第五章 插值法

函数常被用来描述客观事物变化的内在规律——数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点xi上的值（包括函数值f(xi)，导数值f

(xi)等,i=0,1,2,…,n),虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数

用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。

如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时，可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i=1,2,…)观测到行星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti))构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似解析表达式也能求导，讨论其各种性质。又如：据资料记载，某地区每隔10年进行一次人口普查，自1930年到1990年的统计结果如下：

另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。

如在积分中，当f(x)很复杂，要计算积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。

年份:1930194019501960197019801990人口（百万）:123132151180203227252通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这六十年期间任何一年（例如1965年）的人口总数，或者预测2010年该地区的人口数量。利用插值方法就可以解决这一类问题。代数插值

解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点(xi,f(xi))(i=0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求(x)通过点(xi)=f(xi)(i=0,12,…,n),由此确定函数(x)作为f(x)的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法，将在下一章介绍。

本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及其误差用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。

用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值，其基本问题是：已知函数f(x)在区间[a,b]上n+1个不同点x0,x1,…,xn处的函数值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),求一个次数不超过n的多项式：使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件：

n(x)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点，[a,b]称为插值区间。

从几何上看（如图5-1所示），n次多项式插值就是过n+1个点yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，作一条多项式曲线y=(x)近似曲线y=f(x):yxy0yny2x0x1x2xny1（图5-1）因此，所谓插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一个x，要求对应的f(x)，具体做法是按上述方法构造n(x)以n(x)近似f(x)。

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插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-2所示。假定：设计给出的节点为xi=2,4,6,8,10，……，施工设计拱架点为xi=1.5,3.5,5.5,8,10,……部分节点不重合，此时y=f(xi)如何求？这就是插值问题。246810xy（图5-2）

又如在软土地区修建铁路，公路，将不可避免地会出现后期沉降（工后沉降）问题，其工后沉降的大小，沉降速率都直接影响铁路，公路的养护运营，行车速度等，因此要对其进行严格控制。通过对已建成路基面标高（路肩）进行测量观测，可得到一批数据，对这些数据进行分析（包括作插值），可推算出：①某一时刻路基沉降（如3年，5年）的沉降值；②不同时期路基沉降速率；③最终沉降值。代数插值应用举例插值用于数码相机增加图像的分辩率：

如果要将一幅数码图像放大，也就是使其具有更多的像素，而多出来的像素原本是不存在的,需要根据周围像素的色值计算出来，这个计算的过程即为插值。实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。自然地，希望g(x)通过所有的离散点概念x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)定义：为定义在区间上的函数，为区间上n+1个互不相同的点，为给定的某一函数类。求上的函数满足问题是否存在唯一如何构造

当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

注2:一次多项式插值---过两点直线;二次多项式插值---过三点抛物线;不用待定系数法---(1)计算量大;(2)不易讨论误差;注1：如果要求插值多项式的次数一定要小于n－1，一般不存在。但如果要求插值多项式的次数超过n次，则存在但不唯一。

上面定理告诉我们，不管用何种方法构造插值多项式，次数不超过n次的满足插值条件的多项式是同一个多项式。下面分别介绍几种构造插值多项式的方法。

1：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误差也一样。2：n+1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若>n

次，如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,…,an,an+1需确定，而n+1个组节点，只构成n+1个插值条件，即构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。3：上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用的方法。

§2Lagrange插值公式

对(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)按插值条件（5-2）构造n次插值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下面从最简单的情形开始。

n=1时，只有两个节点，x0,x1，对应于y0,y1，由前所述，插值多项式应设为1(x)=a0+a1x，且满足插值条件：所以，n=1时两个节点的插值多项式为：（紧接下屏）

其几何意义，就是以过两点(x0,y0)，(x1,y1)的直线y=1(x)近似曲线y=f(x)，故这种插值又称为线性插值，如图5-3所示：x图5-3

x0x1由于1(x)为直线，由过两点的直线的点斜式可得：

显然，1(x)，N1(x)与L1(x)都是同一条直线，应相同，也可以验证1(x)，N1(x)和L1(x)满足插值条件（5-2）。线性插值多项式的上述几种形式中，式（5-6）与式（5-7）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到n+1个节点的一般情况，分别得到牛顿插值多项式Nn(x)和拉格朗日插值多项式Ln(x)。

