方案2的增量现金流量图两个方案的增量收益/成本比将成本处理为负收益是否会改变正确的结果？证明如下：四、内部收益率

（internalrateofreturn,IROR）公式内部收益率的直接计算IROR的试算内插法计算（一）公式内部收益率是使现金流量中收益的折现值与费用的折现值相等的百分率，即内部收益率也可定义为导致现金流量的净现值（NPV）等于零的折现率，即（二）内部收益率的直接计算小案例——1993年11月11日以总额5000美元购买美林即付信托资产（Merrill-ynchReadyAssetTrust）于两年后的同日以5926美元出售。在前面的计算中已经考虑了税收和通货膨胀。这项投资的收益率为多少？案例求解（三）IROR的试算内插法计算内部收益率的公式是一个高次方程，不容易直接求解，通常采用试算内插法求IROR的近似解。求解过程如下：先给一个折现率i1,计算相应的NPV(i1),若NPV(i1)>0,说明要求的IROR>i1；若NPV(i1)<0，说明要求的IROR<i1。据此，将折线率修正为i2,求NPV(i2)的值。如此反复，逐步逼近，最终求得比较接近的两个折现率im和in（im<in

）,使得NPV(im)>0NPV(in)<0。然后用线性插值法确定IROR的近似值。其计算公式如下：NPVNPV(im)NPV(in)i*≈IRORABio内插发求IROR图解案例某项目净现金流量如表所示，当基准折线率i0=12%时，试用内部收益法判断该项目在经济上是否可接受。012345净现金流量–1002030204040求解案例设i1=10%,i2=15%,则

NPV1=–100+20(P/F,10%,1)+30(P/F,10%,2)+20(P/F,10%,3)+40(P/F,10%,4)+40(P/F,10%,5)=10.16(万元)NPV2=–100+20(P/F,15%,1)+30(P/F,15%,2)+20(P/F,15%,3)+40(P/F,15%,4)+40(P/F,15%,5)=–4.02(万元)

用内插法计算IROR：

案例2某投资项目提出两个方案A和B，其各自的年现金流入如下表所示，其基准折现率为10%。评价哪个方案最优。年份01~10A方案净现金流（万元）–20039B方案净现金流（万元）–10020分析NPVA=–200+39(P/A,10%,10)=39.64NPVB=–100+20(P/A,10%,10)=22.89–200+39(P/A,IRRA,10)=0–100+20(P/A,IRRB,10)=0

IRRA=14.4%

IRRB=15.1%进一步评价△NPV=–100+19(P/A,10%,10)=16.75>0–100+19(P/A,△

IRR,10)=0△

IRR=13.8%>10%所以，A方案优于B方案。差额内部收益率五、投资回收期静态投资回收期动态投资回收期（一）静态投资回收期投资回收期就是从项目投建之日起，用项目各年的净收入将全部投资收回所需的期限。能使公式成立如果投资项目每年的净收益相等，投资回收期可用下式表示：对于各年净收益不等的项目，投资回收期通常用下列公式计算：式中的T为项目各年累计净现金流量首次为正值或零的年份判别标准如下：设基准投资回收期为Tb,则若Tp≤Tb,则项目可接受；若Tp>Tb,则项目不可接受。静态指标的缺点没有反映资金时间价值他舍弃了回收期以后的现金流，故不能全面反映项目在寿命期内的真实效益，难以对不同方案的比较选择做出正确判断。静态指标的优点概念清晰，易理解；不但在一定程度上反映项目的经济性，而且反映项目的风险大小。（二）动态投资回收期主要是克服静态指标没有考虑资金时间价值的缺点。动态投资回收期T*p能使下式成立所以，各年净现金流不等的动态投资回收期公式：案例1某项目的投资及年净收入数据如表所示，基准投资回收期为6年，运用静态投资回收期指标评价项目是否可接受？012345678910合计1、建设投资2、流动资金3、总投资（1+2）4、收入5、支出（不包括投资）6、净收入（4-5）18018024024080250330300250504003001005003501505003501505003501505003501505003501505003501505002507503700265010507、累计未收回的投资1804207507006004503001500某项目的投资及年净收入表（单位：万元）Tp=8-1+150/150=8Tp>Tb所以，项目不可接受。案例2某项目有关数据如表所示。基准折现率i0=10%,基准投资回收期T*b=8，运用投资回收期指标判断项目是否可接受？

年份0123456789101、投资支出2、其他支出3、收入4、净现金流量5、折现值6、累计折现值20–20–20–20500–500–454.6–474.6100–100–82.6–557.2300450150112.7–444.5450700250170.8–273.7450700250155.2–118.5450700250141.122.6450700250128.3150.9450700250116.6267.5450700250106.0373.545070025096.4469.9动态投资回收期计算表T*p=6–1+118.5/141.1=5.84(年)T*p=5.84(年)<T*b=8（年）所以，该项目可接受。五、基准折现率确定的讨论资金成本最低希望收益率截止收益率基准折现率确定的原则（一）资金成本资金成本及使用资金进行投资活动的代价。通常指单位资金成本，用百分数表示。企业投资活动有三种资金来源——借贷资金、新增权益资本和企业再投资资金。因此，

——借贷资金成本

——权益资本成本

——加权平均资金成本1、借贷资金成本借贷资金的成本一般用年利率表示。如果是银行贷款，税前资金成本即