第八章 非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统分析8.1非线性控制系统概述8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响8.3相平面法8.4描述函数法非线性现象的普遍性非线性是宇宙间的普遍规律非线性系统的运动形式多样，种类繁多线性系统只是在特定条件下的近似描述典型非线性特性

一、研究非线性控制理论的意义8.1非线性控制系统概述继电特性饱和死区(不灵敏区)间隙1、不能应用叠加原理非线性系统与线性系统的根本区别：非线性系统不满足叠加原理线性系统的运动特征与输入幅值、系统的初始状态无关，通常是在典型输入函数和零值初始条件下进行研究，但非线性系统不能这样进行研究。二、非线性系统运动的特殊性2、稳定性分析复杂线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用和初始条件无关。非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状态、输入信号有直接关系。非线性系统的某些平衡状态(如果不止有一个平衡状态的话)可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。时间响应曲线平衡状态：x=0x=1平衡状态：变量对时间的导数全为零的状态。3、可能存在自振荡现象非线性系统在没有外界周期信号的激励下，能以固有的振幅和固有的频率产生稳定的振荡，即所谓的自振荡（自持振荡）。在控制系统中，自激振荡会造成机械磨损、能量消耗、并带来控制误差等，自激振荡是要设法抑制的。自振荡是非线性系统分析中的重要的内容之一。4、频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基波分量)外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线性畸变。三、非线性系统的分析与设计方法1.相平面法--基于时域分析的图解法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶系统。2.描述函数法—基于频域的等效线性化方法通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。3.逆系统法运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的发展方向。4、小范围线性近似法

在平衡点近似线性化方法，通过在平衡点附近进行泰勒展开，可将非线性微分方程化为线性微分方程，然后按线性系统的理论进行处理。该方法局限于小区域研究。5、逐段线性近似法

将非线性系统近似为几个线性区域，在每个区域用相应的线性微分方程描述，将各段的解合在一起即可得到系统的全解。8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响一、非线性系统等效增益系统输入输出关系（稳态）：等效增益：线性系统：k为常数。非线性系统：k变化一）、饱和特性xya-a斜率k0对系统的影响：使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利；使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。二、常见非线性二）、死区特性△-△0斜率kxy对系统的影响：使系统产生稳态误差；当系统输入端存在小扰动信号时，在系统动态过程的稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响。三）、间隙特性对系统的影响：增大系统的稳态误差，降低系统的稳态精度，使过渡过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。一般来说，间隙特性对系统总是有害的，应该消除或消弱它的影响。0yxh-h斜率kc-c四）、继电特性0-MMyx对系统的影响：可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；如选得合适可能提高系统的响应速度。理想继电气特性其他继电特性0yx-MM-hh滞环+继电0yx-MM-△△死区+继电0yx-MM-△△死区+间隙+继电三、非线性对系统运动影响

当e很小→等效增益k=M/e很大kK根迹增益很大特征根s1、2=-1±j∞则出现高频小幅值震荡8.3相平面法

相平面法由庞加莱1885年首先提出，是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部信息。相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。相平面法绘制步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统。一、相平面基本概念下图为二阶线性系统的结构图描述系统误差的微分方程为K1/s1/(Ts+1)误差信号的拉氏变换为若输入信号为单位阶跃函数，则当t≥0时，有解这个微分方程可以确定和若以为坐标轴，作二维状态平面，这个平面成为相平面。这两个变量称为相变量。那么对应于相平面上的一个点。系统的每一状态(即“相”)均对应于相平面上的一点，将每一时刻的的值构成的点都绘在相平面上，并按时间的先后连接起来，就得到这个系统的变化轨迹线，称为相轨迹。用箭头表示时间增大的方向。相平面和相轨迹簇组成了相平面图可以直观地表明一阶或二阶系统在各种初始条件下的运动过程一般的二阶系统均可表示为改写成若取为横坐标，为纵坐标，则是相轨迹的斜率，相轨迹上任何一点都满足这个方程。若令(常数)则有:称其为等倾线方程根据等倾线：相平面上的一条曲线，当相轨迹与该线任意一点相交，则切线斜率相同。二相平面图的绘制方法1、解析法例8－1试绘制单位质量自由落体运动的相平面图解析法适用于由较简单的微分方程描述的系统解以地面为参考零点，向上为正，x为位移，则有又所以等式两端积分，有整理后得通过相平面图可以分析物体的运动情况整理后得例8－2

