2017学年高三上期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分1（4分）若复数z=（i是虚数单位）是实数，则实数 C．2（4分）若a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的（ A．必要不充分条件B．充分不必要条件 3（4分）已知直线a，b和平面α，则下列命题正确的是 A．若a∥b，b∥α，则a∥αB．a⊥b，b⊥α，则a∥αC．若a∥b，b⊥α，则a⊥αD．若a⊥b，b∥α，则a⊥α4（4则S9=（ 5（4分）sin，cos，tan的大小关系为（ A．sin＜cos＜tanB．cos＜sin＜tanC．sin＜tan＜cosD．tan＜sin＜cos6（4分）已知任意两个向量，不共线，若=+，=+2，=2﹣ A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共7（4 A．f（x）=x D．f（x）8（41）5=x5，则 A．B．C．9（4渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（ A． C．10（4分）a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0x，y，则目标函数 C．有最大值，有最小 D．无最大值，无最小二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分11（6分）已知集合M={x||x﹣1|≤2}，N={x|2x＞1}，则 12（6 13（6 14（6分）从4名男生和2名中任选3人参加比赛，则恰好选到2名男生和1名的概率 所选3人中至少有1名的概率 15（4 的左顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取 16（4数a的取值范围是 17（4 三、解答题（共5小题，满分74分18（14求角A若a=，b=2c，求△ABC的面积19（15求数列{an}的通项公式 若b=a•a，S=b+b+…+b，求使S+ 20（15AD∥BC∥EF，△ABE为等边三角形，AB=2求证：平面CDF⊥平面求直线AF与平面CDF21（15分）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B求FxT（F重合，使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．P是抛物线上异于A，B的任意一点，l1PA、PB分别交l1于点M、N，求证：•为定值，并求出该定值．22（15求f（x）求证：f（x）＞g（x若f（x）+ax+b≥0， 的最小值2016-2017学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试参考答案与试题解一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分1（4（2016 C．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由已知条件得虚部等于【解答】解：z===∵复数z=（i是虚数单位）是实数∴，即m=1．2（4（2016 A．必要不充分条件B．充分不必要条件 【解答】解：若a＞0，则a+≥2=2，当且仅当a=1时“=”成立，a＜0时，a+≤﹣2=﹣2，当且仅当a=﹣1时“=”成立，故若a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的充分必要条件，3（4（2016 A．若a∥b，b∥α，则a∥αB．a⊥b，b⊥α，则a∥αC．若a∥b，b⊥α，则a⊥αD．若a⊥b，b∥α，则a⊥α【解答】解：A．a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，因此不正确；B．a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，因此不正确；C．a∥b，b⊥α，则a⊥α，正确；D．a⊥b，b∥α，则a⊥α，a∥α，或相交，因此不正确．4（4分（2016秋•嘉兴期末）设数列{an}是等差数列，且a2=﹣2，a8=6，数{an}的前n项和为Sn，则 【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=a1+a9，再利用求和公式即可得出∴S9==9×5（4（2016 A．sin＜cos＜tanB．cos＜sin＜tanC．sin＜tan＜cosD．tan＜sin【分析】根据 ，利用三角函数的单调性与特殊值，判断sin，∴∴0＜sin 6（4（2016=+2，=2﹣，=﹣，则下列结论正确的是 A．A，B，C三点共线B．A，B，DC．A，C，D三点共线D．B，C，D【解答】解：，，和共线，且有公共点，所以A，B，D三点共线．7（4（2016 A．f（x）=x D．f（x）【解答】解：对于A：f（x）=，x＞0，不是奇函数，故A错误；对于B：f（x）=cos2xB错误；C（﹣x=﹣（x对于D：f（x）=x+tanx是奇函数，在[1，1]递增，符合题意，故D正确；8（4（2016（2x﹣1）4+a5（2x﹣1）5=x5，则 A．B．C．【分析】把二项式变形为a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）【解答】解：令﹣1）5=x5=其展开式的通项公式为Tr+1=• 令r=2，得a2=×=．9（4（2016B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（ A． C．【分析】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．【解答】解：设AB=BC=2，取AB的中点为O，OC，OBC中，∴OC2=OB2+BC2﹣2OB•BC•cosB=1+4﹣2×1×2×（﹣则cos∠COB= 可得 =1（a，b＞0渐近线方程为y=±x，可得=可得e=====．10（4（2016x，y满足不等式组 ，则目标函数z=2x+y（ C．有最大值，有最小 D．无最大值，无最小bx+ay+c=0由y轴的交点位置，画出可行域，即可判断目标函由实数x， 满足不等式 ，的可行域如图可知目标函数z=2x+y，一定存在最大值和最小值．二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分11（6（2016 {x|x≤3}．MN中不等式的解集分别确定出MMNM与N【解答】解：由M中不等式变形得：﹣2≤x﹣1≤2，解得：﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，由N中不等式变形得：2x＞1=20，解得：x＞0N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x≤3}，M∪∁RN={x|x≤3}，12（6（2016则此三棱锥的体积是2 cm3，表面积是5+3+cm2．