微分方程模型及软件求解

微分方程模型及软件求解第一页，共六十一页，2022年，8月28日

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

第二页，共六十一页，2022年，8月28日建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

第三页，共六十一页，2022年，8月28日（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

第四页，共六十一页，2022年，8月28日微分方程模型古尸的年代鉴定问题放射性核废料处理问题流入--流出问题人口问题生物种群模型兰彻斯特（Lanchester）作战模型

第五页，共六十一页，2022年，8月28日

在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？一古尸年代鉴定问题

第六页，共六十一页，2022年，8月28日

年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。背景

第七页，共六十一页，2022年，8月28日宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的。从古至今，碳不断产生，同时其本身又在不断的放出射线而裂变为氮。大气中处于动态平衡状态，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。基本原理从星际空间射到地球的射线裂变速率与剩余量成正比。

Kc14=1/8000第八页，共六十一页，2022年，8月28日设t为死后年数，建立模型第九页，共六十一页，2022年，8月28日

年代测定方法的基本原理；放射性元素衰变规律。注意：第十页，共六十一页，2022年，8月28日以前，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后扔到水深为300英尺的海里。生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？美国原子能委员会：决不会。二放射性核废料处理问题第十一页，共六十一页，2022年，8月28日圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英尺/秒？若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时，就会因碰撞而破裂。这几位工程师通过大量的实验证明:通过建立数学模型来解决这一问题。第十二页，共六十一页，2022年，8月28日1一些参数及假设：假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即第十三页，共六十一页，2022年，8月28日受力分析：xyGfo2建模与求解第十四页，共六十一页，2022年，8月28日根据牛顿第二定理可解得：极限速度为：第十五页，共六十一页，2022年，8月28日将速度v看成位置y的函数v(y)，由于代入：得第十六页，共六十一页，2022年，8月28日其解为：仍未解出v是y的显函数。第十七页，共六十一页，2022年，8月28日由近似公式第十八页，共六十一页，2022年，8月28日3结论：若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂。这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。第十九页，共六十一页，2022年，8月28日4注意：求解过程方程变形，近似计算第二十页，共六十一页，2022年，8月28日一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为，h为水的高度，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。通过解决此问题想到什么？三流入--流出问题第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日BA第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻的水面高度为

时的水面高度为

时间由水面1降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。是水在时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日初始条件可分离变量的方程。第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日第二步解方程得水面高度与时间的函数关系为水流空所需时间为(令h=0)第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日思考2：单位人员管理问题合理安排进人速度和出人速度，使得单位人员的利用率达到最高。思考3：单位资金管理问题当收入资金速率一定时，合理安排支出，使得在某段时间内资金积累达到所需要求。思考1：某大楼人员的安全疏散问题1大楼所容纳的人数全部走出所用的时间？2两大因素：人走出的速度？出口的设置？第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日思考4：森林管理问题主要协调植树和用材的关系，使得森林发挥其应有的作用。思考5：渔业管理问题每年捕捞的速率控制在多少时，既能保持持续发展，还能有较大的收获量。思考6：交通管理问题等第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日四人口模型

简单模型Malthus模型Logistic模型

第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日人口问题

问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。建模准备

资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日180010人口（亿）

年1930201960301974401987501999602033100我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。198911199512第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日三建立模型1简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）一年后，人数增加到k年后，人口数为若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，第三十页，共六十一页，2022年，8月28日2Malthus模型马尔萨斯(Malthus1766--1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的人口指数增长模型。基本假设：人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设净相对增长率为，时刻人口总数为。经时间后人口总数为第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日Malthus模型求解第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日otNN0分析数据表明，在1700—1961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。按模型计算，取问题：利用此模型能预测未来吗？第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus模型计算，到2692年人口总数将增至地表面积为平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1平方英尺（约为9.3平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malthus模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus模型中的人口相对增长率为常数的假设。第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日3Logistic模型（阻滞增长模型）假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。r表示人口的自然增长率。令Nm为人口的最大容纳量，那么第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日即阻滞因子Logisitic模型求解第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日oNtNoN0NmNm/2tm人口增长最快点第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日结论：在人口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。---Logisitic模型调整，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型