二阶系统的微分方程为解根据题设可写成等式两端积分，有整理后得试绘制系统的相平面图这时有自振荡结论：1、在上半平面，系统状态沿相轨迹曲线运动的方向是x增大的方向，即向右移动；在下半平面向左移动2、同时满足和的点称为奇点

3、自持振荡的相轨迹是封闭曲线4、相轨迹通常与x轴垂直相交2、等倾法任何一条曲线都可以用有限段足够短的直线来逼近，那么通过等倾线法就可以绘制出系统的相平面图。等倾线是指相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。即则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为k，该曲线称为等倾线。设斜率为k，则有等倾线斜率注1：线性系统的等倾线为直线；注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。题设可改写成为例8－2

绘制下面系统的相轨迹解根据整理后得到相轨迹的等倾线方程为若令ξ=0.5，ω=1，则有K-1-1.2-1.4-4-∞∞52.50.330tg-1K13513012510490tg-1907968180k是相轨迹切线的斜率-1/(1+k)是等倾线的斜率等倾线为直线令即题设可改写成为例8－3绘制下面系统的相轨迹解根据整理后得到相轨迹的等倾线方程为等倾线为曲线解：例8-4:用等倾线法绘制的相轨迹。当以(x0,0)为初始条件时，是一个圆。a=-∞…，-2，-1，-0.5，0，0.5…∞时画等倾线注意事项(4)等倾线分布越密，相轨迹越准确。(3)（非平衡点）相轨迹与x轴垂直相交；(2)上半平面，故x的走向应沿x的增加的方向由左向右，下半平面反之；(1)坐标轴x和

比例尺相同；作业：8-1（1）、2内容概要1、非线性系统的特征。

1）不能应用叠加原理

2）稳定性分析复杂

3）可能存在自震荡

4）频率特性发生畸变2、等效增益及常见非线性

1）等效增益变化

2）饱和、继电、间隙、死区等3、相平面分析方法

1）若以

x和x的导数为坐标轴，作二维状态平面，这个平面称为相平面。这两个变量称为相变量。2）解析法3）等倾线法线性：等倾线为直线非线性：曲线

K为相轨迹的斜率。4、相平面相轨迹注意事项：注意事项(4)等倾线分布越密，相轨迹越准确。(3)（非平衡点）相轨迹与x轴垂直相交；(2)上半平面，故x的走向应沿x的增加的方向由左向右，下半平面反之；(1)坐标轴x和

比例尺相同；三、线性系统的相轨迹

1.线性一阶系统的相轨迹微分方程：相轨迹方程：设系统初始条件为c(0)=c02.线性二阶系统的相轨迹微分方程：特征根：相轨迹微分方程：等倾线方程：讨论二阶线性系统的相轨迹1.b<0时2.b=0时3.b>0时(1)0<z<1s1s2--具有负实部的共轭复根(2)z=0s1s2--互异负实根(3)z=1s1s2--相等负实根(4)z>1s1s2--一对纯虚根(5)-1<z<0s1s2--具有正实部的共轭复根(6)z≤-1s1s2--两个正实根四、奇点和奇线1.奇点--同时满足和的点。奇点一定位于相平面的横轴上；相轨迹在奇点处切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此相轨迹族曲线在奇点处发生相交；经过奇点的相轨迹有多条，而经过普通点的相轨迹只有一条；不同时满足和的点，称普通点。在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零，对二阶系统而言，系统不再发生运动，处于平衡状态，因此相平面上的奇点也称为平衡点。奇点(0,0)的类型焦点系统特征根是具有负实部的共轭复根时，奇点为稳定焦点；系统特征根是具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点。节点系统特征根是具有负实根时，奇点为稳定节点；系统特征根是具有正实根时，奇点为不稳定节点。鞍点系统特征根是具有一正一负实根时，奇点为鞍点。中心点系统具有两个共轭纯虚数根，奇点称为中心点。j0j0j0稳定焦点中心点不稳定节点不稳定焦点鞍点j0λ2λ1j0λ1λ2二阶系统奇点(0,0)的类型λ1j0λ2节点非线性系统的奇点类型奇点附近关于△x的线性二阶微分方程：

