初中数学浙教版九年级下册第2章直线与圆的位置关系三角形的内切圆(n)

2．3三角形的内切圆1.等边三角形内切圆的半径r与它外接圆的半径R的比值为eq\f(1,2)．2．直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则它的外接圆的半径是cm，内切圆的半径是__1__cm.3．如果一个三角形的周长为10，面积为S，内切圆的半径为r，那么r∶S＝__1∶5__．4．三角形的内心具有的性质是(B)A．内心到三个顶点的距离相等B．内心到三边的距离相等C．内心是三角形三条垂直平分线的交点D．内心有可能在内切圆的外部(第5题)5．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C)A．EF>AE＋BFB．EF<AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF6．已知⊙O是△ABC的内切圆，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20cm，则AC的长为(C)A．40cmB．35cmC．20eq\r(3)cmD．18eq\r(3)cm7．已知等腰直角三角形的外接圆半径为5，则内切圆半径为(C)A．5eq\r(2)＋5B．12eq\r(2)－5C．5eq\r(2)－5D．10eq\r(2)－108．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是点D，E，F，且∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4.求∠DEF∶∠EDF∶∠EFD.(第8题)【解】连结OE，OF，则∠BEO＝∠BFO＝90°，∴∠EOF＝360°－90°×2－180°×eq\f(3,9)＝120°，∴∠EDF＝60°.同理，∠DEF＝70°，∠EFD＝50°.∴∠DEF∶∠EDF∶∠EFD＝70°∶60°∶50°＝7∶6∶5.9．如图，等边△ABC的内切圆⊙O面积为9π，求△ABC的周长l.(第9题)【解】设等边△ABC与内切圆⊙O的切点分别为E，F，G，如图所示，连结OB，OF.∵⊙O的面积为9π，∴OF＝3.∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝60°.∵BE，BF都是⊙O的切线，∴BE＝BF，∠OBF＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵OF⊥BC，∴BF＝3eq\r(3).同理，CF＝3eq\r(3)，即BC＝6eq\r(3).∴△ABC的周长l＝3×6eq\r(3)＝18eq\r(3).10．如图，已知点E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆交于点D.(1)求证：DE＝DB＝DC；(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，求DE的长．(第10题)【解】(1)∵点E是△ABC的内心，∴∠4＝∠5，∠2＝∠3.又∵∠1＝∠5，∠4＝∠6，∴∠1＝∠6，∴BD＝CD.∵∠DBE＝∠1＋∠2，∠DEB＝∠3＋∠4，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE.∴DE＝DB＝CD.(2)∵DF∶FA＝1∶3，∴DF∶AD＝1∶4.∴eq\f(DF,8)＝eq\f(1,4)，∴DF＝2.∵∠BDF＝∠ADB，∠1＝∠5＝∠4，∴△DBF∽△DAB，∴eq\f(DB,DA)＝eq\f(DF,DB)，∴DB2＝DA·DF.∴DB2＝8×2＝16，∴DE＝DB＝4cm.(第11题)11．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝12cm，BC＝16cm.⊙O1，⊙O2分别为△ABC，△ADC的内切圆，点E，F为切点，则EF的长是__4__cm.【解】由勾股定理可求得AC＝20.由r＝eq\f(a＋b－c,2)可得O1E＝4.由AE＝AB－r，得AE＝8.同理，FC＝8.∴EF＝AC－AE－FC＝4.(第12题)12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6.经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别交于点P，Q，则线段PQ的长度的最小值为(B)A．B．C．5D．【解】设AB与动圆切于点D.∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ为动圆直径．∴当CD为动圆直径时，动圆直径最小，而此时CD＝eq\f(6×8,10)＝，∴PQ＝CD＝.(第13题)13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连结BD，DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．【解】(1)∵AI和BI分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴BD＝CD，∠DBC＝∠2＝∠1.∵∠DBI＝∠DBC＋∠4，∠DIB＝∠3＋∠1.又∵∠3＝∠4，∠DBC＝∠1，∴∠DBI＝∠DIB.∴BD＝DI.∴DB＝DC＝DI.(2)∵∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝∠BCD＝60°.∵BD＝DC，∴△DBC是正三角形．∵⊙O的半径为10cm，即BO＝DO＝CO＝10cm，∴BD＝10eq\r(3)cm.∴S△BDC＝eq\f(\r(3),4)×(10eq\r(3))2＝75eq\r(3)(cm2)．14．如图，在锐角△ABC中，BC＝5，sin∠BAC＝eq\f(4,5)，点I为三角形ABC的内心，AB＝BC，求AI的长．(第14题)【解】连结CI，BI，且延长BI交AC于点F，过点I作IG⊥BC于点G，IE⊥AB于点E.∵AB＝BC＝5，点I为△ABC的内心，∴BF⊥AC，AF＝CF.在Rt△ABF中，∵sin∠BAC＝eq\f(4,5)＝eq\f(BF,AB)，∴BF＝4.∴AF＝eq\r(BA2－BF2)＝3，∴AC＝6.∵点I是△ABC的内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE＝IF＝IG.∴S△ABC＝eq\f(1,2)(