Gompertz模型第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日五生物种群模型1简介种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群和多种群。单种群的数学模型：1)马尔萨斯(Malthus)模型

表示时刻的种群数量，称为内禀增长率。第四十页，共六十一页，2022年，8月28日2)罗杰斯特(Logistic)模型

表示该种群的最大容纳量。应用广泛：细菌繁殖，元素的放射性，岩石的剥蚀与沉积，高山的隆升，新产品的推销，流行病的传播，谣言的传播等问题。第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日2两种群的一般模型

两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在时刻的数量为，则线性化，得第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日

表示甲（乙）种群的自然生长率；表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日一问题的提出第一次世界大战期间，战争给人们带来了许多灾难。一场战争的结局怎样，是人们关心的问题，同样也引起了数学家们的注意，能用数量关系来预测战争的胜负吗？

F.W.Lanchester首先提出了一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。

Lanchester作战模型虽然比较简单，对局部战争还是有参考价值，为研究社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例。六兰彻斯特（Lanchester）作战模型第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日分析：影响战争的因素：兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等。抓主要矛盾：兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术。若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重便是兵员多少的问题。问题：两军对垒，甲军有个士兵，乙军有个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局。第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日假设：甲、乙双方的战斗力完全取决于两军的人数。设时刻甲、乙双方的人数分别为2)甲、乙双方人员的变化主要是战斗减员、非战斗减员和增援部队。以甲方为例，设分别表示非战斗减员率、战斗减员率和增援率。则有3)假设第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日i)

正规战争：甲方的战斗减员率与乙方的士兵数成正比，即，表示乙方每个士兵对甲方士兵的杀伤力，称为乙方的战斗有效系数。进一步可分解为乙方的射击率（单位时间内乙方每个士兵的射击次数）乙方每次射击的命中率。ii)游击战：甲方的战斗减员率不仅与乙方的士兵数成正比，而且与甲方士兵数成正比，即而乙方的战斗有效系数可分解为表示甲方士兵的活动范围的面积；表示乙方每个士兵每次射击的有效区域的面积。第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日3建模正规战争：正规部队与正规部队作战2)游击战争：游击队与游击队作战3)混合战争：正规部队与游击部队作战第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日求解与分析不考虑增援，即孤军作战；同时忽略非战斗减员。正规战争其奇点为鞍点。

即轨线方向沿此直线指向原点，双方战平。轴为虚轴，轨线与轴有交点，即存在，使，这表明乙方获胜;同理可知当，甲方获胜。第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日第五十页，共六十一页，2022年，8月28日进一步分析乙方取胜的条件当即乙方想要获胜必须增加最初战斗力和战斗有效系数。当增加2倍时，也增加2倍；当增加2倍时，却增加4倍。这正是两军作战时Lanchester平方定律的意义，说明兵员增加战斗力大大加强。现在，解决开始所提的问题。问题：两军对垒，甲军有个士兵，乙军有个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局。第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日若因此，甲军胜利，乙军失败。存在时刻当时，由计算得即甲军战死13人，乙军50人全军覆灭。第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日2)游击战争第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日3)混合战争（甲方为游击战，乙方为正规战）第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日若以正规部队作战的乙方火力较强，但其对方活动范围较大。可设则即，乙方必须10倍于甲方的兵力方可取胜。美越战争中，美国最多能派出6倍于越南的兵力，因此结局是美国不得不接受和谈并撤军，而越南获胜。第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日软件求解1利用Matlab求解2利用Mathematica求解3利用Maple求解第五十六页，共六十一页，2022年，8月28日例1求常微分方程的通解，然后求解在初值条件的数值解。Step1：编辑M文件clearallsymsy%"syms"isthesymbolvariablesxandaS1=dsolve('Dy=-y/8000');%"D"isthefirstorderderivativeS2=dsolve('Dy=-y/8000','y(0)=y0');S=[S1,S2]Step2：点击“Run”，在命令窗口得到S=[C1*exp(-1/8000*t),y0*exp(-1/8000