将

在奇点处展开成泰勒级数，略去高次项。求解上式特征根，从而判断奇点类型。

线性系统只有一个平衡状态，因此，只有一个奇点。对零输入的线性二阶系统而言，奇点位于相平面的坐标原点。只要知道奇点的位置和类型，奇点附近的相轨迹的形状就确定了，运动规律也就知道了。

非线性二阶系统可能具有多个平衡状态，也就有多个奇点。2.奇线--将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹。

非线性系统有一个与线性系统的完全不同的运动状态，即自持振荡，那么，在相平面上则表现为一个稳定的极限环

极限环分为稳定极限环、不稳定极限环和半稳定极限环三种类型。

极限环是一条封闭的相轨迹，它附近的相轨迹都渐进地趋向它或从它离开。

极限环是非线性系统的特有的现象，只发生在非守恒系统中，这种运动是由非线性特性，导致系统的能量交替变化。它与无阻尼线性二阶系统的等幅振荡是不同的。稳定极限环

如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹都渐进地趋向于这个极限环，任何较小的扰动使系统离开极限环后，最终相轨迹仍回到这个环上，这样的极限环称为稳定的极限环。系统沿极限环的运动表现为自持振荡。不稳定极限环

如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹都从极限环发散出去，任何较小的扰动使系统离开极限环后，系统的状态将远离极限环或趋向平衡点，这样的极限环称为不稳定的极限环。半稳定极限环

如果由极限环内部起始的相轨迹从极限环发散出去，由外部起始的相轨迹渐进地趋向极限环；或者由内部起始的相轨迹渐进趋向极限环，由外部起始的相轨迹从极限环发散出去，这样的极限环称为半稳定的极限环。

这种极限环不会产生自持振荡，系统的运动最终会趋向于极限环内的奇点或远离一个或数个极限环。例8-5:已知非线性系统的微分方程为试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。解：系统相轨迹微分方程：奇点(0,0)处系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根，故奇点(0,0)为稳定的焦点。奇点(-2,0)处系统在奇点(-2,0)处有一正一负二个实根，故奇点(-2,0)为鞍点。实线为分隔线，虚线为相轨迹

由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画出系统相平面图的大致形状，如下图所示。非线性系统的相平面图五、非线性系统的相平面分析相平面中的每一条相轨迹由结构参数和初始条件确定。相平面中的每一条相轨迹是否连续？系统运行位移、速度不可能突变，相平面中的每一条相轨迹必定连续！非线性相轨迹如何分析？系统有非线性部分和线性部分组成。若仅线性则相轨迹易画。非线性的特点：分段线性。又根据相轨迹连续，不同的线性画出，然后连接即可。方法：用几条分界线将相平面分为几个线性区域；按各段的微分方程画出各区域的相轨迹；将各区域的相轨迹连成实的连续曲线。1.具有死区特性的非线性控制系统例8-6系统初始状态为零，输入r(t)=R.1(t)，试绘制偏差

e

的相平面图。系统微分方程：给定参数：T=1，Kk=1在I区：稳定焦点相轨迹为向心螺旋线

(z=0.5)在II区：在III区：稳定焦点相轨迹沿直线收敛相轨迹为向心螺旋线

(z=0.5)

根据区域奇点类型及对应的运动形式，作相轨迹如下图实线所示。

例8-7已知：T=1,K=4,e0=M0=0.2，若系统开始处于零初始状态，试做出r(t)=R.1(t)时系统的相平面图。2.具有饱和特性的非线性控制系统解：根据结构图，有：在I区：等倾线方程：等倾线为一簇水平线，斜率为a。渐近线(a=0)：在III区：等倾线方程：同理有渐近线(a=0)：在II区：将数据代入：特征根：奇点(原点)为稳定焦点