为了将两点插值公式L1(x)推广到一般情况，引入插值基函数l0(x)，l1(x)，则：

L1(x)是两个函数值的线性组合，组合系数为两个插值基函数：

式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值多项式表示为插值节点x0，x1对应的函数值y0，y1的线性组合，而组合系数就是插值基函数l0(x),l1(x)。所以插值问题可分解为基函数的插值问题。这里，l0(x),l1(x),l2(x)是二次插值基函数，应满足插值条件：当n=2时，已知函数表如下，,求满足插值条件L2(xi)=yi(i=0,1,2,)的二次的插值多项式L2(x)xx0x1x2y(x)y0y1y2

按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，由于x1,x2为l0(x)的两个零点，故可设：同理可得：所以：L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2满足插值条件（5-2）由多项式插值的唯一性知，L2(x)即为所求的二次插值多项式，由于其几何意义为以抛物线L2(x)近似曲线y=f(x)，如图5-4所示，故又称为抛物插值。

将上述利用插值基函数求插值多项式的方法推广到一般情况，当节点增多到n+1个时，对(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)

设n次插值多项式：xx1x2x0y图5-4即li(x)有n个零点xj(j=0,1,…,n,j

i)且li(xi)=1，故它必定是以下形式：其中li(x)为插值基函数(i=0,1,2,…n)，它们的次数不超过n，且满足：代入（5-9）式，得:定理２：设f(x)在［a,b］上存在n阶连续导数，在（a,b）上存在n+1阶导数，是Lagrange插值多项式，则对任何，插值余项为：

证：设易知有n+2个零点由x是(a,b)上的任意一点注:定理2中余项表达式只有在f(x)存在n+1阶导数时才能应用。由于不能具体给出，故应用公式有困难。但如果在(a,b)中有界，则余项误差容易估计.误差还与有关.Lagrange插值的优缺点无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算优点：形式对称易编程序

例：例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。§1LagrangePolynomial解：n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/的实际误差0.01001利用sin500.76008,内插

/*interpolation*/的实际误差0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061高次插值通常优于低次插值例[证明]上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为1。显然，函数f(x)1在这n+1个节点取值为1，即yi=f(xi)1(i=0,1,…,n)由式（5-10）知，它的n次Lagrange插值多项式为：对任意x，插值余项为：所以：例[证明]对任意x，插值余项为：3.Newton型多项式插值

Lagrange插值多项式是从直线的对称式出发，利用插值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点斜式（5-6）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计算简单的插值公式呢？

这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况如果能推广到n次多项式Nn(x)，则Nn(x)可写作为：

上述插值多项式的系数a0,a1,…,an如何求，是否有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件：称为k阶差商称为1阶差商定义：差商由归纳：此处用到差商的一个性质：（用归纳法易证）对称性：定义关键：找不同的元素相减作分母Newton插值构造1、先构造差商表例子2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式误差性质3差商的性质（1）各阶差商均具有线性性质，即若f(x)=a

(x)+b

(x)，则对任意常数k，都有：（2）k阶差商f[x0,x1,…,xk]可表成f(x0),f(x1)…,f(xk)的线性组合：（3）各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，差商值不变，如:（4）若f(x)是n次多项式，则一阶差商f[x,xi]是n1次多项式。

事实上，如果f(x)是n次多项式，则p(x)=f(x)

f(xi)也是n次多项式，且p(xi)=0,xi为其零点p(x)可分解为p(x)=(xxi)pn1(x)，其中pn1(x)为n1次多项式，所以：为n1次多项式。由各阶差商的定义，依次可得:记：（紧接下屏）显然，Nn(x)是至多n次的多项式。而由：即得f(xi)=Nn(xi)(i=0,1…,n)。这表明Nn(x)满足插值条件（5-2），因而它是f(x)的n次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。所需差商为表5-1第一条斜线上的含x0的各阶差商。

