第五章-刚体力学

第五章刚体力学1刚体运动概述：刚体：在任何情况下形状和大小都不变的物体。即任意两质点之间的距离保持不变的质点系（理想模型）。

刚体——一种特殊质点系

质点系

质点

刚体2用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标的个数。自由刚体的自由度数n=6非自由刚体的自由度数小于6

物体系运动自由度n，决定了其独立的微分方程组的数目有n个，其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被约束,其自由度将减少。多一个约束条件,就减少一个自由度。ABC二、刚体的自由度3三、刚体运动的几种形式1.平动（平移）

运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。

刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。研究方法：用质心代表整个刚体的运动。可视为质点。（n=3）42.定轴转动

刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动：转轴固定不动的转动。O特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律(n=1)5

刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动。3平面平行运动可以分解为：刚体随质心的平动（i=2）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（i=1）如：车轮直线滚动64定点转动：

运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固定点的某一瞬时轴线转动.如：陀螺的运动75一般运动刚体不受任何限制的的任意运动,称为刚体的一般运动。它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：

绕通过基点O的瞬时轴的定点转动

随基点O（可任选）的平动基点（O和O

´）选取不同，平动不同，转动也可以不同，与基点的选取有关如图示的两种运动分解：8刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+9五、欧拉角1011121314151617181920212223证加241.刚体内任意点的速度刚体内任意点的速度和加速度252.刚体内任意点的加速度上式是处理刚体运动学问题的基础，对于各种具体的运动形态，只需要相应的做出限制。26（1）平动：（2）定轴转动：取基点A位于转轴上27（3）平面平行运动（4）定点运动：以定点为基点，并取为坐标原点282930六、瞬时转动中心上式是否总成立？两边用标乘能否在刚体上或与之刚性联结的地方，找到速度为零的点？31平面平行运动总能找到瞬心。两边矢乘32所以，速度为0的点的位置矢量为用分量形式写出则得速度为零的点的坐标33与几何法找瞬心34§5.2转动惯量一、刚体的动量矩

mi对o点的动量矩：刚体对o点的动量矩352.坐标表示36统称惯量系数37I惯量张量描述刚体转动时惯性特征的物理量。矩阵形式矩阵形式矩阵形式38惯量主轴与方向一般不一致，但总能找到一些特殊的方向，刚体绕通过定点沿这些方向的轴转动时，两方向一致。这些轴称为惯量主轴。惯量主轴与矩阵元的关系设x轴为惯量主轴绕x轴转动时惯量主轴定义39充要条件同理y轴为惯量主轴时Z轴为惯量主轴时与惯量主轴相关的惯量积（非对角矩阵元）为零40均匀刚体的惯量主轴1.对称轴设x为对称轴，刚体上任意点（x,y,z）对称点（x,-y,-z）对称轴是惯量主轴。2.对称轴的法线设yz面是通过定点的对称面，x轴是法线，刚体上任意点（x,y,z）对称点（-x,y,z）对称面的法线也是惯量主轴41四、转动惯量刚体绕定点转动的惯性转动张量度量张量刚体绕定轴转动的惯性转动惯量度量标量刚体对轴线的转动惯量

是i质点到转轴的垂直距离对连续分布42讨论此均质刚体绕哪个转轴转动惯量大？为什么？12决定刚体转动惯量的因素：刚体的质量分布转轴的位置注意43记住！例题1.质量连续分布:

若棒绕一端o转动，由平行轴定理，则转动惯量为

解

o

(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且垂直于棒的轴转动的转动惯量。Cxxodxdm44R

(3)均质圆盘(m,R)对中心轴的转动惯量:dmrdr

(2)均质细圆环(m,R)对中心轴的转动惯量:

45平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz

是mR如图所示：46垂直轴定理o对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。例如：薄盘绕直径的转动惯量4748转动惯量也可由对定点O的惯量矩阵求得角速度绕转轴的角动量49若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。即组合定理

例如：有质量为,长为的均质细杆和质量为，半径为的匀质球体组成的刚体，对Z轴的转动惯量为50知道了刚体对某定点的惯量张量，就可求出通过该点的任一轴线的转动惯量51五、刚体的动能刚体的动能是刚体内各质点的动能之和按柯尼希定理，动能分解为随质心平动动能和相对质心的动能之和先一般讨论刚体绕固定点转动时动能的表达式52是刚体对通过定点的瞬时转轴的转动惯量53如果坐标轴是关于定点的惯量主轴，惯量矩阵是对角化的刚体对质心的转动动能的表达式也应具有相同的形式54刚体一般运动时的动能平动，定轴转动，平面平行运动55565758595.3节见课本136页60刚体的定轴转动描述刚体的转动力学量刚体上A.B两点被约束不动刚体绕A.B轴做定轴转动角度变量角速度xyzBAFbFa对原点o刚体角动量o61刚体绕z轴转动惯量动能：62刚体定轴转动的基本方程：1.质心定理：2.角动量定理63转轴方向是固定的，约束力与z轴相交，与之相对应的力矩没有z方向的分量。刚体定轴转动只有一个自由度，一个方程，其它5个方程，可以用来确定定轴转动刚体约束力。与牛顿第二定律相比，地位相当。64§5.7刚体的平面平行运动

一、平面平行运动的运动学

1.运动特征1)其上任一点始终在平行于某一固定平面内运动，刚体上垂直该固定平面的直线上各点运动情况相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表刚体。2）刚体在内，由，可由两步完成

随A点的纯平动，，基点位移均为

ABA’B’θⅡⅡ’Ⅰ再绕A’作纯平动Ⅱ’→Ⅱ，

可见刚体的平面平行运动可分成=任意点的平动+绕该点的转动65yxOrOCrr’y’jx’iθ平面平行运动动力学1.

运动微分方程以运动学观点，基点可任意选取，以动力学选质心为基点较宜。取过质心的薄片代表刚体（0-xy为静系，C-x’y’为刚体系）

(1)-(3)为刚体平面平行运动微分方程，三个方程可以确定661.刚体运