根据区域奇点类型及对应的运动形式，作相轨迹如下图所示。作业：8-3（1）（4）

8-6内容概要1、一阶、二阶线性系统相轨迹。特征根与相轨迹图形。2、奇点及奇线。奇点的类型：焦点、节点、中心点、鞍点。极限环：稳定、不稳定、半稳定。3、非线性系统奇点的类型：平衡点求法。平衡点线性化。按线性系统分析其平衡点。4、非线性系统相轨迹。方法：用几条分界线将相平面分为几个线性区域；按各段的微分方程画出各区域的相轨迹；将各区域的相轨迹连成实的连续曲线。8.4描述函数法引言：对于线性系统,当输入是正弦信号时,输出稳定后是相同频率的正弦信号,其幅值和相位随着频率的变化而变化,这就是利用频率特性分析系统的频域法的基础。对于非线性系统,当输入是正弦信号时,输出稳定后通常不是正弦的,而是与输入同频率的周期非正弦信号,它可以分解成一系列正弦波的叠加,其基波频率与输入正弦信号的频率相同。G(s)非线性环节X(t)设非线性环节的正弦输入为x(t)=Xsinωt,则输出为设非线性系统的结构图如下图所示式中：令n＝1,2,…。

由于系统通常具有低通滤波特性,其他谐波各项比基波小,所以可以用基波分量近似系统的输出。假定非线性环节关于原点对称,

则输出的直流分量等于零,即A0＝0,则：

y(t)=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin(ωt+φ1)1、定义：非线性环节的描述函数为非线性环节输出的基波与输入信号二者的复数符号的比值,即

式中,

N为描述函数,A是正弦输入信号的幅值,Y1是输出信号基波的幅值,φ1为输出信号基波与输入信号的相位差。一、描述函数的基本概念

如果非线性环节中不包含储能机构(即非记忆),即N的特性可以用代数方程(而不是微分方程)描述,则y(t)与频率无关。描述函数只是输入信号幅值A的函数,即N＝N(A),

而与ω无关。例8-8：设继电特性为计算该非线性特性的描述函数。解：M-M非线性特性为输入

x的奇函数时：

y(t)为奇函数，且又为半周期对称时：非线性特性为输入x

的奇函数时：例8-9:设某非线性元件的特性为试计算其描述函数。解：Qy(x)为x的奇函数

Qy(t)为奇函数，且又为半周期对称时由定积分公式得：2、非线性系统描述函数法分析的应用条件(1)非线性系统应简化一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式；-x(t)非线性部分Ny(t)c(t)r(t)线性部分G(s)(2)非线性环节的输入输出特性应为：y(x)是x

的奇函数，即f(x)=-f(x)，或正弦输入下的输出为t的奇对称函数，即y(t+p/w)=-y(t)，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即A0=0；(3)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。P4378-12设三个非线性系统的非线性环节一样，其线性部分传递函数如下列各式，用描述函数法分析系统时，哪个系统分析的准确度高？120.111010020400.673显然（2）具有更好的低通滤波特性，所以系统分析的准确度更好。哪个低通特性好？3、描述函数的物理意义

非线性环节仅考虑基波分量，非线性环节的描述函数表现为复数增益的放大器。注意：描述函数表现为关于输入正弦信号的幅值A的复变增益放大器，这正是非线性环节的的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。二、典型非线性特性的描述函数非线性元件的描述函数计算步骤：1.设非线性元件的输入x(t)=Asinwt根据该元件的特性，确定其输出y(t)的表达式；2.将y(t)展成傅立叶级数；3.取级数中的基波，求描述函数。典型非线性特性的描述函数1.理想继电器特性2.死区继电器特性3.滞环继电器特性4.饱和特性5.死区饱和特性6.死区特性7.间隙特性8.变增益特性9.有死区的线性特性10.库仑摩擦加粘性摩擦特性Δ三、非线性系统的简化1.非线性特性的并联

