弹性力学空间问题基本理论

弹性力学空间问题基本理论第一页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论

在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。

空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。

第二页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:

(a)(b)平衡条件§7-1平衡微分方程第三页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论第四页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

由x轴向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得

因为x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z

坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。第五页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，，，(x,y,z)。(d)

空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量平衡微分方程第六页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论思考题

在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点A,B的x向正应力分量。第七页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量…

…，来求出斜面(法线为

）上的应力。斜面应力§7-2物体内任一点的应力状态第八页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

斜面的全应力p可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量:p沿法向和切向分量:斜面应力第九页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。

由四面体的平衡条件，得出坐标向的应力分量,1.

求第十页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论2.

求将向法向投影，即得得由第十一页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

从式(b)、(c)可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。第十二页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:3.

在上的应力边界条件应力边界条件第十三页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

式(d)只用于边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。

式(b),(c)用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；注意:

第十四页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为：斜面应力§7-3主应力最大与最小的应力代入,得到：第十五页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论考虑方向余弦关系式，有

结论：式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b)第十六页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论2.求主应力

将式(a)改写为：求主应力第十七页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,求主应力(c)第十八页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论3.应力主向

设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得应力主向第十九页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论由上两式解出。然后由式(b)得出应力主向再求出及。4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。第二十页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论5.应力不变量

若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，

因式(c)和(f

)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出：应力不变量第二十一页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论(g)应力不变量第二十二页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

所以分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。

式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。第二十三页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论6.关于一点应力状态的结论：6个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要6个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及主应力。一点应力状态第二十四页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论(3)3个主应力包含了此点的最大和最小正应力。(4)一点存在3个应力不变量(5)最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。

设第二十五页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论思考题1.试考虑：对于平面问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。2.试考虑：对于空间问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。第二十六页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：

(a)几何方程§7-4几何方程及物理方程第二十七页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。几何方程

从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。第二十八页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论--沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。

由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量，为：

(b)几何方程--绕x,y,z轴的刚体转动。第二十九页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：(c)位移边界条件第三十页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论(d)

其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变体积应变定义为：

第三十一页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论空间问题的物理方程

⑴应变用应力表示，用于按应力求解方法：(x,y,z).(e)物理方程可表示为两种形式：第三十二页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论⑵应力用应变表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以导出（g）

是第一应力不变量，又称为体积应力。--称为体积模量。第三十三页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：结论第三十四页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论思考题

若形变分量为零，试导出对应的位移分量。

第三十五页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

空间轴对称问题

采用柱坐标表示。轴对称问题

如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。§7-5轴对称问题的基本方程第三十六页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

对于空间轴对称问题：应力中只有(a)形变中只有位移中只有轴对称问题所有物理量仅为(ρ,z)的函数。第三十七页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论而由得出为。平衡微分方程：第三十八页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

几何方程：其中几何方程为第三十九页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论物理方程：应变用应力表示：(d)第四十页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论

应力用应变表示：其中第四十一页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论边界条件：

一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。

在柱坐标中，坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。第四十二页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论思考题

试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。

第四十三页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论第七章例题例题1例题2例题3例题第四十四页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论例题1设物体的边界面方程为

试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力应力边界条件是什么形式？第四十五页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论（x,

y,

z)，其中解：当物体的边界面方程为

时，它的表面法线的方向余弦为第四十六页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论当面力为法向分布拉力q时，(x,y,z).因此，应力边界条件为代入应力边界条件，得(x,y,z).第四十七页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论例题2

试求图示空间弹性体中的应力分量。(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。第四十八页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论qqooxxzz第四十九页，共五十四页，2022年，8月28日第七章空间问题的基本理论解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即