Newton插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即：因此便于递推运算。而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。由插值多项式的唯一性可知，n次Newton插值多项式与n次Lagrange插值多项式是相等的，即Nn(x)=Ln(x)，它们只是表示形式不同。因此Newton余项与Lagrange余项也是相等的，即：由此可得差商与导数的关系：解：先造差商表由Newton公式得四次插值多项式为：

牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制.不过当结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.下面我们用差分的方法给出Newton前插和Newton后插的计算公式，此法特别适宜于用计算器计算。首先介绍差分概念.§4差分及其插值公式

为步长的一阶向前差分

1.定义设一.差分叫步长为步长的k阶向前差分

为在以为步长的一阶向前差分

……m阶叫步长……一般:一阶二阶(1)差分可表为函数值的线性组合

二.性质:证明:用归纳法

证明:用归纳法

3.差分表(实用)三等矩结点插值公式:将Newton插值公式

中的差商用性质(2)换为差分,可整理为如下的Newton向前插值公式设（5.6）截断误差可表示为(5.7)例：给出了y=cosx的函数表从x=0到此为0.6，h=0.1。计算cos0.048的值（其真值cos0.048≈0.99884822）。解：利用函数值表作差分表：

由x=0.048靠近表头，我们从误差项中有知道，用靠近0.048的点作为插值节点较好，此时t=0.48 现如果我们要计算cos0.575怎样算？由于0.575靠近表尾，显然用后面的节点作插值节点比较合理。为了也能象Newton前插公式那样具有承袭性，为此我们再介绍Newton后插公式。在Newton插值公式中，我们已经看到节点的大小顺序是不作要求，现对节点按如下次序作插值，显然

称上公式为Newton后插公式。其中用到的各阶差分就是差分表中最下一行上的各对应值

例：给出了y=cosx的函数表从x=0到此为0.6，h=0.1。计算cos0.575的值（而真值cos0.575≈0.8391923）。解：利用函数值表作差分表：

用后插公式

例：已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P3(x)的x3的系数为6，试确定数据y.§4Hermite插值不少实际问题不但要求插值

函数在节点上与原来的函数相等

（满足插值条件），而且还要求

在节点上的各阶导数值也相等，

满足这种要求的插值多项式，称

为Hermite插值多项式记为H(x)，

本节主要讨论已知节点的函数值

和一阶导数的情形。4.1Hermite插值

设已知函数y=f(x)在n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi)

(i=0,1,2,…n)和导数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…n)，要求一个不超过2n+1次的多项式H(x)，使其满足：这样的H(x)称为

Hermite插值多项式。

引例（续1）引例（续2）引例的误差估计：

注意到x1是H(x)的二阶零点，

x0,x2为其一阶零点，所以：为确定(x)，作辅助函数：∵当t=x时，可选择(x)，使(x)=0∴t=x,x0,x2为(t)的一阶零点，t=x1为二重零点。因此(t)共五重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在x，使(4)(x)=0，即：由于H(t)是t的三次多项式，∴H(4)(x)=0

推广至n+1个点的yi,yi时，利用构造插值基函数的方法，照上述引例，可设：其中hi(x)和Hi(x)(i=0,1,2,…,n)满足：（1）hi(x),Hi(x)(i=0,1,2,…,n)都是不超过2n+1次的多项式；下面分别确定hi(x)和Hi(x)：对hi(x)：x=xj(ji)为其二重零点，故应含有因式(xxj)2(ji)，因此可以设为请注意：直观上应设hi(x)为：这样来确定a,b较麻烦，上述引入li(x)后，较简单。∵hi(x)还应满足：对Hi(x):对Hi(x):由于x=xj(ji)为其二重零点，xi为一重零点，故可设:这样，代回去得:特别地，当n=1时，有:两个节点的三次Hermite插值多因此n=1的三次Hermite插值多项式可用标准化的基函数表示为：更便于上机使用，上式中h=x1-x0。

