第八讲 等候线模型

第八讲等候线模型物流管理系薛伟霞队列——排队论运行指标：系统中没有任何个体的概率；等候线中等待个体的平均数；系统中个体的平均数；一个个体在等候线中所花费的平均时间；一个个体在系统中花费的平均时间；一个个体到达以后不得不等待以接受服务的概率。实践——花旗银行自动取款机的等待时间美国花旗银行纽约分部负责近250家银行业务中心。每个中心提供一台或多台自动取款机(ATM)，这些自动取款机可以执行多种银行业务。在每个服务中心，顾客随机到达，然后使用某一台自动取款机的服务，并形成等候线。为了确定在某一特定业务中心区域内自动取款机的数量，管理者需要得到关于每位顾客的平均等候时间以及平均服务时间的信息。等候线的运作参数，诸如等候线中顾客的平均数量、每位顾客的平均等待时间以及新到达的顾客不得不等待的概率等信息，会帮助管理者确定各个业务区域内自动取款机的数量。实践——花旗银行自动取款机的等待时间例如，位于曼哈顿闹市区的银行业务中心，每天的最高顾客到达率为每小时172小时。使用拥有6台自动取款机的多路线等待线模型时可以得出：88%的顾客必须等待，并且顾客的平均等待时间为6-7分钟。我们认为这种服务水平是不可接受的。利用等候线模型进行预测，我们得出的建议是：在可接受的服务水平的要求下，需要将该地区的自动取款机增加到7台。等候线模型的使用为各业务中心区域增加自动取款机提供了指导。主要内容等候线系统的结构到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线模型等候线模型中的一般关系等候线的经济性分析案例——伯格.度姆快餐店伯格.度姆快餐店出售火腿汉堡、奶酪汉堡、法式油炸食品、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特色食品和甜点可供选择。虽然伯格.度姆快餐店希望能够为每位顾客提供即时的服务，但是很多时候，到达的顾客远远多于伯格.度姆快餐店的服务人员所能接待的人数。因此，顾客们不得不排队，以等候所点快餐并取走多点的食品。伯格.度姆快餐店担心，它目前所用的顾客服务方式正导致过长的等候时间。管理层已经提出要求，需要对等候线进行研究，以开发一个能够减少等待时间、提高服务质量的最佳服务方式。单列等候线顾客到达服务生接收点餐并满足点餐要求等候线系统点餐完毕后顾客离开到达间隔分布顾客的到达规律可以用泊松概率分布来很好地描述。泊松概率函数可以计算在某个时间段内，有x个顾客到达的概率。x——在此时间段内到达的人数；λ——每个时间段内到达的平均人数；e=2.71828.伯格.度姆快餐店顾客到达的概率平均每小时到达的顾客人数为45人。λ=45名顾客/60分钟=0.75名顾客/分钟。伯格.度姆快餐店顾客到达的概率到达顾客概率00.472410.354320.132930.033240.0062≥50.0010服务时间分布服务时间——从服务开始，某位顾客在服务台所花费的时间。服务时间的概率分布可以用指数概率分布来表示。利用指数分布计算服务时间小于或等于时间长度t时的概率：μ——每个时间段内可接受服务的个体的均值；e=2.71828.伯格.度姆快餐店的服务时间分布每个服务生平均每个时间能为60位顾客提供点餐服务。平均服务率：μ=1名顾客/分钟。其他排队原则——先到先服务(FCFS)稳态运行——开始或起始阶段称为过渡（瞬时）阶段，当系统正常或稳态运行时，过渡（瞬时）阶段结束。等候线模型描述了等候线的稳态运行参数。到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型的运行参数λ——每个时间段内到达的平均数（平均到达率）μ——每个时间段内服务的平均数（平均服务率）1、系统中没有任何个体的概率：2、等候线中个体的平均数：3、系统中个体的平均数：到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型的运行参数4、一个个体在等候线中所花费的平均时间：5、一个个体在系统中花费的平均时间：6、某位刚到达的个体必须等待的概率：7、系统中同时有n个个体的概率：伯格.度姆快餐店的运行参数平均到达率λ=0.75平均服务率μ=11、2、3、伯格.度姆快餐店的运行参数4、5、6、伯格.度姆快餐店的运行参数伯格.度姆快餐店的等候线系统中有N位顾客的概率顾客人数概率00.250010.187520.140630.105540.079150.059360.04457个或更多0.1335改进等候线运作1、通过创造性的设计变更或利用新技术来提高平均服务率μ。2、增加服务渠道，这样能够使更多的顾客得到即时服务。伯格.度姆改进后的运行参数雇佣一名上菜员帮助收银台旁的点餐员。平均服务率由每小时60人上升到75人。平均到达率λ=0.75平均服务率μ=1.25伯格.度姆改进后的运行参数系统没有顾客的概率0.400等候线中顾客的平均人数0.900系统中顾客的平均人数1.500一个顾客在等候线中花费的平均时间1.200分钟一个顾客在系统花费的平均时间按2.000分钟一位到达的顾客必须等候的概率0.600系统中有7位以上（含7位）顾客的概率0.028课堂练习针对伯格.