机械工程控制基础 第二章 20130227

机械工程控制基础主讲教师：叶春生csye@Tel中科技大学材料学院机械工程控制基础第一章自动控制的一般概念第二章控制系统的数学模型第三章控制系统的时域分析法第四章频域分析法第五章控制系统的稳定性第六章控制系统的校正第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.2相似原理2.3传递函数2.4系统的传递函数方框图及其简化2.5反馈控制系统的传递函数一阶线性微分方程回顾一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例.有一电路如图所示,电阻

R

和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L

都是常量,∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:拉普拉斯变换拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算方法．由于拉普拉斯变换的运用，我们能使许多普通函数，如正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数转换成复变数的代数函数．微积分的运算能内在复平面内的代数运算来代替．于是，线性微分方程能转换成复变数的代数方程．微分方程的解可用拉普拉斯变换表，或部分分式展开式求出．拉普拉斯变换法的一个优点是可以用显示系统特性的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分力程．它的另一个优点是当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和稳态分量．拉普拉斯变换的定义本节介绍拉普拉斯变换的定义，对拉普拉斯变换存在的条件作简略的讨论，并举例说明几种常用函数的拉普拉斯变换的推导．拉普拉斯变换的定义如下:

f(t)=时间t的函数，而且当t<0时，f(t)=0；s=

复变数；L=运算符号，放在某量之前，表示该量用拉普拉斯积分进行变换;s=复变数两个基本函数单位脉冲函数

单位阶跃函数拉普拉斯变换的特性(1)线性性衰减定理拉普拉斯变换的特性(2)延时定理时间尺度定理拉普拉斯变换的特性(3)延时定理时间尺度定理15拉氏变换的基本性质（1）线性微分积分时移频移16拉氏变换的基本性质（2）尺度变换终值定理卷积定理初值定理初值定理终值定理18常用的拉氏变换公式拉普拉斯反变换的定义由复变数表达式推导成为时间表达式的数学运算叫做反变换．拉普拉斯反变换的符号是L-1,其数学表达式为求解拉普拉斯反变换的部分分式法如果则通常,在控制系统中用部分分式化简为用拉普拉斯变换法解线性微分方程如果则通常,在控制系统中用部分分式化简为2.0引言许多动态系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等，都可以用微分方程加以描述．如果对这些微分方程求解，就可以获得动态系统对输入量(或称作用函数)的响应．系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得．数学模型系统动态特性的数学表达式、叫做数学模型．要分析动态系统，首先应推导它的数学模型．我们必须牢牢记住，推导一个合理的数学模型，是整个分析过程中最至要的事情．典型的二阶系统数学模型随动系统AServoSystem（位置控制系统）如图所示。随动系统原理图⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：电动机的转矩系数为电枢电流对于电枢电路电动机电枢绕组的电感和电阻电动机的反电势常数电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：J:电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。电动机产生的力矩（电磁转距）为：

对于电枢电路电动机的力矩平衡方程为：

随动系统方框图2.1系统的微分方程建立微分方程的一般方法系统微分方程式的建立的一般方法

1、基本步骤(基于机理分析法)

1）确定系统的输入,输出量(体现建模目的)。

2）根据系统遵循的物理,化学定律(机理)列出(各环节)原始方程式,提出必要假设,以简化模型(体现系统的本质特征)。

3）列出原始方程式中的中间变量与其它因素关系式.4）联立所有方程式,消去中间变量,使得到反映输入输出关系的微分方程.

实例1：RLC电路uc(t)r(t)RLi1、明确系统的输入和输出

输入r(t),输出uc(t)2、列写原始的微分方程3、消除中间变量，并简化整理弹簧-质量-阻尼系统输入外力输出位移

阻尼系数，与运动方向相反实例2：机械运动系统J1J2基本关系式实例3：齿轮系的运动方程齿轮1齿数Z1

齿轮2齿数Z2

转矩M齿轮1和齿轮2的运动方程（1）以齿轮1的角速度为输出，外部为输入（1）（2）（1）以齿轮2的角速度

为输出，外部为输入电枢电压控制直流电动机电枢回路电压平衡方程SM负载实例4：机电系统微分方程若以角速度为输出量、电枢电压为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为电磁转矩方程电动机轴上转矩平衡方程当电枢回路的电感可以忽略不计若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化实例5：无源RC网络系统测温热电偶，求热偶温度变化微分方程。质量比热介质到热偶热阻为

，输入介质温度，输出热电偶温度

热量温度指示仪热偶实例6：测温热电偶写成标准形式将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。

当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法

设连续变化的非线性函数平衡状态A为工作点在平衡状态点运用台劳级数展开为泰勒级数展开-非线性系统的线性近似方法函数y=f(x)在x=x0处展开忽略高次项具有两个自变量的非线性函数的线性化增量线性方程对于非线性系统或环节，假设系统工作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很小，各变量在工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非线性函数（数模）在工作点的某一邻域展开成泰勒级数，忽略高次（二次以上）项，便可得到关于各变量近似线性关系，我们称这一过称为非线性系统(数模)的线性化。非线性实例-流体运动系统A截面积（1）入水流量为输入，液位为输出（2）若假设液位不可压缩，根据质量守恒定律：其中为出水流量（3）根据流量公式为出口节流阀流量系数，当变化不大时，可视为只与阀门开度有关，若开度一定，为常数。（4）消去中间变量得：非线性微分方程将上例流体运动非线性方程线性化如：可将非线性特性在处线性化代入原方程得：即有：去掉高阶项，即为线性化方程。不难看出线性化方程与工作点有关，工作点不同，方程就不同。非线性实例-液压伺服机构1、明确系统的输入和输出:输入x,输出y1、明确系统的输入和输出:输入x,输出y2、列写原始的微分方程:设p=p1-p23、非线性函数线性化1）确定系统预定工