第五章 三次样条插值Spline

三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）高次插值出现龙格现象代数插值Hermite插值分段插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值导数值不容易得到如：汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）

木样条的来源

背景应用最为广泛§3三次样条插值

/*CubicSplineInterpolation*/

样条是绘图员用于描绘光滑曲线的由一些易弯曲材料制成的窄条。在绘制需要通过某点的光滑曲线时,对它在这些点的位置上“压铁”,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点。“样条函数”意在点出这种函数的图像与机械样条画出的曲线很像。定义设。三次样条函数,且在每个上为三次多项式

/*cubicpolynomial*/。若它同时还满足，则称S(x)为f(x)在结点xi

(i=0,1,…,n)上的三次样条插值函数.注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)三次样条插值问题CubicSpline

三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间上可以写成共有

4n

个待定参数。S(x)在[a,b]上二阶导数连续，故在内结点处应满足连续性条件共有

3(n-1)

个条件。再加上

n+1

个插值条件，共有4n-2个条件。如何计算？误差估计？三次样条插值函数

S(x)是否存在唯一?CubicSpline因此，还需要2个条件才能确定S(x)。通常在区间端点

a=x0和

b=xn

上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。（2）已知两端的一阶导数值，即（II类）

（1）已知两端的二阶导数值，即（I类）此时，对函数值有周期条件其特殊情况为（自由边界）

（3）周期边界条件（III类）常用边界条件/*boundaryconditions*/对应的样条函数称为自然样条

/*NaturalSpline*/.CubicSpline由边界条件唯一确定。定理三次样条插值问题的解存在且唯一。CubicSpline

三弯矩法/*methodofbendingmoment*/

三次样条插值函数

S(x)

可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。Mi在力学上解释为细梁在

xi处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用

Mi表示

S(x)的算法称为三弯矩法。对S(x)积分两次得其中hi=xi

–xi-1

.

由于S(x)在区间上是3次多项式,故

S

(x)在上是1次多项式,可表示为CubicSplineLagrange插值这是三次样条插值函数的表达式,当求出Mi

后,

S(x)就完全确定.定出积分常数,可以得到利用插值条件为了求

Mi

,需要利用S(x)在内结点处一阶导数连续的条件,由上式可得CubicSpline由式(3.2)有CubicSpline由S(x)

在内结点处一阶导数连续，即

这里有

个未知数，个方程，n1n+1还需增加2个方程。对于I类边界条件，CubicSpline可得关于参数

Mi的方程组，即三弯矩方程的形式为其中即得关于Mi

(i=0,1,…,n)的

n+1元线性方程组其系数矩阵按行严格对角占优,故有唯一解.可用追赶法求解.CubicSpline对于II类边界条件，利用(3.2)式，类似

在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数

S(x)不仅在内节点处的二阶导数是连续的，而且

S(x)逼近

f(x)具有很好的收敛性，也是数值稳定的。由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂，下面只给出误差估计的结论。三次样条插值函数的误差估计三次样条插值函数S(x)有估计式定理5.5设函数记则满足I类或II类边界条件的其中CubicSpline定理CubicSpline注：提高精度只须增加节点，而无须提高样条阶数。稳定性：只要方程组系数矩阵为SDD阵，保证数值稳定。另有三转角法得到样条函数，即设S(xi)=mi，则易知[xi,

xi+1

]上的S(x)就是Hermite函数.再利用S(x)的连续性，可导出关于mi的方程组，加上边界条件即可解。

在实际应用中，不仅常用S(x)

[(3.1)式]计算

f(x)的近似值，而且常用S(x)[(3.2)式]近似计算f(x).

SketchoftheAlgorithm:CubicSpline①计算αi,γi,βi;

②计算Mi(追赶法等);③找到x所在区间(即找到相应的i);④由该区间上的S(x)算出f(x)的近似值。解：用三弯矩方程（II类边界条件）

0123161-336-78计算得CubicSpline得方程组解得将此解代入式(3.1)即得CubicSplineHW:习题#26插值法小结LagrangeLn(x):给出y0…

yn，选基函数li(x)，其次数为节点数–1.NewtonLn(x)，只是形式不同；渐增节点或节点等距时方便处理.Hermite：需给出yi及yi.Spline：分段低次,自身光滑,f的导数只在边界给出.

yi=interp1(x,Y,xi,method)：用指定的算法计算插值；

’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；’pchip’：分段三次Hermite插值。对于该方法，命令interp1调用函数pchip，用于对向量x与y执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形；

’cubic’：与’pchip’操作相同；

’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline用它们执行三次样条函数插值；注意它默认使用的是‘not-a-knot’边界条件，也就是第一个点的三次导数和第二点的三次导数一样；最后一个点的三次导数和倒数第一个点一样。pp=csape(x,y,conds)：计算在各种边界条件下的三次样条插值。>>

helpcsapeMatlab常用插值函数例:x=-3:3;y=[-1-1-10111];t=-3:.01:3;plot(x,y,'o',t,[pchip(x