立体及其表面上的点和线

立体及其表面上的点和线一、立体的三视图及其投影规律二、平面立体及其表面上的点和线三、回转体及其表面上的点和线平面立体曲面立体一、立体的三视图及其投影规律依据表面性质不同，立体可分为：平面立体和曲面立体。平面立体：表面全是平面的立体。曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。在工程上，将立体的三面投影称为三视图。V一、立体的三视图及其投影规律a'

b'

s'

b

a

c

s

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(一)三棱锥的三视图主视图：从前向后做正投射得到的图形。俯视图：从上向下做正投射得到的图形。左视图：从左向右做正投射得到的图形。(2)作正投影;(3)投影面展开;主视图左视图俯视图各点投影符合三面投影特性S

A

C

B

OXZYV一、立体的三视图及其投影规律a'

b'

s'

b

a

c

s

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(2)作正投影;(3)投影面展开;c'

(一)三棱锥的三视图OXZYa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(2)作正投影;(3)投影面展开;一、立体的三视图及其投影规律b

a

c

s

(一)三棱锥的三视图OXYWZYHVWa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(2)作正投影;(3)投影面展开;一、立体的三视图及其投影规律a

s

b

c

(一)三棱锥的三视图OXYWZYHVHWa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(2)作正投影;(3)投影面展开;一、立体的三视图及其投影规律b

a

c

s

XYWZYH(4)整理图形。(一)三棱锥的三视图Oa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(2)作正投影;(3)投影面展开;一、立体的三视图及其投影规律b

a

c

s

(4)整理图形。(一)三棱锥的三视图a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)b

a

c

s

上下上下左右后前左右后前一、立体的三视图及其投影规律(二)三视图中的方位关系及投影规律三视图投影规律：(1)主、俯视图长对正;一、立体的三视图及其投影规律高平齐长对正宽相等(2)主、左视图高平齐;(3)俯、左视图宽相等。三视图投影规律：a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)b

a

c

s

(二)三视图中的方位关系及投影规律(一)平面立体投影图的特点二、平面立体及其表面上的点和线步骤：

1.画图——画出棱线和顶点的投影(1)画底面△ABC

的三投影;(2)画顶点S

的三投影;(3)画左棱面△SAB

的三投影；(4)画右棱面△SBC

的三投影；(5)画后棱面△SAC

的三投影。XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

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C

B

S

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A

C

B

XOYWYHZa

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b

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b'

c'

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a”(c”)s

s'

s”二、平面立体及其表面上的点和线

2.投影分析

(1)底面△ABC

：一个三角形、两条直线。(水平面)

注意：一个粗实线封闭的线框，表示一个面的投影，通常又是两个表面的重影。

(2)左棱面△SAB

：三个三角形。(一般位置平面)

(3)右棱面△SBC

：三个三角形。(一般位置平面)

(4)后棱面△SAC

：两个三角形、一条直线。(侧垂面)(一)平面立体投影图的特点XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

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a”(c”)s

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s”XOYWYHZa

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s”XOYWYHZa

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a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

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s”VOXZY(二)立体的无轴投影图二、平面立体及其表面上的点和线 立体投影的形状以及投影之间的关系与轴无关，因此，可以不必画出投影轴。VOXZY二、平面立体及其表面上的点和线 在立体是无轴三投影图上，可以假想选取立体的对称面、端面、轴线或某一点的投影作为坐标轴或坐标原点。s”b'

a'

c'

b”a”c”acbss'

o”o'

o

以S点的投影作为坐标原点以底面对称中心作为坐标原点(二)立体的无轴投影图(三)平面立体的画法二、平面立体及其表面上的点和线 棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚线。注意：

1.所有投影的边缘轮廓线都是可见的，要用粗实线画出。

2.边缘轮廓线内直线的可见性，要利用交叉两直线上的重影点来判断。1(2)1'

2'

s”a'

c'

b”a”c”acbss'

b'

