工程力学24505课件

第八章扭转§8-1扭转的概念§8-2圆轴扭转时横截面上的内力§8-3圆轴扭转截面上的应力§8-4圆轴扭转变形§8-5圆轴扭转的强度和刚度计算第八章扭转汽车中的转向轴受扭转载荷的构件第八章扭转§8-1扭转的概念轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。研究对象：圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:

SMx=0变形特征：相对扭转角圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。xyz0M0M变形前变形后§8–2圆轴扭转时横截面上的内力一外力偶矩的计算传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）二、扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩由平衡方程：

取右边部分T和T是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。M0M0假想切面取左边部分平衡外力偶

M0

扭矩

T扭矩外力偶

平衡TM0扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。负M0TM0T正以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。

2010画扭矩图：xoCABABCAB段：BC段：解：由功率－转速关系计算外力偶矩例1某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。

BMBMCCMAMDAD最大扭矩在AB段，且求各截面内力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT

/kN.m1.643.282.18T

图简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT

图按右手法确定+向1.64[例2]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）x③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。1.变形几何条件g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=gdx=rdf,故有：df/dx

,称为单位扭转角。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgTg二、等直圆杆扭转时横截面上的应力公式：1.变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。剪应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角df/dx成正比。即得变形几何条件为：--(1)同样有：CC=gdx=rdfdxOCDABrrCDdfTgrgr2.物理关系—材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是t-g曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。--(2)半径为r处的剪应力则为：

圆轴扭转时无正应力1GOtg1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。3.力的平衡关系应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：--(3)利用(3)式，得到：trTotrrtmaxdA3.力的平衡关系令：最后得到：--(4)Ip

称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。trTotrrtmaxtmax在圆轴表面处，且W=I/r，称为抗扭截面模量。T

p求Ip，Wn?结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处截面外圆周处（表面）

tr=Tr/Ip

tmax=T/Wn

dDo空心圆轴实心圆轴DoTtrtmaxTtrtmax§8–4圆轴扭转变形一、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角

为二、单位长度扭转角：或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。例3.空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m

MC=100N.m，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:AB段：N-mm-Mpa单位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m2)计算各段应力:BC段：故tmax=86.7Mpa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m3)计算扭转角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=rrjN-mm-Mpa单位制拉压

sys/n(延)

=[]=

sb/n(脆)max

tys/n(延)t

=[t]=

tb/n(脆)扭转强度条件max[t]=0.5~0.6[s](钢材，延性)[t]与[s]之关系：[t]=0.8~1.0[s](铸铁，脆性)1.强度条件][/maxss£=AFN][/maxtt£=nWT§8–5圆轴扭转的强度条件和刚度条件返回主目录轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIp扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GIp扭转刚度条件则为：qmax[q]---许用扭转角机械设计手册建议：[q]=0.25~0.5/m;精度高的轴；[q]=0.5~1.0/m;一般传动轴。2.刚度条件单位统一为/m，则有：（弧度转换为角度）][180maxqpqp£=oGIT解:1)画扭矩图。例4.实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN.m，

MD=2.18kN.m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，试设计轴的直径。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按强度设计，有：][16/3maxtpt£==DTWTnN-m-pa单位制3)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者][18032/1804maxqpppqp£==ooDGTGIT则有：42max][18032qpGMD°³42911080180328032=pN-m-pa单位制)(109.693m-=mm70=讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-³TD3641040)5.01(328016-=p按刚度设计，有：][18032/)1(44maxqpapq£-=oDGT则有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-³apD扭矩图不变，按强度设计，有：][maxmaxtt£==TT16/)1(43maxap-DWT)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD实心轴空心轴重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。例5一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受外力偶作用。已知，，，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角

画轴的扭矩图解：A、B可能为危险截面计算危险（最大）点应力所以，计算扭转角[例6]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx[例7]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如