第十二讲：随机变量的数学期望

利川“腾龙洞（水洞口）”

前面已经讲授了有关随机变量及其分布的相关概念和相关概率计算问题。我们知道：随机变量的取值不止一个，且取某个值（或某范围的值）都有相应的概率，但实际中经常要考察随机变量取值趋势问题，如取值的平均值问题、取值的集中性问题等等。

例1：设某班40名学生的《概率统计》成绩及得分人数如下表所示

则学生的平均成绩是：人数1691572分数4060708090100P×+1002/4040607080901/406/409/4015/407/40

定义:一、离散型随机变量的数学期望为随机变量的数学期望，简称期望或均值

定义4.1(P71)：第十二讲随机变量的数学期望（P71）例2：掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。解：X的分布列为：X123456P1/61/61/61/61/61/6例3：求0-1分布的数学期望所以EX=p解：X的分布列为：例4：一批产品中有一、二、三、四、五等品，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其单位成本分别为6元、5.4元、5元、4元、3元。现统一用一个价格批发给一个销售商，问批发单价至少为多少时才不至于亏本。解：产品的单位成本X是一个随机变量，其分布列为：X65.4543P0.70.10.10.060.04所以EX=6×0.7+5.4×0.1+5×0.1+4×0.06+3×0.04=5.6故批发单价至少为5.6元时才不至于亏本例5：甲、乙两名射手在一次射击中得分（分别用X、Y表示）的分布律如下表所示：解：X123P0.40.10.5试比较两名射手的成绩。因为EX=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1Y123P0.10.60.3EY=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2故可认为乙射手成绩比甲射手好。二、连续型随机变量的数学期望为的数学期望。定义(P73)：设连续型随机变量有概率密度，若积分绝对收敛，则称例6：计算在区间上服从均匀分布的随机变量的数学期望。解：依题意知，例7：某种无线电元件的使用寿命是一个随机变量，其概率密度为：解：依题意知，求这种元件的平均寿命。例8：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望XPk-101YPk10三、随机变量函数的数学期望因为Y的分布列为：Y的分布列可写为：YPk(-1)20212

定理(P74):例9：长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则=10分25秒例10.已知(X,Y)的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求E(X-2/5)(Y-2/5)。 解：E(X-2/5)(Y-2/5)=(3/5)(3/5)+（3/5)(-2/5)+（-2/5)(3/5)+（-2/5)(-2/5)=-3/50(1/10)(3/10)(3/10)(3/10)例11.设(X,Y)的概率密度为解:例12：设随机变量X的分布律为解:求X的一阶原点矩和二阶中心矩XPk-101X的一阶原点矩为：X的二阶中心矩为：四、数学期望的性质(P77)例13:有一队射手共9人，技术不相上下，每人

射中目标的概率为0.8；进行射击，各自打中目标为止，但限制每人最多只打3次。问大约需为他们准备多少发子弹。再多准备10%至15%，大约需为他们准备13发子弹。例14：甲、乙两名射手在一次射击中得分（分别用X、Y表示）的分布律如下表所示：解法一：X123P0.40.10.5求E（X＋Y）和E（XY）。因为EX=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1Y123P0.10.60.3EY=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2可认为甲、乙两射手射击是相互独立的。所以E（X＋Y）＝4.3E(XY)=4.62。因为X＋Y与XY的分布列为：X＋Y23456P0.040.250.230.330.15XY123469P0.040.250.170.060.330.15因此E（X＋Y）=2×0.04+3×0.25+4×0.23+5×0.33+6×0.15=4.3E(XY)=1×0.04+2×0.25+3×0.17+4×0.06+6×0.33+9×0.15=4.62解法二：X＋Y与XY的分布列呢？E（X＋Y）=2×0.4×0.1+3×0.4×0.6+2×0.1×0.1+4×0.4×0.3+4×0.1×0.6+4×0.5×0.1+5×0.1×0.3+5×0.5×0.6+6×0.5×0.3=4.30.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-1？本次课的要求：

(1)明确数学期望的含义。(2)学会求离散型和连续型随机变量的数学期望。(3)掌握并学会运用数学期望的性质。(4)学会计算随机变量函数的数学期望。

设甲、乙两个班学生的《概率统计》成绩分布如下所示：

0.20.20.20.20.2P10090807060甲班0.20.20.20.20.2P8482807876乙班试比较两个班成绩的优劣和稳定性？一、复习本次课堂所授内容及教材P71－77二、练习十二教材P77－78T2T3T4三、预习教材P78－88课后作业5分4分1分4分4分2分4分2分2分1分2分1分2分2分3分4分2分1分3分1分1分3分1分1分(1)X的分布列为：0.10.30.6P3453分3分3分3分3分(1)X的分布列为：0.10.30.6P345X的分布函数为：0.10.30.6P1933513分2分3分解：（1）由密度函数性质知1分2分1分1分3分1分1分2分0.40.