化工问题的建模与数学分析方法化工数学2课件

化工问题的建模 与数学分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering第二章常微分方程

1、二阶线性常系数方程的解法2、二阶变系数方程的级数解法3、一阶微分方程组的矩阵解法4、稳定性问题分析第二章常微分方程——二阶常系数方程一、二阶常系数方程的解法

1。齐次方程通解 设

得第二章常微分方程——二阶变系数方程二、二阶变系数方程的解法1、级数解法

广义幂级数

代入方程，比较系数法确定参数c和

an

第二章常微分方程——二阶变系数方程 设

代入，得

第二章常微分方程——二阶变系数方程首项xc的系数为0——指标方程第n项xn+c的系数为0

——递推公式

第二章常微分方程——二阶变系数方程2。Bessel方程及其级数解

称为k阶Bessel方程。采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程

第二章常微分方程——二阶变系数方程递推公式

第一解

第二章常微分方程——二阶变系数方程第二解分为以下三种情况

i)k为分数

ii)k=0

第二章常微分方程——二阶变系数方程iii)k为整数

第二章常微分方程——二阶变系数方程

3、Legendre方程与Legendre函数 设

代入，得

第二章常微分方程——二阶变系数方程递推公式 根据幂级数收敛判别法知，在x=±1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l取整数才能保证级数在x=±1处收敛，此时级数成为Legendre多项式

第二章常微分方程——一阶常系数方程组三、一阶常系数方程组的矩阵解法

齐次方程

第二章常微分方程——一阶常系数方程组设代入方程得 从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵第二章常微分方程——一阶常系数方程组通解或

y=Yc 常数c由初始条件确定

第二章常微分方程——线性稳定性分析 流动的稳定性——雷诺实验、圆柱型水流 反应器的热稳定性——飞温与熄火 平行平板间的热对流稳定性——Benard现象 压杆、板壳的屈曲稳定性稳定性分析方法 线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失稳判据。 非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。

第二章常微分方程——线性稳定性分析1、线性稳定性分析方法 目的——获取失稳判据； 方法——稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定非线性动力系统 定常态f(ys)=0

设x(t)为小扰动，令

y(t)=ys+x(t)

第二章常微分方程——线性稳定性分析代入原方程，泰勒展开，保留线性项通解稳定性判别

若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不定。

第二章常微分方程——线性稳定性分析Routh－Hurwitz判定行列式

第二章常微分方程——线性稳定性分析Routh指出，若采用如下的判定函数RiR0=△0,R1=△1,R2=△2

/△1,…,Rn

=△n

/△n-1=an则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳定的。Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均大于0。

第二章常微分方程——线性稳定性分析3）tr2－4<0，tr0

：1，2

为复数，稳态点振荡焦点4）tr

＝0，>0，1，2都是纯虚数

稳态点为中心点

第二章常微分方程——线性稳定性分析3、化学反应器的热稳定性

取 x=cA－cAs,y=T－Ts

第二章常微分方程——线性稳定性分析将反应项与移热项线性展开特征根方程

第二章常微分方程——线性稳定性分析渐近稳定性条件