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第二节迭代法一、迭代格式二迭代法的收敛性

三、小结一、迭代格式考虑方程组(2.1)即以后，把它们代入（2.1）中第一个方程算出对方程组（2.1）作迭代时，取定初始近似值显然，迭代格式收敛的话，则比更接近于的第一个分量所以在计算时，我们不再像迭代法那样以代入(2.1)中第二式的右边，而是把新算出的及代入该式右边，得到即计算下一个分量时，要用到刚算出的新分量。这样或许能收到更好的效果。按这样方式建立的迭代格式称为迭代格式，其一般形式为(2.2)

用矩阵表示就是

(2.3)

其中，

由（2.3）式可知，因存在，所以迭代格式（2.3）也可表示为

(2.4)我们称为迭代法的迭代矩阵。

由（2.4）式可见，对方程组作迭代，等价于对方程组

(2.5)作迭代。

二迭代法的收敛性

定理3对于任意右端向量和初始向量，迭代法收敛的充要条件是

其中由于对方程组作简单迭代是一回事，故由定理1有作迭代同对方程组即特征方程的根的绝对值小于1。

而由于类似于定理2，我们还可以给出如下收敛的充分条件。

(2.6)所以在实际问题中，只需求出方程的根。

定理4对于任意右端向量初始向量，迭代法收敛的充分条件是

由此定理可知，条件(1）或(2）被满足时，则迭代法与迭代法都收敛。

可以证明，当条件(2）被满足时，迭代法比迭代法收敛得快些。

例4

分别用和迭代法解方程组解由于，故迭代法迭代法都收敛。取，首先采用迭代格式，计算求得与其精确解相比，其误差为

再利用迭代格式，计算求得

其误差为

从此例可以看出，当充分条件(2）被满足时，迭代法确实比迭代法收敛快些。

然而，迭代法并不总比迭代法好。有时迭代法还比迭代法收敛得慢些，有时甚至在迭代法收敛时，它却不收敛。例5设方程组的系数矩阵为

试证明迭代法收敛，而迭代法不收敛。

证明显然，迭代法的迭代矩阵为

因为由定理1可知，迭代法收敛。

，则有

令又，其中

令

则有

故迭代法不收敛。

类似地方法，可以证明，若系数矩阵为

时，迭代法不收敛，而迭代法收敛。

这个问题留给同学做练习。下面我们给出判断Gauss-Seidel迭代法收敛的其它方法。定理5设方程组为（1）如果矩阵是对称正定的，则迭代法收敛。

（2）如果是严格对角占优的，则迭代法收敛。

证略。

由上可见，迭代法的使用与问题的特点有着密切的关系，使用时应

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