度姆快餐店的单列等候线，假设平均到达率增加到每分钟1名顾客，平均服务率增加到每分钟1.25位顾客。请计算在这个新系统下的各运行参数。与原来的系统相比，这个新系统的服务是改善了还是变差了？讨论一下两者的差异，并指出造成差异的原因。到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线模型多列等候线——包括两个或两个以上服务渠道，假设这些服务渠道就服务能力而言是相同的。在多列系统中，到达的个体在单列等候线中等待，然后移动到第一个可用的渠道接受服务。伯格.度姆快餐店的双渠道等候线顾客到达渠道1服务生A等候线点餐完毕后顾客离开渠道2服务生B顾客到下一个营业渠道多列等候线运行参数满足下列条件：到达服从泊松分布；各个渠道的服务时间服从指数分布；各个渠道的平均服务率μ相同；到达者在单列等候线中等候，然后移动到第一个可用的渠道接收服务。运行参数λ表示系统的平均到达率；μ表示每个渠道的平均服务率；k表示渠道数。1、系统中没有任何个体的概率：2、等候线中个体的平均数：运行参数3、系统中个体的平均数：4、一个个体在等候线中所花费的平均时间：5、一个个体在系统中花费的平均时间：运行参数6、某位刚到达的个体必须等待的概率：7、系统中同时有n个个体的概率：到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线中的P0的值比率（λ/μ）渠道的数量（k）23450.150.86050.86070.86070.86070.200.81820.81870.81870.81870.250.77780.77880.77880.77880.300.73910.74070.74080.74080.750.45450.47060.47220.47240.800.42860.44720.44910.44931.000.33330.36360.36730.36781.200.25000.29410.30020.30111.400.17650.23600.24490.24631.800.05260.14600.16160.16462.000.11110.13040.1343伯格.度姆快餐店的双渠道系统如果管理者想对增开第二个点餐工作台（以便能同时为2位顾客提供服务）的可行性进行评估。假设在单列等候线中排队的第一位的顾客首先到达空闲的服务生处，接收服务。平均到达率为0.75位顾客/分钟，每个渠道的服务率为1位顾客/分钟。伯格.度姆快餐店的运行参数伯格.度姆快餐店双渠道系统中有n位顾客的概率顾客人数概率00.454510.340920.127830.047940.0180≥50.0109管理层的决策运行参数一名员工的单列系统两名员工的单列系统每个渠道一名员工的双渠道系统P0系统没有顾客的概率0.250.4000.4545Lq等候线中顾客的平均人数2.250.9000.1227L系统中顾客的平均人数31.5000.8727Wq一个顾客在等候线中花费的平均时间3分钟1.200分钟0.1636分钟W一个顾客在系统花费的平均时间4分钟2.000分钟1.1636分钟Pw一位到达的顾客必须等候的概率0.750.6000.2045系统中有7位以上（含7位）顾客的概率0.13350.0280.0109等候线模型中的一般关系Lq等候线中个体的平均数L系统中顾客的平均人数Wq一个顾客在等候线中花费的平均时间W一个顾客在系统花费的平均时间里特导出方程(不论到达是否服从泊松分布，服务时间是否服从指数分布)例题在一次对墨菲食品连锁店的食品杂货收银台的研究中，有分析家得出：该店的顾客到达服从平均到达率为每小时24位顾客的泊松分布；但是他还发现，服务时间服从平均服务率为每小时30位顾客的正态分布，而不是指数分布。通过一个对顾客实际等候时间的研究发现，每位顾客在系统中平均花费的时间为4.5分钟。该等候线系统的运行参数等候线的经济性分析总成本——等候成本和服务成本。Cw——每个个体在每个时间段内的等候成本；L——系统中个体的平均数；Cs——每条渠道在每个时间段内的服务成本；k——渠道数；TC——每个时间段内的总成本。总成本是等候成本与服务成本之和：伯格.度姆快餐店的经济性分析等候成本，每分钟花在每位等候顾客身上的成本。等候成本为每小时10美元。服务成本，与每个服务渠道的运作直接相关的成本。包括服务生的薪水、福利以及其他与服务渠道的运作相关的直接成本。根据估计，每小时为7美元。伯格.度姆快餐店的经济性分析单列系统（L=3位顾客）双渠道系统（L=0.8727位顾客）等候线模型中的等候线成本曲线、服务成本曲线和总成本曲线的大体形状其他等候线模型肯德尔（D.G.Kendall）提出了一套符号，这套符号有助于对已有的许多不同的等候线模型进行分类。A/B/kA表示达到的概率分布；B表示服务时间的概率分布；k表示渠道数。通常使用的标记字母：M——到达服从泊松分布或服务时间服从指数分布。D——到达或服务时间是确定的或持续不变的；G——到达或服务时间服从某种已知均值和标准差的一般概率分布。练习莱克城地区航空公司的所有飞机乘客在进入登机区域之前必须穿过安