第八章空间解析几何与向量代数-81及其线性运算

第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积*混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影一、向量概念向量：有向线段.符号表示：，，，，等.向量的大小：长度的值.自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关.向量的相等：大小相等且方向相同.向量的模：向量的长度.||，||单位向量：模为1的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意.AB向量平行：两个非零向量与的方向相同或者相反.两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.设AB跟异面直线的夹角定义相似Ok个向量共面：k(2)个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上.向量共线：当平行向量的起点在同一点时，它们的终点和公共起点在同一条直线上。二、向量的线性运算1.向量的加减法加法：(2)平行四边形法则(1)三角形法则多个向量相加，可以按照三角形法则.a+b+c+dabcd二、向量的线性运算向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：负向量：大小相等但方向相反的向量.减法：特例：注意：两边之和大于第三边表示两向量起点相同,方向相反2.向量与数的乘法向量与实数的乘积记作数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：向量的加减与数乘统称为向量的线性运算ABDCM例1在平行四边形ABCD中，试用

和

表示向量、、和这里M是平行四边形对角线的角交点.解由于平行四边形的对角线互相平分,所以即于是因为所以又因所以由于所以上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.任意非零向量都可单位化：两个向量的平行关系定理设向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使.证：充分性显然；必要性‖设取当与同向时取正值，当与反向时取负值，即有此时与同向，且的唯一性设又设两式相减，得即故即定理设向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使.．．OiPxx点P实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是.=xi=

xi向量三、空间直角坐标系坐标轴：取空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴);点O叫作坐标原点（或原点）.通常取x轴、y轴水平放置；z轴竖直放置，它们的正向符合右手法则.OZYX图7-1Oxyz坐标系可记作[O；，，]坐标系坐标面：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOy面、yOz面、xOz面.卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量

的坐标分解式：向径：以原点为起点，M为终点的向量，例如.空间的点M有序数组向量

的坐标分解式：特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点四、利用坐标作向量的线性运算设（为实数）推论：则当分母为0时表示分子也为0说明：(1)例2求解以向量为未知元的线性方程组其中解如同解以实数为未知元的线性方程组一样，可解得以的坐标表示式代入，即得解设为直线上的点，由题意知：这就是点M的坐标.

))((例3已知A和B以及实数AB直线上求点M,使x2,,y2,z2x1,,y1,z11-¹l，在这就是空间坐标中定比分点公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点的距离公式向量的模：设有点，则其距离为例4求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为同理可得所以,

,即

为等腰三角形.例6已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与AB

平行的单位向量.解因为AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以例5在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.解因为所求的点M在z轴上,即两边去根号,解得所求的点M(0,0,).与AB

平行的单位向量为：所以设M(0,0,z),依题义有2.方向角与方向余弦两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.设AB类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.跟异面直线的夹角定义相似OMPQROzyx非零向量与三条坐标轴的正向的夹角方向角：r的方向角：设非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:单位向量的方向余弦为:例7已知两点和，计算向量得模、方向余弦和方向角.

解解依题意有由关系式得因点A在第卦限,知于是这就是点A的坐标.例8设点A位于第卦限,向径OA与x轴、y轴的夹角依次为和，且，求点A的坐标。3.向量在轴上的投影.空间一点在轴上的投影:设，则数称为向量在轴上的投影，记作或.

则或记作过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影.注意：设(2)

性质1(即),

其中为向量与轴的夹角;

性质2(即);性质3(即).