二、平面立体及其表面上的点和线 棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚线。注意：

3.在每一个投影的封闭轮廓线内，如有相交于一点的三条直线，如果交点可见，则直线也可见；它们或者全部都不可见，或者全部都可见。c”b'

a”b”c'

a'

c1”cabb1'

c1'

a1'c1b1a1YHOXb1”a1”YW(三)平面立体的画法(四)平面立体表面上的点二、平面立体及其表面上的点和线 平面立体表面上取点的方法与平面内取点方法完全相同。 点的可见性由点所属面的可见性决定。例1已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。K

S

A

C

B

分析：k’

可见，则点K位于左棱面SAB上；另一点未标注可见性，则该点可能位于右棱面或后棱面上。k'

b”s”

a”(c”)a'

b'

c'

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b

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c

s

b”s”

a”(c”)a'

b'

c'

s'

b

a

c

s

k'

例1已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。二、平面立体及其表面上的点和线作图：

(1)求取过K直线SM的投影

;m'

m

(2)按投影规律找到k和k”

;

kk”

(3)过无名点正面投影做一平行线，并求取其水平投影；n'

n()

(5)第二种可能性。

(4)根据投影规律找到无名点的水平投影和侧面投影；SABC二、平面立体及其表面上的点和线(五)平面立体表面上的线作图方法：与立体表面取点相同。注意：

只有在同一表面内的相邻两点的同面投影才可以相连！1'

2'

空间为一折线Ⅰ

Ⅱ

组成折线的两条线段的共有点（转折点）在两个面的交线（棱线）上。转折点s'

a'

b'(d')c'

adcbs

s'

a'

b'(d')c'

adcbs

例2已知四棱锥表面上线段的正面投影，求其水平投影。二、平面立体及其表面上的点和线1'

2'

3'

3f'

fh'

g'gh12作图：

(1)求取过Ⅲ的直线ⅢF

的投影

;

(2)延长1’2’，分别交s’a’、s’c’于g’、h’;

(3)作GⅢ与ⅢH

的水平投影；

(4)求点Ⅰ和点Ⅱ的水平投影；

(5)判断可见性并连线。三、回转体及其表面上的点和线 在工程上，回转体应用较为广泛。常见的回转体包括：圆柱体圆锥体 回转面是一类特殊的曲面，是由母线绕固定轴线旋转得到的。表面是回转面或回转面和平面的立体，称为回转体。圆球体圆环体三、回转体及其表面上的点和线(一)回转体的形成方法母线上任意一点的轨迹是一个圆周(纬圆)；其圆心是轨迹平面和轴线的交点，半径是点到轴线的距离。名称回转面形成方法和简图一般性质直母线绕和它相交的轴线回转而成圆锥面圆锥体直母线绕和它平行的轴线回转而成圆柱面圆柱体由圆锥面和一个圆平面围成的实体由圆柱面和两个圆平面围成的实体OOAA1形体构成OO圆母线绕以它的直径为轴线回转而成圆球面圆球体由圆球面围成的实体圆环体OOSAOO圆母线绕和它的共面但不过圆心的轴线回转而成圆环面由圆环面围成的实体(二)圆柱体三、回转体及其表面上的点和线圆柱面最左、最右素线投影左右分界线前后分界线以轴线为铅垂线的圆柱体为例投影图：空间分析：圆柱面最前、最后素线投影各面投影特点：

(1)圆柱面：一个圆周与两个矩形；

(2)上下底面：一个圆与两条直线。YZXV三、回转体及其表面上的点和线圆柱体的投影特点：

1.在与轴线垂直的投影面上，圆柱体的投影为圆。

2.在与轴线平行的两个投影面上，圆柱体的投影为全等的矩形。注意：

1.圆与矩形需要用细点画线画出对称中心线；矩形的对称中心线是轴线的投影，圆的圆心是轴线的积聚性投影。

2.圆柱面有积聚性，在其有积聚性的投影（圆周）上，任何一点都是相应位置直素线的投影。(二)圆柱体三、回转体及其表面上的点和线例3已知圆柱面上的点A的正面投影，求其余两面投影。(a')aa”作图：