若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。2.非线性特性的串联--图解法

两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其前后次序，调换次序则等效非线性特性亦不同。3.线性环节的等效变换--结构框图化简G1G2NG3r(t)=0c(t)--G1G2NG3r(t)=0c(t)1/G1--G1G2NG3r(t)=0c(t)1/G1--G1G2NG3r(t)=01/G1-r(t)=0c(t)-NG3r(t)=01/G1-r(t)=0c(t)r(t)=0-Nc(t)G1G2NG3r(t)=0c(t)--r(t)=0-Nc(t)或者直接求解：P437习题8-14将非线性系统简化成典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。（1）NG1(s)H1(s)r=0c--NG1(s)1+H1(s)r=0c-NG1(s)[1+H1(s)]r=0c-结构图化简：直接求解：NG1(s)[1+H1(s)]r=0c-（2）NG1(s)H1(s)r=0c--NG1(s)H1(s)r=0c--NH1(s)r=0c-Nr=0c-结构图化简直接求解：N(A)G(s)r(t)=0c(t)-四、非线性系统稳定性分析的描述函数法1.变增益线性系统的稳定性分析闭环系统的特征方程：设G(s)的极点均在s左半平面当G(jw)不包围(-1/K，j0)点时，系统闭环稳定；当G(jw)

包围(-1/K，j0)点时，系统闭环不稳定；当G(jw)

穿过(-1/K，j0)点时，系统临界稳定。j0G(jw)当G(jw)不包围(-1/K，j0)直线，则系统闭环稳定；当G(jw)包围(-1/K，j0)直线时，则系统闭环不稳定。

设K1≤K≤K2，则(-1/K，j0)为复平面实轴上的一段直线。j0G(jw)2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性-x(t)非线性部分N(A)y(t)c(t)r(t)线性部分G(jw)设G(s)的极点均位于s左半平面闭环系统的特征方程：--非线性环节的负倒描述函数G(jw)与

-1/N(A)曲线无交点：G(jw)包围-1/N(A)，非线性系统不稳定。G(jw)不包围-1/N(A)，非线性系统稳定。非线性系统的稳定性判据：

若G(jw)不包围

-1/N(A)曲线，则非线性系统稳定；若G(jw)包围

-1/N(A)曲线，则非线性系统不稳定。内容概要一、描述函数的基本概念1、定义2、非线性系统描述函数法分析的应用条件二、典型非线性特性的描述函数三、非线性系统的简化四、非线性系统稳定性分析的描述函数法作业讲解：8-12、14例8-5:已知非线性系统结构如图所示，试分析系统的稳定性。解：对于线性环节，解得穿越频率：(例5-2）非线性环节为库仑摩擦加粘性摩擦特性，查表8-1得G(jw)包围-1/N(A)曲线非线性系统不稳定3.非线性系统存在周期运动时的稳定性分析(考研点）当G(jw)与-1/N(A)

有交点时可解得交点处的频率w和幅值A或

系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡，即每一个交点对应着一个周期运动。

如果该周期运动能够维持，即考虑外界小扰动作用使系统偏离该周期运动，当该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动。非线性系统存在周期运动的四种形式设系统周期运动的幅值为A0。当外界扰动使非线性环节输入振幅减小到A1时，

G(jw)包围(-1/N(A1),j0)点，系统不稳定，振幅增大，最终回到N0点。外界扰动使输入振幅增大到A2时，

G(jw)不包围(-1/N(A2),j0)点，系统稳定，振幅减小，最终回到N0点。

因此N0点对应的周期运动是稳定的。外界扰动使非线性环节输入振幅减小到A2时，G(jw)包围(-1/N(A2),j0)点，系统不稳定，振幅继续增大而发散；外界扰动使输入振幅减小到A1时，G(jw)不包围

(-1/N(A1),j0)点，系统稳定，振幅减小，最终衰减到零；

因此N0点对应的周期运动是不稳定的。N20