通常称之为“标准化”的基函数，而上述三次Hermite插值基函数可由其表示出：4.2误差估计和引例类似，可导出Hermite插值的误差估计。定理6.2设x0,x1,…,xn为区间[a,b]上的互异节点，H(x)为f(x)的过这组节点的2n+1次Hermite插值多项式。若f(x)在[a,b]上2n+2连续可导，则对x[a,b]插值余项为：特别地，n=1的三次Hermite插值余项为：注意与引例的误差估计式，与Lagrange插值的误差估计式相比较。例6按下表求Hermite插值：例7设：已知函数f(x)的如下值:f(-1)=-2，f(0)=-1，f(1)=0，f(0)=0，求不超过3次的Hermite插值多项式H(x)4.3Hermite插值的一般形式求一个不超过n+m+1次的多项式H(x)使得:与前面的讨论类似，可以证明这样的Hermite插值多项式是唯一存在的，其余项为:

这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全部给出，与前面引例相似，举例说明方法。给定(xi,yi)i=0,1,2,…,n及某些节点上的导数值（而不是全部导数值）Hermite插值问题的一般形式是：

例8按下表求Hermite插值多项式：解法一：这里有5个条件，所以插值多项式不超过4次，用构造插值基函数hi(x)(i=0,1,2)和Hi(x)(i=0,1)的方法，它们分别应满足：解法2：∵x=0为二阶零点，故可设插值多项式为

代入条件：所求四次Hermite插值多项式为：解法3:还可直接设五次方程求解§5多项式插值的缺陷与分段插值5.1多项式插值的缺陷在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，

常常需要增加节点个数，即提高多项式的次数，当插

值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼

近程度也越来越好呢？一般总认为Ln(x)的次数n越高，

逼近f(x)的程度越好，实际上并非如此。因为：（1）节点的增多固然使插值函数Ln(x)在更多的地方

与f(x)相等，但另一方面在两个插值节点之间Ln(x)不

一定能很好地逼近f(x)，有时差异还很大，即高次插

值收敛性得不到保证。（2）从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严

重的误差积累，即稳定性得不到保证。下面分别举例说明。多项式插值的缺陷举例

例如，在区间[-1,1]上给定函数f(x)=1/(1+25x2)，并将区间[-1,1]分为n等分，以Pn(x)表n+1个节点的n次插值多项式，图5-4给出了f(x)及P10(x)的图象，从中可以看出，P10(x)在端点附近，误差很大，如f(0.95)=0.24244，而P10(0.95)=1.92363，并且还可画出P4(x)相比较，P10(x)在区间中间能较好地逼近f(x)，比P4(x)好得多，但在端点附近P10(x)的波动很大，可以证明：Pn(x)只在|x|≤0.726内收敛于f(x)。在0.726<|x|≤1内Pn(x)与f(x)偏离很大，不收敛于f(x)。高次多项式插值产生的这种不收敛现象称为龙格（Runge）现象。yx0.5图5-41再以Lagrange插值为例，讨论其稳定性。不妨设数据yi误差yi，假定计算过程中不再产生误差，此时，Lagrange插值多项式为：故插值的实际误差为：上式中右端第一项即为插值余项，而第二项为：

这就是节点数据的误差yi所引起的插值误差。可见，yi通过插值基函数li(x)而全面扩散，而插值基函数li(x)在基本插值区间[x0,xn]内是上下波动的，在区间外，则按距离的n次幂放大，如图5-5所示。当变大时，其波动频率与振幅也随之增大。此时插值过程对节点数据误差非常敏感并将其放大，这就是说高次插值不具有数值稳定性。（紧接下屏）多项式插值的缺陷举例（续2）x0x1x2x3x4x5x6x7xy图5-5实际上在以Ln(x)近似f(x)时，由误差估计式：几点启示

