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第8章结构的振动与稳定本章将首先建立动力分析的有限元方程，然后介绍大型稀疏矩阵特征值问题的几个常用求解方法，分别是逆迭代法、行列式搜索法和子空间迭代法。随后简单介绍复杂结构的动态子结构处理法。最后，介绍弹性结构在外载荷作用下丧失稳定时的临界载荷问题。有些结构受到显著的动载荷作用，如房屋、水坝等建筑受地震的作用，船舶受海浪的冲击，桥梁受车辆的振动等等，必须进行动力分析。结构线性动力分析的基本内容，一般包括结构固有频率和固有振型分析，以及结构对外力作用的响应分析。§8.1线性动力学有限元方程当用有限元法作动力学分析时，节点位移是时间t的函数，应用动静法，同样可建立动力学有限元分析方程。设单元的质量密度为ρ，单元内任一点的位移为按照动静法，单元内任意一点除体积力外还要附加惯性力和与速度成正比的粘性阻尼力对应的等效节点力为记则代入单元平衡方程代入单元平衡方程得按与前面相同的有限元集成办法得到[C]和[c]e分别称为结构阻尼矩阵和单元阻尼矩阵μ称为粘性阻尼系数，很难确定，因此一般不计算单元阻尼矩阵而直接采用Rayleigh阻尼，即α、β系数由实验确定，[M]称为总体质量矩阵，[m]e为单元质量矩阵，又称一致质量矩阵。早期用有限元计算动力学问题时单元质量用简单的等价办法团聚在各个节点上，形成对角质量矩阵，称为集中质量矩阵。§8.2质量矩阵从上节的讨论可知，质量矩阵是由分布惯性力向结点静力等效简化而得到。采用不同的等效方法就会得到不同形式的质量矩阵。一致质量矩阵是对称正定的，计算实践表明：使用一致质量矩阵所需计算时间多，结构的固有频率的计算值偏高；集中质量矩阵计算比较简单，所需的存储量也少，所需计算时间也少。而且使用集中质量矩阵会使固有频率的计算值降低。1.平面三角形常应变单元的质量矩阵设三角形单元厚度为h，密度为ρ，面积为Δ，形函数矩阵为则一致质量矩阵为展开由积分公式得到(r,s=i,j,m)一致质量矩阵为集中质量矩阵为板弯曲矩形单元的一致质量矩阵板弯曲三角形单元的一致质量矩阵§8.3特征值问题在动力学方程式中，若[C]=0，{R}=0，便得结构的无阻尼自由振动方程。这是一个二阶常系数线性齐次常微分方程组，其解的形式为代入无阻尼自由振动方程得，这是一个n阶线性代数方程组，若要有非零解，则其系数行列式必须为零，即上式称为广义特征值问题的特征方程标准特征值问题为改写作广义特征值问题可以很方便地化为标准特征值问题（1）刚度矩阵[K]是正定的将[K]分解成三角阵的乘积式中[L]是下三角阵代入广义特征值问题，得记作变换并在方程前乘，使得再记广义特征值就转化为标准特征值问题（2）质量矩阵[M]是正定的采用一致质量矩阵就属于这种情况将[M]分解成三角阵的乘积式中[L]是下三角阵代入广义特征值问题，得记作变换并在方程前乘，使得再记广义特征值就转化为标准特征值问题特征值问题的基本性质（1）实对称矩阵的特征值均为实数（2）特征向量彼此正交结构的r个没有质量的自由度，称之谓纯静态自由度。若存在非零位移Φ∞，使

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