第05章 正弦稳态电路分析

第五章

正弦稳态电路分析重点：

相位差

正弦量的相量表示

复阻抗复导纳

相量图

用相量法分析正弦稳态电路

正弦交流电路中的功率分析工程上往往以频率区分电路：工频50Hz中频400-2000Hz高频电路TtiOf(t)=f(t+nT)

n=0,±1,±2,…周期信号:正弦信号是周期信号中的一种。5.1正弦信号一.正弦量的三要素正弦量的表达式：f(t)=Fmcos(w

t+)Fm,w,这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这3个量为正弦量的三要素：波形：tO/TFmf(t)(1)振幅

(amplitude)：反映正弦量变化幅度的大小。(2)角频率(angularfrequency)w

：反映正弦量变化快慢。即相角随时间变化的速度。

正弦量的三要素：相关量：频率f(frequency)：每秒重复变化的次数。周期T(period)：重复变化一次所需的时间。f=1/T单位：w：rad•s-1，弧度•秒-1

f：Hz，赫(兹)

T：s，秒市电：f=50Hz,T=1/50=0.02(s),w=2/T=2f=314rad/s(3)初相位(initialphaseangle)

：反映了正弦量的计时起点。

(wt+

)——相位角

—初相位角，简称初相位。一般规定：|

|即：-

②初相位是由f(t)=Fmcos(wt+)确定，若原用sin表示，求初相位时应先化为cos形式在求令t=0→f(0)=Fmcos

→=2n±arccos[f(0)/Fm]，可能为多值。例：f(t)=Fmsin(t+/2)，其初相位

≠/2.而应化为cos形式，即：

f(t)=Fmsin(t+/2)=Fmcost,

故初相位=0同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO

=0

=-/2

=例：f(t)=Fmsin(t+/6)=Fmcos(/2-

t-/6)=Fmcos(/3-

t)=

Fmcos(t-/3)

故初相位=-/3

二.相位差(phasedifference)：两个同频率正弦量相位角之差。设u(t)=Umcos(wt+

u),i(t)=Imcos(wt+

i)则相位差j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i若j>0，则u超前

i相位角j，或i滞后

u相位角j。若j<0，则i超前u相位角

j，或u滞后i相位角j

。从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看。tu,iu

iuijOj=0，同相：j=±(180o)

，反相：规定：||(180°)。特例：tu,iu

iOtu,iu

iO=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；

i落后up/2,

不说

i领先

u3p/2。tu,iu

iO=p/2,正交:三、有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来衡量。1.有效值(effectivevalue)定义定义：若周期性电流i流过电阻R，在一周期T内产生的热量，等于一直流电流I流过R,在时间T内产生的热量，则称电流I为周期性电流i的有效值。Q2=I2RTRi(t)RI同样，可定义电压有效值：有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为rms。)2.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+)同理，对正弦电压也有：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，Um537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。例：求如图周期信号的有效值。(a)101230-1-2u1(t)(V)t(s)(b)A1230-1u2(t)(V)t(s)-A解：(b)U2=A（有效值）若加在1电阻上，则平均功率：为什么要研究正弦信号?主要考虑以下几点：1.正弦量是最简单的周期信号之一，同频正弦量在加、减、微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量；2.正弦信号应用广泛（如市电，载波等）；3.非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦函数。补充：复数复习1.复数A表示形式：一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量，此时a可看作与实轴同方向的向量，b可看作与虚轴同方向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A的向量，其模为|A|，幅角为。所以复数A又可表示为A=|A|ejq

=|A|q

AbReImaOA=a+jbAbReImaO两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示或2.复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。(2)乘除运算——极坐标若A1=|A1|1，若A2=|A2|2

则A1

A2=|A1||A2|q1+q2乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。例1.

547+10-25=(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48-2.61例2.(3)旋转因子：复数ejq

=cosq+jsinq

=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。1.用旋转相量表示正弦量即：任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以角速度绕原点旋转的向量与其对应。Fm+1ImO+jRe0t+02.用固定相量表示正弦量同一正弦电路，各支路响应的频率相同，故只需标明各量振幅及初相位关系。如：

u1(t)=U1mcos(t+1)u2(t)=U2mcos(t+2)5.2正弦信号的相量表示+1O+j12（不变）故可用复平面上的固定相量来对应特定的正弦量。对应一个正弦量的向量称为相量(phasor),用大写字母上加一点表示。相量上加一点是为了和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，因为它表示的不是一般意义的向量，而是对应了一个正弦量。3.相量的复数表示及运算+1O+jba(1)固定相量的四种表示方法：(2)旋转相量的复数表示固定相量旋转因子（实轴投影）或写成：（3）有效值相量例1.解：已知①试分别写出i1,i2对应的振幅相量和有效值相量。②求i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。③作i、i1、i2的有效值相量图。将

i1、i2化为标准cos形式:①振幅相量：有效值相量：②（由相量形式写时域形式）例.③i的有效值相量:i、i1、i2的有效值相量图+1O+j注：频率不同的相量不能画在同一个相量图上。4.相量运算（略）(1)同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1i2=i3这实际上是一种变换思想例．同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。y1y2ReIm将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域：时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。