底面三角形ABC的面积为：×2×2=2cm2，高h=3cm，故棱锥的体积V=侧面三角形VAB的面积为：侧面三角形VAC的面积为： ×3=3侧面三角形VBC的面积为：×2×= 故表面积S=（5+3+）cm2，13（6（2016，则 ．【解答】解：∵α、β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣ 则tanα==4 故答案为 ；14（6（2016赛，则恰好选到2名男生和1名 的概率为，所选3人中至少有1名女生的概率为．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出恰好选到2名男生和1名包含的基本事件个数m=，由此能求出恰好选到2名男生和1名的概率；所选3人中至少有1名的对立事件是选到的3人都是男生，由此利用对立件概率计算公式能求出所选3人中至少有1名的概率【解答】解：从4名男生和2名中任选3人参加比赛，基本事件总数n==20，恰好选到2名男生和1名包含的基本事件个数m=∴恰好选到2名男生和1 的概率p1=∵所选3人中至少有1名的对立事件是选到的3人都是男生∴所选3人中至少有1名 的概率p=1﹣ 15（4（2016则椭圆的离心率的取值范围为．（﹣a0（0bF（﹣c0F（c0，P（x，y由PF1⊥PF2=x2+y2﹣c2=+y2﹣c2=（y令f′（y）=2，+2y=0，解得：y=，x=﹣，满足=0，解得e=，为小值．当点P取B时，b=c，e=取得最大值．即可得出∵A（﹣a，0，B（0，b，F1（﹣c，0，F2（c，0∴直线AB的方程为：+=1．整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y）则=+y2﹣c2=f（y∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣ =整理可得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1当点P取B时，b=c，e=∴椭圆的离心率的取值范围为．故答案为：．16（4（2016足logax+logay=3，则实数a的取值范围是[2，+∞） 【分析】先由方程logax+logay=3解出y即xy=a3，得 则函数 解得2，+∞故答案为：[2，+∞17（4分（2016秋•嘉兴期末）如图，已知E，F分别是正方形ABCD的边AB、的余弦值是．BDAE∥DF，知∠DFB即为异面直线FB与AE所成角，由此能求出异面角直线AEBF所成角的余弦值．∴∠DFB即为异面直线FB与AE所成角设正方形ABCD2，则在△BDF三、解答题（共5小题，满分74分18（14（2016求角A若a=，b=2c，求△ABC的面积2+c2﹣a2=﹣c的值，可得A（2）由条件利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的面积为bc•sinA的值（1△ABC化简可得b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，∴A=（2）∵△ABC中 ，b=2c，∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=5c2﹣4c•（﹣∴c=1，∴△ABC的面积为bc•sinA=•2•=19（15分（2015•东港区校级三模）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28a3+2是a2，a4的等差中项．求数列{an}的通项公式 若b=a•a，S=b+b+…+b，求使S+ （1）设等比数列{ana1，公比为q，依题意，可得到关于a1q的方程组，解之即可求得数列{ann（2（122+…+n•2nnn，解不等式S+n•2Pn+1P＞50即可求得使之成立的正整数nn（1）2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，可得a3=8，∴a2+a4=20，…（2分 …（4分）又∵数列{an}单调递增，所以q=2，a1=2，∴数列{an}的通项公式为an=2n…（6分 所以Sn=﹣（1×2+2×22+…+n•2n两式相减，得Sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1…（10分）要使Sn+n•2n+1＞502n+1﹣2＞502n+1＞52．易知：当n≤4时，2n+1≤25=32＜52；当n≥5时，2n+1≥26=64＞52．故使Sn+n•2n+1＞50n5．…（12分20（15分（2016秋•嘉兴期末）如图，平面ABE⊥平面ABCD，四边形ABCD为∠CA=°AD∥C∥F△AEAB=2BC=2AD=4，求证：平面CDF⊥平面求直线AF与平面CDF【分析（Ⅰ）取AB，CD的中点H，G，连接GH，GF，EH，证明：四边形EFGH是平行四边形，FG∥EH，EH⊥平面ABCD，可得FG⊥平面ABCD，即可证明平面CDF⊥平面ABCD；（Ⅱ）AG，证明∠AFGAF与平面CDFAF与平面CDF所成角的正切值．（Ⅰ）AB，CDH，GGH，GF，EH，HG∥AD∥BC∥EF，∴四边形EFGH∵△ABE∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面∴FG⊥平面∵FG⊂平面∴平面CDF⊥平面（Ⅱ）解：连接AG，由题意，可得CD=4，∠ADC=60°，∵AD=4，∴AG=2∵平面CDF⊥平面ABCD，平面CDF∩平面∴AG⊥平面CDF，∴∠AFG为直线AF与平面CDF ，即直线AF与平面CDF所成角的正切值为21（15（2016线于A，B两点．求F试问在x轴上是否存在一点T（不与F重合，使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．P是抛物线上异于A，B的任意一点，l1PA、PB分别交l1于点M、N，求证：•为定值，并求出该定值．（Ⅰ）F（1，0l的方程为x=my+1C的方程y2=4x与直线l的方程联立（x1y1（x2y2TA，TB与x轴所成的锐角相等可得kTA+kTB=0，利用定理，即可求得a；求出M，N（Ⅰ）F（1，0A（x1，y1，B（x2，y2x=my+1（m≠0代入y2=4x得y2﹣4my﹣4=0，△=16m2+16＞0恒成立，∴a=﹣1，∴存在T（﹣1，0P（x0，y0当x=﹣1时，y=，即M点纵坐标为yM=，同理可得N点纵坐标为yN=．∴yMyN=×∴═yMyN+（﹣1）•（﹣1）=﹣3为定22（15（2016求f（x）求证：f（x）＞g（x若f（x）+ax+b≥0，求的最小值由f（x）+ax+b≥0分离变量b，利用导数可得b≥1﹣n（1，则．设φ（a）=．求导求其最小值，则的最小值（0，+∞f′（x）＞0，解得：x＞1，∴f（x）的最小值是令