（3）因为高次插值不能用，而实际情况需要将给定的节点全部都用上(区间长度所需要），此时常采用分段低次多项式插值。以上分析给我们几点启示：（1）增加节点并不一定能保证在两节点之间插值函数Ln(x)能很好地逼近f(x)，即高次插值（如7，8次上）在实际应用中很少被采用。（2）插值多项式逼近f(x)时，当f(x)为多项式时效果非常好，误差为零，而上述Runge现象中f(x)为有理函数，能否寻求用有理分式（而不用多项式）作插值函数。启示（4）（4）由于高次插值可能不收敛，若要精度高，能否考虑寻找一新的逼近函数P(x)，它不是插值函数（不满足插值条件），但却仍然是一简单函数，比如仍为多项式，但P(x)在xi处不一定等于f(x)，而是要求在整个区间上每一点处P(x)都能在误差允许范围内逼近f(x)，比如要求其在节点xi处的偏差ri=P(xi)yi(i=0,1,2,…,n)按某种标准最小以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响。

由于高次插值不能用而引出了上面几点讨论，对出现的问题进行分析而导致新的方法，新理论的产生，这也正我们在后面学习中的新起点。5.2分段多项式插值在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低

次多项式插值，大致可分为两类，一类为局部化分

段插值，即把插值区间分段后，在每个小区间上直

接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值；另一

类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段

插值多项式，如样条插值。下面介绍几种简单分段插值：以下几种分段插值都设为：1、分段线性插值

已知yi=f(xi)

(i=0,1,…,n)，在每个子区间[xi,xi+1]上分别作线性插值(i=0,1,…,n1)。P1(x)在[a,b]上为分段一次多项式，它满足插值条件：P1(xi)=yi(i=0,1,…,n)，在节点处连续，P1(x)的图形为一折线，如图5-6，其几何意义就是用折线去逼近曲线f(x)。x0x1x2x3x4xyo图5-62、分段抛物插值

P2(x)为[a,b]上的分段二次多项式，它满足插值条件P2(xi)=yi(i=0,1,…,n)，在节点x2k处连续。分段线性插值误差例9构造函数y=lnx在x[1,10]上的等距数表，应如何选取步长h，才能在利用该数表进行分段线性插值时，使误差不超过10-6/2。

分段插值的余项及收敛性和稳定性（2）收敛性设f(x)在[a,b]上连续，则可以证明，

当h0时，上述分段插值多项式P1(x)，

P2(x)，H(x)等都一致收敛于f(x)。（3）稳定性简单分段插值具有突出的局部性质，

其每个节点至多只影响到直接衔接的两

个子区间而不远及，因而，节点的数据

误差基本上不扩散，不放大。所以，简

单分段插值具有高度的数值稳定性。§6样条插值

分段插值具有良好的稳定性和收敛性，有效地避免了龙格现象的发生，且算法简单，因此在实际应用中占有重要地位，但是，其光滑性较差。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导数连续，满足不了许多工程技术提出的对插值函数的光滑性有较高要求的计算问题。

例如，船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即二阶导数连续。对于分段插值，要增加光滑度，就要采用更高阶的导数值，而这一点实际应用中往往是很难提供的。为解决这一类问题，导致产生了样条插值。6.1样条函数的概念

所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的.由此抽象出数学模型称为样条函数。给定区间[a,b]的一个划分a=x0<x1<…<xn

=b，如果函数S(x)满足（1）在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上S(x)是m次多项式；（2）S(x)在[a,b]上具有m1阶连续导数。则称S(x)为关于上述划分的m次样条函数。显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用“样条”绘出的图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。那么，确定一个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述样条函数定义（1）中知，S(x)在每个小区间[xi,xi+1]上是一个三次多项式，因此需要确定4个待定常数，一共有n个小区间，故应确定4n个参数。由定义中条件（2），S(x)应在n1个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件：共有3(n1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数，还需要另增加4n3(n1)=n+3个条件。

利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。

例如分段线性插值是一次样条插值。已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的n+1个节点a=x0<x1<…<xn=b上的值yj=f(xj)(j=0,1,…,n)，求插值函数S(x)使其满足：