(2)正弦量的微分，积分运算证明：5.相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)例一阶常系数线性微分方程自由分量(齐次方程解)：Ae-R/Lt强制分量(特解)：Imcos(wt+yi)Ri(t)u(t)L+-wt+u=wt+

i+qi=u-qq=tg-1(wL/R)用相量法求：qRL小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图5.3正弦稳态电路的相量模型一.电阻时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系：u=i

(u,i同相)R+-注：(1)uR,i是同频正弦量功率：波形图及相量图：t

iOuRpRu=iP=URI≧0（纯耗能）二.电感时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型有效值关系：UL=wLI相位关系：u=i+90°

(uL

超前

i90°)jL+-（相量形式的欧姆定律）iu相量图令XL=L，称为感抗，单位为(欧姆)BL=1/L，感纳，单位为S(同电导)感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比,w越大，XL越大，对正弦电流阻碍能力越强。(3)由于感抗的存在使电流落后电压.。wXL写法注意：w0直流（XL=0)（短路）w（开路）功率：波形图：t

iOuLpL（1）平均功率为0（2）功率变化比电压、电流快一倍（倍频）能量流入电感能量流出电感三、电容时域形式：相量形式：相量模型有效值关系：IC=wCU相位关系：i=u+90°

(i超前

u90°)iC(t)u(t)C+-+-ui相量图令Xc=1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)

Bc=wC，称为容纳，单位为S容抗和频率成反比,w0，|XC|

直流开路(隔直)w，|XC|0

高频短路(旁路作用)wXC功率：波形图：t

iCOupC能量流入电容能量流出电容四、基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：简证KCL的相量形式:（略）i3i2i1由KCL有：i1(t)+i2(t)+i3(t)=0同理可证KVL的相量形式故：i1(t)+i2(t)+i3(t)五、电路的相量模型(phasormodel)（略）时域列解微分方程求非齐次方程特解频域列解代数方程LCRuSiLiCiR+-jw

L1/jwCR+-时域电路频域电路例:如图(a)电路,us=10cos1000t(V),求i1,i2,i3及i(t)并作相量图。1H1F1KuSi3i2i1+-i(a)时域模型1K+-(b)相量模型-j103j103由KCL的相量形式：+10+j绝对相量图封闭相量图例：如图正弦稳态电路，已知交流电压表V1读数为60V，

V2读数为80V，求V读数。解:（1）相量法求解RLi假设以电流为参考相量，即设：（2）相量图解法V-+V1V2+--+6080100相量图解法5.4阻抗与导纳一、阻抗（impedance）（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。1.阻抗定义：基本元件的阻抗：LCRuuLuCi+-+-+-jLR+-+-+-2.RLC串联电路的正弦稳态特性由KVL：Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；

|Z|—复阻抗的模；z—阻抗角。关系：或R=|Z|coszX=|Z|sinz|Z|=U/I——反映u,i有效值关系z

=u-i——反映u,i相位关系|Z|RX阻抗三角形z阻抗Z与电路性质的关系：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠z

wL>1/wC

，X>0，z>0，电路为感性，电压领先电流；wL<1/wC

，X<0，z<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC

，X=0，z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。画相量图：选电流为参考向量(设wL>1/wC)三角形UR、UX、U

称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即zUX例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC

及u,i的相位差.解：其相量模型为j56.515+-+-+--j26.5故：注：分压UL大于总电压U法二：相量图解法（略）选电流为参考相量则：故：1.导纳定义：二、导纳（admittance）基本元件的导纳：由KCL：iLCGuiLiC+-iGjCG+-2.GCL并联电路的正弦稳态特性Y—复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；

|Y|—复导纳的模；y—导纳角。关系：或G=|Y|cosy

B=|Y|siny|Y|=I/Uy

=i-u反映i,u幅度关系。反映i,u相位关系。|Y|GB导纳三角形yY=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠y当wC>1/wL

，B>0，y>0，电路为容性，i领先u；当wC<1/wL

，B<0，y<0，电路为感性，i落后u；当wC=1/wL

，B=0，y=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考向量(设wC<1/wL，y<0)y电流三角形三、阻抗串联、并联的电路及分压分流公式同直流电路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2Z2Z3ab+-Z1c例：已知Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7,分流分压例：如图无源单口网络，设=2rad/s,(1)求Zab

及Yab

，判定电路的性质，并求u,i的相位差。(2)若=1rad/s，重求问题(1)。(3)分别求=0和=时Zab

。（容性）解：（1）=2rad/s时ab3+-相量模型2Hab30.5F+-时域模型u落后于i

82º相位（2）=1rad/s时（容性）u落后于i

56.3º相位（3）=0rad/s时L视为短路，C视为开路=时，L视为开路，C视为短路2Hab30.5F+-时域模型5.5正弦稳态电路的相量分析法电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法应用于正弦稳态的相量分析中。列写电路的节点电压方程例.解：自(互)电导→自(互)导纳节点电压→节点电压相量电压(流)源→电压(流)源相量+_-+21Y1Y2Y3Y4Y5列写电路的回路电流方程如前图.自(互)电阻→自(互)阻抗回路电流→回路电流相量电压(流)源→电压(流)源相量+_-+21Z1Z2Z3Z4Z55j5a5-j5-j5+-+-100V解：法一：网孔分析法化简为：5j5a5-j5-j5+-+-100V法二：节点分析法法一：电源变换解：例：Z2Z1ZZ3Z2Z1Z3Z+-法二：戴维南等效-例：用叠加定理计算电流Z0Z+Z2Z1Z3+-解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-如图交流电桥电路，试求其平衡条件。电桥平衡条件：即：