(1)过(a’)作投影线，找到直线与圆周的交点;分析：由于圆柱面的水平投影有积聚性，则a必在圆周上;而(a’)不可见，则点A必在后半个圆柱面上；A点在左半个圆柱面上，故a”可见。

(2)根据投影规律求出a”。(二)圆柱体三、回转体及其表面上的点和线例4已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。a”a'

c'

c”b”(b')d”f”dd'

ACB的侧面投影acbff'

分析：线段的侧面投影随圆柱面积聚为一段圆弧，可利用积聚性作图。作图：(1)取特殊点;(2)取一般点；(3)判断可见性，光滑连线。(二)圆柱体三、回转体及其表面上的点和线(三)圆锥体以轴线为铅垂线的圆锥体为例投影图：空间分析：各面投影特点：圆锥面最左、最右素线投影圆锥面最前、最后素线投影前后分界线左右分界线

(1)圆锥面：一个圆与两个等腰三角形；

(2)底面：一个圆与两条直线。YZXV三、回转体及其表面上的点和线圆锥体的投影特点：

1.在与轴线垂直的投影面上，圆锥体的投影为圆。

2.在与轴线平行的两个投影面上，圆锥体的投影为全等的等腰三角形。注意：

1.圆与等腰三角形需要用细点画线画出对称中心线，等腰三角形的对称中心线是轴线的投影。

2.圆是锥面的投影，也是底面的投影；圆的圆心既是轴线的积聚性投影，也是锥顶的投影。(三)圆锥体三、回转体及其表面上的点和线例5已知圆锥面上的点A的正面投影，求其余两面投影。a”(a')amm'm”ss's”作图：

(1)过(a’)作直素线s’m’;分析：圆锥面的投影没有积聚性，a在圆内的某点处，但A必过圆锥面内的一条素线;(a’)不可见，则点A必在后半个圆锥面上；A点在左半个圆锥面上，故a”可见。

(2)求出sm和s”m”；

(3)在sm和s”m”上求得a和a”。(三)圆锥体例6已知圆锥面上的点A的水平投影，求其余两面投影。三、回转体及其表面上的点和线am'(a”)mPVa'PW作图：

(1)以s为圆心，sa

的距离为半径作纬圆，找到纬圆与圆锥最左素线的交点m，并求其正面投影m’

;分析：

A在圆锥面上，则过A必存在圆锥面内的一个纬圆;A在前半个圆锥面上，则a’可见；A点在右半个圆锥面上，故a”不可见。ss's”

(2)作过M点的水平面P的迹线；

(3)在平面P的迹线上求得a’与a”。(三)圆锥体三、回转体及其表面上的点和线例7已知圆锥面上曲线的侧面投影，求其余两面投影。abc(d)a'b'c'd'e'ss's”(e)km”n”n'k”b”d”k'm'a”c”e”分析：可用纬圆法或直素线法求解;水平投影ac可见,ce不可见；线段正面投影全可见。作图：(1)特殊点；(2)一般点；(3)判断可见性，连线。(三)圆锥体三、回转体及其表面上的点和线(四)圆球体投影图：空间分析：圆球面平行V面的圆素线投影圆球面平行W面的圆素线投影上下分界线左右分界线圆球面平行H面的圆素线投影圆球面：前后分界线三个全等的圆YZXV例8已知圆球面上点的正面投影，求其余两面投影。三、回转体及其表面上的点和线a(b)mm'a'b'n”n'a”b”作图：

(1)过a(b)作正面纬圆的水平投影，并求其另两面投影；分析：点在圆球面上，则过点必存在圆球面内的一个纬圆;点在前左半圆球面上，则其正面投影和侧面投影都是可见的。

(2)在纬圆的投影(圆与直线)上求得点的两面投影。(四)圆球体例9已知圆球面上曲线的正面投影，求其余两面投影。三、回转体及其表面上的点和线b'c'a'c(c”)aa”bb”e'e(e”)d'dd”分析：只能用纬圆法作图；线段在上半圆球面上，则其水平投影可见；点A在与W面平行的圆素线上，它将线段的侧面投影分为