（1）S(xj)=yj(j=0,1,…,n)；（2）在每小区间[xj,xj+1](j=0,1,…,n-1)上S(x)是三次多项式，记为Sj(x)；（3）S(x)在[a,b]上二阶连续可微。则S(x)称为f(x)的三次样条插值函数，它通过上述给定点，为二阶连续可导的分段三次多项式函数。（1）给定两端点处的导数值S(a)=y0，S(b)=yn，特别地，当y0=yn=0时，样条曲线在端点处呈水平状。（2给定两端点处的二阶导数S(a)=y0，S(b)=yn，

特别地，当y0=yn=0时，称为自然边界条件。（3）如果f(x)是以b

a为周期的周期函数，则S(x)也是应具有同样周期的周期函数，在端点处应满足S(a+0)=S(b0)，S(a+0)=S(b0).由定义，这里增加了n+1个插值条件，要确定S

(x)还需要补充两个条件。通常会根据问题的具体情况。在区间的两个端点处给出条件，称为边界条件。常用的边界条件有以下三种：可以证明，在上述三种边界条件下，三次样条插值问题的解是存在且唯一的。三种边界条件都有它们的实际背景和力学意义。三次样条插值举例已知函数f(x)在三个点处的值为f(1)=1,f(0)=0,

f(1)=1，在区间[1,1]上，求f(x)在自然边界条件下的三次样条插值多项式。例10三次样条插值举例（续）这种解法称为待定系数法，当n较大时，由于要解4n阶的线性方程组，工作量太大，因此，一般不采用待定系数法，而考虑另外的较简单的方法，即取节点上的导数或二阶导数值为参数，来导出三次样条插值函数的表达式。1.以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数

其中积分常数c1,c2可由插值条件Sj(xj)=yj，Sj(xj+1)=yj+1确定：（紧接下屏）

这就是在每个小区间Sj(x)的表达式（M表达式）建立M表达式

建立关于M的关系式

下面建立关于M的关系式（等式，即方程组）确定Mj，插值条件已用，假定二阶导数已知，即二阶连续条件已用，因此要用一阶导数连续来建立等式。对Sj(x)求一次导得：因为是在[xj,xj+1]上，所以可代入x=xj，x=xj+1

（紧接下屏）建立关于M的关系式（续1）Sj-1是xj的左边区间[xj1,xj]上的函数，故有等式：建立关于M的关系式（续2）整理得：式（5-22）称为M关系式，对于所有内点j=1,2,…,n1成立。式（5-22）展开后为n

1个方程含有n+1个参数M0,M1,…Mn,按其力学意义，称为三弯矩方程，系数j,j,cj可预先求出来。M关系式的三种边界条件

要由上述M关系式确定所有参数，需要根据问题的具体情况，利用边界条件补充两个方程。下面就三种边界条件，分别进行讨论。1）如果问题要求S(x)满足边界条件（1）由式（5-20）得

化简得：M关系式的三种边界条件（续1）

式（5-25）与（5-23）联立，即得到关于n+1个参数M0,M1,…,Mn的n+1阶线性方程组，其矩阵形式为：（2）如果问题要求S(x)满足连界条件（2）即给出了：此时方程组（5-23）实际上只有n

1个未知数，这仍是三对角方程组，可直接用追赶法求解。M关系式的三种边界条件（3）如果问题要求S(x)满足周期边界条件（3），f(x)以b

a为周期，则S(x)也以b

a为周期，即在端点处应满足：可转化为两个方程，补充到（5-23）中。

以上式作为最后一个方程进行整理，注意到M0=Mn有：（紧接下屏）M关系式的三种边界条件（续3）并且因M0=Mn所以将（5-23）中第一个方程

1M0+2M1+2M2=c1改写为这样，将式（5-27）代回（5-23）中并与（5-26）联立，得到n阶方程组：

在上述三种情况下的线性方程组是三对角或广义三对角的，其系数矩阵均为严格对角占优，因此方程组有唯一的一组解M0,M1,…,Mn，求出后代入“M表达式”（5-19），即得三次样条函数，方程组中每个方程都连系三个Mi，参数Mi在力学上的意义为细梁在xi截面处的弯矩，因此上述方法又称为三弯矩插值法。2.以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数

同前面讨论类似，也可以假定[xj,xj+1]上的一阶导数S