Z1Z4=Z2Z3例：解：|Z1|1

•|Z4|4

=|Z2|2

•|Z3|3（模条件）（阻抗角条件）|Z1|

|Z4|

=|Z2|

|Z3|

1

+4

=2

+3

故：实际应用：可用于精确测量实际电感线圈的参数Lx和RxZ1Z3Z2Z4r0Z1/Z2=Z3/Z4如果Z4为电感元件，电桥还能平衡吗？解：r0RRBCnRALxRx调节Cn使电桥平衡有：利用电桥精确测量实际电感线圈的参数Lx和Rx得：已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例：解：ZZ1+_ab用相量图分析例：移相桥电路。当R2由0时，解：当R2=0，q=180；当R2

，q=0。且R2

，q

。ººabR2R1R1+_+-+-+-+-已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L2。已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。例：解：R1R2L2+_+_+_q2q另解：利用阻抗概念。解得：R1R2L2+_+_+_5.6正弦电流电路中的功率无源单口网络吸收的功率(u,i关联)1.瞬时功率(instantaneouspower)无源+ui_一、单口网络的功率p有时为正,有时为负p>0,

电路吸收功率p<0，电路发出功率瞬时功率的分解：t

i0upUIcosUIcos(2t)瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期平均值。2.平均功率(averagepower)P：单位：W即：平均功率实际上是电阻消耗的功率，即为有功功率,代表电路实际消耗的平均功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cos

有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于存在储能元件产生了阻抗角。解：视在功率并不代表电路实际的吸收功率，它反映电气设备的容量。单位：VA（伏安），（不用W，以示区别）3.视在功率S(apparentpower)*若电流滞后电压，标“滞后”，若电流超前电压，标“超前”例：cosz

=0.5(滞后)，则z=60o(电压领先电流60o)。一般地,有0cos

1cosz1,纯电阻0，纯电抗功率因数反映了设备利用效率。

称功率因数角。对无源网络，即为其阻抗角z已知：电动机PD=1000W，其功率因数cosD=0.8，U=220V，f=50Hz，C=30F。求负载电路的功率因数。（不讲）+_DC例.解：4.无功功率(reactivepower)Q单位：var(乏)，或称无功伏安。无功功率的物理意义：t0UIcos(1+cos2t)

UIsin

sin2t瞬时功率的分解UIcos(1+cos2t)为不可逆分量，相当于电阻元件消耗的功率。UIsin

sin2t为可逆分量，周期性交变，相当于电抗吸收的瞬时功率，与外电路周期性交换。pR——电阻分量消耗的瞬时功率（≧0）pX——电抗分量吸收的瞬时功率

5.R、L、C元件的有功功率和无功功率PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin=UIsin0=0对电阻，u,i同相，故Q=0，即电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。电抗元件吸收无功，在平均意义上不做功。Q=UIsin,Q的大小反映网络与外电路间交换能量的最大速率。无功功率的物理意义:纯电阻：纯电感：电感不消耗有功，且QL>0。PC=UIcos=Uicos(-90)=0QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI电容不消耗有功且QC<0。*电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用PL=UIcos=UIcos90=0QL=UIsin=UIsin90=UI纯电容：6.复功率负载+_有功，无功，视在功率的关系：RjX+_+_ºº+_SPQ功率三角形ZRX阻抗三角形UURUX电压三角形复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即有功守恒无功守恒一般情况下：+_+_+_已知如图，求各支路的复功率。(不讲）例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：7.功率因数提高设备容量S(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。S75kVA负载P=Scosjcosj

=1,

P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机空载cosj

=0.2~0.3

满载cosj=0.7~0.85日光灯cosj

=0.45~0.6

(1)设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大I=P/(Ucosj

)，线路压降损耗大,且线路热损耗大。功率因数低带来的问题：解决办法：并联性质相反的电抗型元件，提高功率因数。已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后)。要使功率因数提高到0.9,求并联电容C。例.P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2补偿容量也可以从无功补偿角度来确定：j1j2PQCQLQ补偿电容不同全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——使功率因数又由高变低(性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜(0.9左右)。j1j2再从无功功率补偿角度来看:并联C后，电源向负载输送的有功不变，但是电源向负载输送的无功减少了,而功率因数得到改善。单纯从提高cosj

看是可以，但是负载上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。思考：能否用串联电容提高cosj?功率因数提高后，线路上电流和热损耗减少，就可以带更多的负载，充分利用设备带负载的能力。3+_j4-j53+_j4-j5解三：利用有功和无功功率守恒总的有功等于所有电阻功率之和，总的无功等于各电抗