应力状态与强度理论

第九章应力状态与材料力学第九章应力状态与强度理论§9–1引言§9–2二向应力状态分析——解析法§9–3二向应力状态分析——图解法§9–4三向应力状态简介§9–5

广义虎克定律§9–6复杂应力状态的应变能密度§9–8莫尔强度理论§9–7四种常用的强度理论§9–１引言应力状态与强度理论一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究 点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、各侧面上，应力均布；b、平行面上，应力相等, 方向相反。二、一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxy应力状态与强度理论xyzs

xsz

s

ytxy五、切应力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。应力状态与强度理论tzx五、原始单元体（已知单元体）：例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx应力状态与强度理论六、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principalbody)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，s1s2s3xyzsxsysz应力状态与强度理论单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz应力状态与强度理论§9–2二向应力状态分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO应力状态与强度理论规定：截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。图1一、任意斜截面上的应力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2已知：x,sy拉正压负；

t

xy绕研究对象顺时针转为正；图2aSScosaSsina设：斜截面面积为S，应力状态与强度理论图1由分离体平衡得：sytxysxsataaxyOtn图2aSScosaSsina考虑切应力互等和三角变换：aa应力状态与强度理论图1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2得：同理,由分离体平衡：得：∴任意斜截面应力sa,ta可求,随a而变.应力状态与强度理论二、极值应力xysxtxysyOsa随a而变.主平面法线与X轴夹角:可求出相差90º的两个a0,定两个互相垂直平面,分别对应最大、最小主应力:应力状态与强度理论xysxtxysyO(max)在切应力相对的象限内，且偏向于x及y大的一侧。222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

）（极值切应力所在面(法线与X轴夹角):应力状态与强度理论例2分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx

应力状态与强度理论破坏分析低碳钢铸铁应力状态与强度理论§9–3二向应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（

StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆)应力状态与强度理论建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)应力状态与强度理论sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。点面对应,转向相同,转角二倍应力状态与强度理论四、在应力圆上标出极值应力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3应力状态与强度理论s3例3求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2a0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点应力状态与强度理论s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图

102AB应力状态与强度理论解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO应力状态与强度理论12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：五、梁的主应力及主应力迹线应力状态与强度理论21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O应力状态与强度理论拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：实线表示拉主应力迹线；1313虚线表示压主应力迹线。主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。两组曲线正交.应力状态与强度理论qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd1331应力状态与强度理论§9–4三向应力状态简介s2s1xyzs31、空间应力状态应力状态与强度理论2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大切应力为：tmaxs2s1xyzs3应力状态与强度理论例4求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：由单元体图知：yz面为主面建立应力坐标系如图，画应力圆和点1′,得:5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax应力状态与强度理论§7–6平面应变分析一、叠加法求应变分析公式剪应变：直角的增大为正！xyOX’Y’已知构件任一点处应变ex、ey、gxy。正应变：拉正压负。将坐标系转a角，得到新的X’OY’坐标.求X’坐标方向的线应变ea和X’OY’角的剪应变ga

.因为小变形、线弹性，可分别算出ex,

ey，

gxy单独存在时的线应变和剪应变，再用叠加原理求它们同时存在时的ea，ga

.应力状态与强度理论abcdaAOB应力状态与应变状态DD1EE1xyOX’Y’应力状态与应变状态xyOabcdaAOBDD2EE2DD3EE3应力状态与应变状态xyOabcdaAOB应力状态与应变状态2、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系建立应变坐标系如图在坐标系内画出点

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB与a

轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。应力状态与应变状态eaga/2ABCeaga/2三、方向上的应变与应变圆的对应关系maxmin20D(，/2)2n应力状态与应变状态方向上的应变(，/2)应变圆上一点(，/2)方向线应变圆的半径两方向间夹角两半径夹角2；且转向一致。ABC四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态例5已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的应变1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1,2,3这三个方程求出x，y，xy；然后在求主应变。应力状态与应变状态(剪应变不易测)。例6用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max应力状态与应变状态§9–5

广义虎克定律一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系xyzsxxyz

x

y应力状态与强度理论三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:

xyzszsytxysx应力状态与强度理论主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致s1s3s2应力状态与强度理论主应力与主应变方向一致?应力状态与强度理论五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:s1s3s2a1a2a3应力状态与强度理论例7已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态应力状态与强度理论me3342.-=应力状态与应变状态例8图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。应力状态与应变状态pppxs1smlpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程应力状态与应变状态psmsmxD图b用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）应力状态与应变状态t

m外表面ypststDqdqz图cO§9－6复杂应力状态的应变能密度23

1图a图c3-m

1-m2-m应力状态与应变状态m图bmm称为形状改变比能或歪形能。应力状态与应变状态图c3-m

1-m2-mm图bmm称为体积改变比能。例9

用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：应力状态与应变状态txyA13一、概述：§9–7四种常用的强度理论强度理论1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP确定破坏（极限）应力，得许用应力，建立相应的强度条件，（一）、简单变形时强度条件的建立：（二）、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；（三）、材料的破坏形式：⑴屈服（多为塑性材料）；⑵断裂（多为脆性材料）。2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大切应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortionenergytheory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。强度理论找到原因后，利用简单应力状态的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。二、最大拉应力（第一强度）理论：1、破坏判据：2、强度准则：3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的承受拉应力的构件。强度理论认为构件的断裂破坏是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。（一般是金属材料，如铸铁的单向拉、扭。 不适用单向、两向压。）三、最大伸长线应变（第二强度）理论：1、破坏判据：2、强度准则：3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。强度理论同时考虑了s1、s2、s3，适用于脆性材料（一般非金属）。不适用于两向拉、压。认为构件的断裂破坏是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。四、最大切应力（第三强度）理论：1、破坏判据：3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。2、强度准则：强度理论适用于塑性材料，应用广泛，形式简单，概念明确。缺点：忽略了s2的影响，偏于安全。认为构件的屈服破坏是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。五、形状改变比能理论（第四强度理论）（畸变能密度理论）：1、破坏判据：2、强度准则3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。强度理论对塑性材料,第四强度理论与试验结果相当接近,优于第三强度理论.认为构件的屈服破坏是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时的形状改变比能时，构件就破坏了。六、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。其它应力状态时，使用第三或第四理论。强度理论七、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中，r—相当应力。强度理论解：危险点A的应力状态如图：例1直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,为铸铁构件，[